基于灰色模型及其改進(jìn)模型的土石壩沉降預(yù)測(cè)

沈 毅， 郭金運(yùn)， 周 俊， 于紅娟

(1．山東科技大學(xué) 測(cè)繪科學(xué)與工程學(xué)院， 山東 青島 266590；2. 中國(guó)葛洲壩集團(tuán)股份有限公司測(cè)繪工程院， 湖北 宜昌 443002)

在水利工程建設(shè)中，土石壩的建造日益增多，土石壩的沉降變形也一直存在于其施工期和運(yùn)行期等各個(gè)階段.因此，對(duì)大壩進(jìn)行變形監(jiān)測(cè)來分析和預(yù)測(cè)形變，保證大壩的安全運(yùn)行就十分必要.目前，用于大壩變形分析預(yù)測(cè)的常用方法有回歸分析法、時(shí)間序列分析模型和灰色系統(tǒng)分析模型等等.回歸分析是研究一個(gè)變量(因變量)與多個(gè)因子(自變量)之間非確定關(guān)系(相關(guān)關(guān)系)的最基本方法；時(shí)間序列分析是考慮觀測(cè)資料的時(shí)間順序利用觀測(cè)數(shù)據(jù)之間的自相關(guān)性建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；灰色系統(tǒng)理論把一切隨機(jī)過程程看做是在一定范圍內(nèi)變化、與時(shí)間有關(guān)的灰色過程[1].回歸分析和時(shí)間序列分析等數(shù)理統(tǒng)計(jì)模型在應(yīng)用中也有一定的局限性，這些數(shù)學(xué)模型均在一定程度上含有統(tǒng)計(jì)特性，它們或者建立在觀測(cè)誤差的數(shù)學(xué)期望值為零、各次觀測(cè)互相獨(dú)立以及觀測(cè)誤差呈正態(tài)分布的假定前提下，或者建立在對(duì)大壩物理力學(xué)性質(zhì)一定的假設(shè)基礎(chǔ)上[2].另外，數(shù)理統(tǒng)計(jì)模型往往需要大樣本的數(shù)據(jù)值，而灰色系統(tǒng)理論以“部分信息已知、部分信息未知”的“小樣本”、“貧信息”不確定性系統(tǒng)為研究對(duì)象，從雜亂無(wú)章數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)和探究規(guī)律，計(jì)算量小，預(yù)測(cè)精度較好.基于灰色模型的這些優(yōu)點(diǎn)以及通常情況下沉降觀測(cè)的貧信息數(shù)據(jù)和沉降原因的復(fù)雜性，灰色系統(tǒng)在大壩以及其他沉降分析預(yù)測(cè)中得到了廣泛應(yīng)用.

人們?cè)趹?yīng)用GM(1,1)模型時(shí)，也遇到了一些預(yù)測(cè)精度不高的例子，研究人員已經(jīng)提出許多改進(jìn)預(yù)測(cè)精度的方法[3].文獻(xiàn)[4-7]提出了加權(quán)優(yōu)化的處理，通過根據(jù)數(shù)據(jù)作用大小不同賦予不同的權(quán)重，來改善模型的預(yù)測(cè)精度.文獻(xiàn)[8-10]通過提出對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等函數(shù)變換，通過對(duì)原始數(shù)據(jù)列進(jìn)行處理提高數(shù)據(jù)的平滑度，使預(yù)測(cè)精度有所提高.文獻(xiàn)[11-12]提出了對(duì)GM(1,1)模型理論的優(yōu)化改進(jìn)，從而擴(kuò)展應(yīng)用范圍和提高精度.另外，在不同的領(lǐng)域和具體的實(shí)際應(yīng)用中，對(duì)GM(1,1)模型的優(yōu)化改進(jìn)方法也有所差異.

本文以某土石壩運(yùn)行初期的原始觀測(cè)數(shù)據(jù)為例，建立了GM(1,1)灰色模型、加權(quán)GM(1,1)灰色模型，以及利用指數(shù)變換函數(shù)f(x)=abx來改變初值的方法的GM(1,1)灰色模型，在這三種模型下，對(duì)比分析土石壩運(yùn)行初期數(shù)據(jù)的擬合程度和近期的沉降變化趨勢(shì)，以及最終對(duì)沉降變形預(yù)測(cè)對(duì)比分析，驗(yàn)證了在土石壩沉降變形預(yù)測(cè)中改進(jìn)模型的準(zhǔn)確性與可靠性，為日后進(jìn)行土石壩沉降預(yù)測(cè)提供了有效的預(yù)測(cè)模型.

