關(guān)于奇解的若干探討

高珊

摘 要：對于一階常微分方程奇解的有關(guān)問題，本文針對有關(guān)一階常微分方程奇解的定義和求法進行了系統(tǒng)的歸納和總結(jié)，列舉了求奇解的兩類方法；并根據(jù)p-判別曲線求奇解的方法，討論了克萊羅（Clairaut）微分方程和兩類特殊類型的一階常微分方程的奇解以及奇解存在的充分條件。

關(guān)鍵詞：一階常微分方程；奇解；包絡(luò)；C-判別曲線；P-判別曲線

1.引言

求通解在歷史上曾作為微分方程的主要目標，一旦求出通解的表達式，就容易從中得到問題所需要的特解，也可以由通解的表達式了解對某些參數(shù)的依賴情況，便于參數(shù)取值適宜，使它對應(yīng)的解具有所需要的性能，還有助于進行關(guān)于解的其他研究。后來的發(fā)展表明，能夠求出通解的情況不多，在實際應(yīng)用中所需要的多是求滿足某種指定條件的特解。當然，通解是有助于研究解的屬性的，但是人們已把研究重點轉(zhuǎn)移到定解問題上來。一個常微分方程是不是有特解呢？如果有，又有幾個呢？這是微分方程論中一個基本的問題，數(shù)學(xué)家把它歸納成基本定理，叫做存在和唯一性定理。因為如果沒有解，而我們要去求解，那是沒有意義的；如果有解而又不是唯一的，那又不好確定。因此，存在唯一性定理對于微分方程的求解是十分重要的。

而奇解是微分方程的一種特殊的解，類似微分幾何中的包絡(luò)，奇解對應(yīng)的積分曲線上每一點還有方程的另一個解存在，則存在唯一性定理被破壞。但是，并不是任何微分方程都有奇解，奇解存在的條件還有待進行更深入的探討和研究。

2.奇解的定義及求法

2.1 奇解的定義

我們知道對某些微分方程，存在一條特殊的積分曲線，它并不屬于這個方程的積分曲線族，但是，在這條特殊的積分曲線上的每一點處，都有積分曲線族中的一條曲線和它在此點相切。在微分方程里，這條特殊的積分曲線所對應(yīng)的解稱為方程的奇解。

定義1：微分方程的一個解稱為奇解，如果在這個解的每一個點上還有方程的另外一個解存在，也就是說奇解是這樣的一個解，在它上面的每一個點唯一性都不成立?；蛘哒f，奇解對應(yīng)的曲線上每一點至少有方程的兩條積分曲線通過。

2.2 奇解的求法

從奇解的定義容易看出，奇解有兩個特點：①奇解一定是原方程的解，但不包含在通解的形式之中；②破壞了解的唯一性，奇解對應(yīng)的曲線上每一點至少有方程的兩條積分曲線通過。

2.2.1通過求通解的包絡(luò)求奇解

定義2：對于給定的一個單參數(shù)曲線族：lc：Φ（x，y，c）=0，其中c∈IR為參數(shù)。若存在一條曲線l滿足下列條件：

①llcc∈I；②對任意的（x0，y0）∈l，存在唯一的c0∈I，使（x0，y0）∈lc0且l與lc0在（x0，y0）有相同的切線。

則稱l為曲線族lc：Φ（x，y，c）=0的一條包絡(luò)線，簡稱為包絡(luò)。

從奇解的定義容易知道一階微分方程的通解的包絡(luò)（如果它存在的話）一定是奇解；反之，微分方程的奇解（如果存在的話）也是微分方程的通解的包絡(luò)。因而，為了求微分方程的奇解，可以先求出它的通解，然后求通解的包絡(luò)。

由微分幾何學(xué)的知識可知，曲線族Φx，y，c=0的包絡(luò)包含在由下列方程組

Φx，y，c=0，Φ′cx，y，c=0 消去c而得到的曲線之中，此曲線稱為C—判別曲線。

Φx，y，c=0的包絡(luò)是C—判別曲線，但C—判別曲線未必是包絡(luò)。因此從C—判別曲線分解出來的一支或數(shù)支曲線是否為Φx，y，c=0的包絡(luò)，尚需按照定義作進一步的驗證。

