一類非線性中立型變延遲積分微分方程的穩(wěn)定性分析

叢玉豪, 盧翠翠, 蔣成香

(1.上海師范大學 數(shù)理學院, 上海 200234; 2.上海師范大學 天華學院, 上海 201815)

0 引 言

泛函微分方程在許多科學領(lǐng)域中都有著廣泛的應(yīng)用,例如物理學、工程學、生物學、醫(yī)學和經(jīng)濟學等[1].其理論解一般很難得到,數(shù)值解和數(shù)值穩(wěn)定性研究在方程求解中占有十分重要的地位.近30年來,對延遲微分方程,中立型延遲微分方程,延遲積分微分方程等類型的泛函微分方程的研究,取得了大量的研究成果[2-14].

近些年來,關(guān)于非線性中立型延遲積分微分方程理論解和數(shù)值方法的穩(wěn)定性開始被學者們關(guān)注,文獻[12]對非線性中立型泛函微分方程的理論解和數(shù)值解的穩(wěn)定性作了研究,文獻[13～14]研究了θ-方法、一般線性方法求解非線性中立型延遲積分微分方程線性的漸近穩(wěn)定性.本文作者考慮如下一類特殊的非線性中立型變延遲積分微分方程的穩(wěn)定性：

(1)

這里F是復(fù)值連續(xù)函數(shù)，φ(t)是連續(xù)可微復(fù)值函數(shù)，τ(t)是連續(xù)滯時函數(shù)，積分項中g(shù)為關(guān)于t的連續(xù)函數(shù)， 且滿足條件:

A: 對?t≥t0，τ(t) ≥τ0>0，且α(t)=t-τ(t) 是嚴格遞增的.

文中作者首先針對非線性中立型變延遲積分微分方程的模型方程(1),給出方程理論解穩(wěn)定的條件并給予了證明；其次研究了線性θ-方法求解非線性中立型變延遲積分微分方程的數(shù)值穩(wěn)定性,證明了A-穩(wěn)定的θ-方法求解非線性中立型變延遲積分微分方程是穩(wěn)定的.

1 方程理論解的穩(wěn)定性分析

設(shè) 〈·,·〉為向量空間CN中的內(nèi)積,‖ ·‖是由該內(nèi)積導(dǎo)出的范數(shù).為了討論問題(1)的穩(wěn)定性,引入與其相應(yīng)的如下擾動方程：

(2)

這里ψ(t)是連續(xù)可微的復(fù)值函數(shù).假設(shè)方程(1)和(2)分別恒有唯一的真解y(t)和z(t),并設(shè)F為[t0,+∞)×CN×CN×CN×CN→CN上關(guān)于t的連續(xù)函數(shù),且滿足如下的條件：

Re〈y1-y2,F(t,y1,u,v,w)-F(t,y2,u,v,w) 〉≤R(t) ‖y1-y2‖2,?t≥t0,y1,y2,u,v,w∈CN,

‖F(xiàn)(t,y,u1,v,w)-F(t,y,u2,v,w) ‖ ≤β1(t) ‖u1-u2‖ ,?t≥t0,y,u1,u2,v,w∈CN,

‖F(xiàn)(t,y,u,v1,w)-F(t,y,u,v2,w) ‖ ≤β2(t) ‖v1-v2‖ ,?t≥t0,y,u,v1,v2,w∈CN,

‖F(xiàn)(t,y,u,v,w1)-F(t,y,u,v,w2) ‖ ≤β3(t) ‖w1-w2‖ ,?t≥t0,y,u,v,w1,w2∈CN,

‖g(t,ξ,y1)-g(t,ξ,y2) ‖ ≤β4(t) ‖y1-y2‖ ,?t≥t0,ξ∈R,y1,y2∈CN.

(3)

因為函數(shù)F的特殊性,考慮函數(shù)：

H(t,y,u,v,j,w)=F(t,y,u,F(α(t),u,v,j,w),w).