1 GM(1,1)模型及改進(jìn)模型的建立

1.1 GM(1,1)模型的建立

設(shè)大壩垂直位移變形監(jiān)測(cè)點(diǎn)各期觀測(cè)數(shù)據(jù)組成的原始數(shù)列：

x(0)={x(0)(k)|k=1,2,…，n}

(1)

對(duì)x(0)由一次累加1-AGO得到序列：

x(1)={x(1)(k)|k=1,2,…，n}

(2)

由此累加序列建立一階微分方程[13]

(3)

記為GM(1,1).由最小二乘法求解，得到

(4)

(5)

(6)

1.2 GM(1,1)模型的加權(quán)改進(jìn)

若在已知數(shù)據(jù)列中，其觀測(cè)精度相同、則可以認(rèn)為離預(yù)報(bào)時(shí)間越近的數(shù)據(jù)，其可靠性高，對(duì)預(yù)測(cè)的貢獻(xiàn)大，因此權(quán)應(yīng)隨時(shí)間成正比例增長(zhǎng)變化[3].在很多實(shí)例中應(yīng)用這種方法對(duì)于不同時(shí)期的觀測(cè)值賦予不同的權(quán)重.

對(duì)于某一時(shí)間內(nèi)可靠性隨時(shí)間成正比變化的數(shù)據(jù)序列可按下式定權(quán)[4]:

Pi=Ri-1, i=1,2,…，n

(7)

式中R為精度遞增因子，取值范圍1

加權(quán)對(duì)(4)式改進(jìn)，得到：

(8)

精度遞增因子R值的大小反應(yīng)了觀測(cè)數(shù)據(jù)權(quán)重的大小，R值越大則離預(yù)報(bào)時(shí)間越近的數(shù)據(jù)權(quán)重越大，同時(shí)R值還影響著預(yù)測(cè)模型的精度，由文獻(xiàn)[7]可知R值越大模型精度越差.因此，對(duì)于R值要考慮近期數(shù)據(jù)的可靠程度以及模型的精度，做適當(dāng)?shù)倪x取.在實(shí)際應(yīng)用中可以采取R=1.1和R=1.9時(shí)的模型，然后對(duì)模擬值(預(yù)測(cè)值)進(jìn)行取均值的辦法.

1.3 原始數(shù)列經(jīng)變化函數(shù)的改進(jìn)GM(1,1)模型

GM(1,1)模型的可靠性及預(yù)測(cè)精度主要取決于{x(0)(k)}的光滑性，改善{x(0)(k)|k=1,2,…,n}的光滑度是提高GM模型精度的有效方法[14].

對(duì)于有一定的波動(dòng)性的原始觀測(cè)值光滑性不強(qiáng)，且累計(jì)位移遞增趨勢(shì)有所減緩，現(xiàn)建立指數(shù)函數(shù)對(duì)原始數(shù)列進(jìn)行轉(zhuǎn)換.引入指數(shù)函數(shù)f(x)=abx對(duì)原始數(shù)列(1)進(jìn)行變換得到新數(shù)列：

x′(0)={abx(0)(k)|k=1,2,…，n}

(9)

然后對(duì)其利用GM(1,1)模型預(yù)測(cè)，得到的(6)式再通過函數(shù)：

(10)

進(jìn)行還原即得到最終的結(jié)果.

1.4 模型精度檢驗(yàn)指標(biāo)

由GM(1,1)模型得到：

(10)

計(jì)算殘差：

(11)

(12)

(13)

計(jì)算模型精度檢驗(yàn)指標(biāo)[13]：后驗(yàn)差比值C和小誤差概率P

C=S2/S1

(14)

P={|e(k)|<0.6475S1}

(15)

根據(jù)C、P的取值來劃分模型精度等級(jí)，見表1.

表1 模型精度等級(jí)

2 實(shí)例分析預(yù)測(cè)

某大型土石壩，壩高104m，壩頂寬20m，壩頂長(zhǎng)1040m，是一個(gè)無(wú)放空條件的土石壩.該大壩2003年底正式建成啟用，并開始運(yùn)行期大壩垂直和水平位移監(jiān)測(cè)的月周期觀測(cè).其中在大壩壩頂位置布設(shè)了16個(gè)垂直位移觀測(cè)點(diǎn)，采用一等精密水準(zhǔn)測(cè)量方法進(jìn)行施測(cè).根據(jù)多年的垂直位移觀測(cè)數(shù)據(jù)建立的大壩變形過程線分析發(fā)現(xiàn)，其變形仍然處于發(fā)展期，但壩頂垂直方向累計(jì)位移增速有所減緩.