例 1：求方程y=dydx2-xdydx+x22的解。

解：令dydx=p，得到 y=p2-xp+x22，（1）

兩邊對x求導(dǎo)數(shù)，得到

p=2pdpdx-xdpdx-p+x， 或 dpdx-12p-x=0。

從dpdx-1=0 解得 p=x+c，

并將它代入（1）得到方程的通解 y=x22+cx+c2。（2）

將（2）對c求導(dǎo)，得到 x+2c=0，（3）

從（2），（3）中消去c，得 y=x24，C—判別曲線。 y′=x2

對于通解，y=x22+cx+c2.y′=x+c

取x=x0，x20 4=x20 2+ cx0 + c2x0 2= x0 + c ∴c=-x02

∴對于y=x24上任意一點（x0 ，x20 4）都有曲線族中的一條曲線y =x22-x0 2x +x20 4 通過 則如圖1，y=x24是原方程的奇解。

圖1

2.2.2 通過存在唯一性定理被破壞求奇解

存在唯一性定理 如果在點（x0，y0，y′0）的某一領(lǐng)域中

①F（x，y，y′）對所有變元（x，y，y′）連續(xù)，且存在連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)；

②F（x0，y0，y′0）=0；③ F（x0，y0，y′0） y′≠0 .

則方程F（x，y，y′）=0存在唯一解y=y（x），x-x0≤h（h為足夠小的正數(shù)）滿足初始條件y0=yx0，y0′=y′x0。

由該定理知道，如果Fx，y，y′關(guān)于x，y，y′連續(xù)可微，則只要Fy′≠0就能保證解的唯一性，因此，奇解（存在的話）必須同時滿足下列方程

Fx，y，y′=0，F(xiàn)x，y，y′y′=0

于是我們有下面結(jié)論：方程Fx，y，dydx=0的奇解包含在由方程組Fx，y，p=0F′px，y，p=0消去p而得到的曲線中，這里Fx，y，p是x，y，p的連續(xù)可微函數(shù)。此曲線稱為方程Fx，y，dydx=0的P—判別曲線。

我們知道方程的奇解包含在該方程的P—判別曲線中，但P—判別曲線未必是奇解。因此從P—判別曲線分解出來的一支或數(shù)支曲線是否為Fx，y，dydx=0的奇解，尚需作進一步的驗證。具體求法將在下面的例子中體現(xiàn)出來。

例2：求微分方程xy′+y′2-y=0的奇解。

解： 求P-判別曲線：

由F（x，y，y′）=xy′+y′2-y=0及Fy′=x+2y′=0

消去參數(shù)得P-判別曲線y=-14x2

把y=-14x2代入方程知y=-14x2是原方程的解；

又∵原方程的通解為y=cx+c2（原方程為克萊羅方程），y′=c

∴取x=x0，-14x20 = cx + c2c = -x0 2 ∴c=-x02

∴對于y=-x24上任意一點（x0 ，-x20 4）都有曲線族中的一條曲線y = -x0 2x +x20 4 通過 則y=-x24是原方程的奇解。

3.幾類特殊微分方程奇解的求法

3.1 克萊羅微分方程

形如y=xp+f（p）的方程，稱為克萊羅（Clairaut）微分方程，這里p=dydx，f（p）是p的連續(xù)可微函數(shù)。

將y=xp+f（p）兩邊對x取導(dǎo)數(shù)，并以dydx=p代入，即得

p=xdpdx+p+f′（p）dpdx， 即 dpdx（x+f′（p））=0.

如果dpdx=0，則得到p=c，將它代入原方程，得到

y=cx+f（c），c是任意常數(shù)，這就是原方程的通解。

如果x+f′（p）=0，將它與原方程合起來

x+f′（p）=0y=xp+f（p） 消去P也得到方程的一個解?？梢则炞C此解的確是通解的包絡(luò)，由此，我們知道，克萊羅微分方程的通解是一直線族（在原方程中以c代p即得），此直線族的包絡(luò)就是方程的奇解。

例3 求微分方程y=xp+1p（其中p=dydx） 的奇解.

解：此方程為克萊洛方程，因此其通解為 y=cx+ 1c

從x-1c2=0y=cx+1c中消去c得到y(tǒng)2=4x

由前后的討論知y2=4x為方程的奇解.

3.2（Ⅰ）型特殊微分方程

形如a（x）dydx2-ydydx+b（x）=0（其中a（x）≠0，b（x）≠0且有連續(xù)導(dǎo)數(shù)）的微分方程

對于微分方程a（x）dydx2-ydydx+b（x）=0……（Ⅰ），其中a（x），b（x）是連續(xù)可導(dǎo)的，且a（x）≠0，b（x）≠0。

3.2.1推導(dǎo)