類似于F,恒有假設(shè)H關(guān)于t連續(xù),且關(guān)于u一致Lipschitz連續(xù),即存在連續(xù)函數(shù)σ(t),使得

‖H(t,y,u1,v,j,w)-H(t,y,u2,v,j,w)‖ ≤σ(t) ‖u1-u2‖, ?t≥t0,y,u1,u2,v,j,w∈CN.

(4)

求解方程(1)和(2)的方法采用分步法,因此,需要確定理論解y(t)的斷點,這些點是與y′(t)的不連續(xù)性聯(lián)系在一起的.令ξ0=t0,因為α(t)滿足條件A,所以存在唯一解ξ1滿足α(ξ)=ξ0,從而有

ξ0=t0<ξ1<…<ξn<ξn+1<…,

引理1.1[9]若對于實函數(shù)Y(t),R(t),Γ(t)有

(5)

則當R(t)<0,?t≥t*時,有

(6)

定理1.1若方程(1)和(2)滿足條件(3)及對?t≥t0,R(t)<0,則當

(7)

時,方程(1)和(2)的理論解滿足

‖y(t)-z(t)‖≤max {‖φ(t0)-ψ(t0)‖,k},

(8)

其中k=

(9)

即方程(1)的理論解是穩(wěn)定的.

證明由條件(3)的第一式可得:

其中

應(yīng)用引理1.1,可得:

(10)

接下來,將在區(qū)間In上逐步地分析方程(1)和(2)的解,考慮當n≥ 1時區(qū)間In=:[ξn-1,ξn].

(11)

(12)

當n=1時,

由條件(3),(4),且因為當t∈I1時,s∈I1,α(s)∈I0,所以

(13)

由(12)和(13),可得:

‖U(t)‖≤ max{‖φ(t0)-ψ(t0)‖,k}, ?t∈I1.

(14)

當n≥2時,由條件(3)可得:

所以

由條件(7)得:

(15)

‖|Φ|‖n≤max{‖|u|‖n-1,‖|Φ|‖n-1},n≥2,

(16)

對任意的n≥ 1,定義vn=max{‖|u|‖n,‖|Φ|‖n},則(12)可表示為:

‖|u|‖n≤max{‖|u|‖n-1,‖|Φ|‖n-1},n≥1.

(17)

由(16)和(17)可得vn≤vn-1,n≥ 1,‖|u|‖n≤v1.

當n=1時,由(16)和(17)可得:

‖|Φ|‖1≤κ, ‖|u|‖1≤ max{‖φ(t0)-ψ(t0)‖,κ},

所以由上式可得:

v1≤ max{‖φ(t0)-ψ(t0)‖,κ},

所以對?t≥t0,有:

‖y(t)-z(t) ‖ ≤max{ ‖φ(t0)-ψ(t0) ‖,κ}.

即定理成立.

2 線性θ-方法的數(shù)值穩(wěn)定性

考慮如下線性θ-方法：

yn+1=yn+h[θf(tn+1,yn+1)+(1-θ)f(tn,yn)],

(18)

(18)求解方程(1),可得:

(19)

-m≤n-mn

將方法(18)用于求解擾動方程(2),可得:

(20)

以下的證明假設(shè)R(t),β1(t),β2(t),β3(t),β4(t)均為大于或等于0的連續(xù)有界函數(shù),且

(21)

定義2.1線性θ-方法用于求解方程(1)稱為穩(wěn)定的,如果該方法用于求解滿足條件(3)和條件(4)的初值問題方程(1)和(2)時,對?h>0,有:

其中C1、C2為常數(shù).

wn+1=wn+hθQn+1+h(1-θ)Qn.

上式變形并兩邊作內(nèi)積,可得：

‖wn+1‖2+h2θ2‖Qn+1‖2=‖wn‖2+h2(1-θ)2‖Qn‖2+

2hθRe〈wn+1,Qn+1〉+2h(1-θ) Re〈wn,Qn〉.

(22)

所以由條件(3)和條件(21) 可得:

(23)

同理可得:

(24)

利用上式遞推下去可得:

由上式知易得:

即定理2.1成立,這說明線性θ-方法求解方程是數(shù)值穩(wěn)定的.

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