令 p=dydx，F(xiàn)x，y，p=a（x）p2-yp+b（x）=0F′p（x，y，p）=2a（x）p-y=0

消去p得到函數(shù)=2d（x），其中d2（x）=a（x）b（x）≠0。

則′=2d′（x）=a′（x）b（x）+a（x）b′xd（x）

F（x，，′）=a（x）′2-·′+b（x）

=a（x）a′（x）b（x）+a（x）b′（x）d（x）2-2d（x）·a′（x）b（x）+a（x）b′（x）d（x）+b（x）

=a′（x）b（x）+a（x）b′（x）2-2a′（x）b（x）+a（x）b′（x）·b（x）+b2（x）b（x）

=a′（x）b（x）+a（x）b′（x）-b（x）2b（x）

因此，當a′（x）b（x）+a（x）b′（x）-b（x）=0時，是微分方程（Ⅰ）解。而且

F′（x，，′）=2a（x）·′-=2a（x）·a′（x）b（x）+a（x）b′（x）d（x）-2d（x）

=2ad（x）a′（x）b（x）+a（x）b′（x）-b（x）=0

由此得到如下定理，

3.2.2 定理

定理1 對于微分方程a（x）dydx2-ydydx+b（x）=0……（Ⅰ），假設(shè)a（x），b（x）是連續(xù)可導(dǎo)的，且a（x）≠0，b（x）≠0，若滿足條件a′（x）b（x）+a（x）b′（x）-b（x）=0，則微分方程（Ⅰ）有奇解=2d（x），其中d2（x）=a（x）b（x）≠0。

3.2.3 應(yīng)用實例

例4：方程x4（dydx）2-ydydx+x3=0有奇解y=x2，

因為a（x）=x4，b（x）=x3，

a′（x）b（x）+a（x）b′（x）-b（x）=14·x3+x4·3x2-x3=0

奇解y=2d（x）=2·a（x）·b（x）=2x4·x3=x2

3.3（Ⅱ）型特殊微分方程

形如y=a（x）dydx2+b（x）dydx+c（x）（其中a（x）≠0，b（x）≠0，c（x）連續(xù)可導(dǎo)）的微分方程

對于微分方程y=a（x）dydx2+b（x）dydx+c（x）……（Ⅱ），其中a（x），b（x），c（x）是連續(xù)可導(dǎo)的，且a（x）≠0，b（x）≠0。

3.3.1推導(dǎo)

這時，我們令p=dydx，F(xiàn)（x，y，p）=a（x）p2+b（x）p+c（x）-y=0F′p（x，y，p）=2a（x）p+b（x）=0

消去p得到函數(shù)=a（x）d2（x）+b（x）d（x）+c（x），其中d（x）=-b（x）2a（x）

F（x，，′）=a（x）（′）2+b（x）·′+c（x）-

=a（x）（′）2+b（x）·′+c（x）-a（x）d2（x）+b（x）d（x）+c（x）

=′-d（x）a（x）（′+d（x））+b（x）

所以，當′-d（x）=0時，是微分方程（Ⅱ）的解，且

F′′（x，，′）=2a（x）′+b（x）=2a（x）d（x）+b（x）=0

因此，得到如下定理，

3.3.2定理

定理2 對于微分方程y=a（x）dydx2+b（x）dydx+c（x）……（Ⅱ），假設(shè)a（x），b（x），c（x）是連續(xù)可導(dǎo)的，且a（x）≠0，b（x）≠0。若滿足條件′-d（x）=0，其中d（x）=-b（x）2a（x），則微分方程（Ⅱ）有奇解

=a（x）d2（x）+b（x）d（x）+c（x），d（x）=-b（x）2a（x）

3.3.3應(yīng)用實例

例5：方程y=x4（dydx）2-xdydx有奇解4x2y+1=0

因為a（x）=x4，b（x）=-x，d（x）=--x2x4=12x3

=a（x）d2（x）+b（x）d（x）+c（x）=x4·14x6+（-x）·12x3=-14x2

′-d（x）=0，所以奇解為4x2y+1=0

通過以上幾個定理可以看出，對（Ⅰ）（Ⅱ）型兩類一階微分方程，通常是利用奇解存在的必要條件求出可能是奇解的函數(shù)，并驗證這些函數(shù)是不是奇解，過程比較繁瑣；如果運用定理1和定理2這兩個判定定理就能夠迅速的判定方程有沒有奇解，且可以直接寫出奇解的形式。

4.結(jié)論

通過一階常微分方程奇解的研究，對奇解求法作了詳細的分析和探討，并針對奇解的求法給出了兩類特殊一階常微分方程a（x）dydx2-ydydx+b（x）=0（a（x）≠0，b（x）≠0）；y=a（x）dydx2+b（x）dydx+c（x）（a（x）≠0，b（x）≠0）的奇解存在的條件，和其奇解的形式，得出了兩個判定定理。運用所得的判定定理可以迅速地求奇解，從而簡化求奇解的過程。（作者單位：湖北大學(xué)計算機與信息工程學(xué)院）