大量觀測(cè)數(shù)據(jù)有利于分析和預(yù)測(cè)，但過于陳舊信息對(duì)預(yù)測(cè)會(huì)產(chǎn)生干擾，從而降低預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性.對(duì)于此土石壩，剔除大壩建成初期和試驗(yàn)性蓄水的影響，現(xiàn)選取位于大壩中部、沉降量最大的特征點(diǎn)(樁號(hào)0+700m)的近三年的觀測(cè)數(shù)據(jù)，以半年為周期，得到一組包含6個(gè)周期的累計(jì)垂直位移觀測(cè)值數(shù)列.對(duì)此觀測(cè)值數(shù)列分別采用GM(1,1)模型、加權(quán)改進(jìn)的GM(1,1)模型和原始數(shù)列函數(shù)變化改進(jìn)的GM(1,1)模型進(jìn)行建模，用來預(yù)測(cè)下兩個(gè)半年第7、8期的累計(jì)位移變化量，并通過一年來的實(shí)際觀測(cè)值予以驗(yàn)證改進(jìn)模型在沉降預(yù)測(cè)方面的可靠性.

對(duì)于此特征點(diǎn)觀測(cè)數(shù)列，經(jīng)計(jì)算，取R=1.1和R=1.9時(shí)的模型計(jì)算值再取平均值，變換函數(shù)為f(x)=1.50.1x時(shí)模型精度較好.其中GM(1,1)模型為

(16)

加權(quán)改進(jìn)后GM(1,1)模型為

(17)

(18)

變換函數(shù)改進(jìn)后GM(1,1)模型為

(19)

對(duì)于(18)式進(jìn)行還原的函數(shù)為

(20)

用后驗(yàn)差檢驗(yàn)法對(duì)以上模型進(jìn)行精度檢驗(yàn)，各模型后驗(yàn)差比值C小誤差概率P及綜合精度等級(jí)見表2.

表2 模型精度對(duì)比

對(duì)各個(gè)模型的預(yù)測(cè)精度利用平均相對(duì)誤差和均方差進(jìn)行誤差分析見表3.

表3 模型誤差分析對(duì)比

從表1和表2看出，根據(jù)樁號(hào)為0+700m的特征點(diǎn)的觀測(cè)數(shù)據(jù)建立的模型都有較高的精度.經(jīng)過加權(quán)改進(jìn)后的模型在模型精度上面比未改進(jìn)的模型精度稍差，但是相差不大.另外，模型的精度是基于模擬值和原始觀測(cè)值的擬合情況的反應(yīng)，而利用灰度理論不是為了模擬前期實(shí)測(cè)的數(shù)據(jù)，而是要得到準(zhǔn)確可靠的預(yù)測(cè)值.為了證明某一模型可靠性更好和精度更高，還要考慮其在實(shí)際應(yīng)用中預(yù)測(cè)的精度.

將第7、8期各個(gè)模型的預(yù)測(cè)值同實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比，見表4.

表4 三種模型預(yù)測(cè)值與實(shí)測(cè)值對(duì)比

將各個(gè)模型的運(yùn)算值(預(yù)測(cè)值)同實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比，如圖1所示.

圖1 垂直位移觀測(cè)值和三種模型計(jì)算值(預(yù)測(cè)值)過程線

由表4可以看出，對(duì)于第7、8周期的預(yù)測(cè)，經(jīng)過改進(jìn)的兩種模型在預(yù)測(cè)精度上要明顯優(yōu)于未改進(jìn)的GM(1,1)模型，其中變換函數(shù)改進(jìn)后的模型在預(yù)測(cè)方面精度最好.另外，從圖1的過程線來看，考慮了數(shù)據(jù)的時(shí)距重要性因素而采取時(shí)距加權(quán)改進(jìn)的模型的過程線和經(jīng)過數(shù)據(jù)變換增加數(shù)據(jù)平滑度的改進(jìn)模型的過程線對(duì)前期數(shù)據(jù)的擬合程度要比未改進(jìn)的灰度模型稍差，這也反應(yīng)了改進(jìn)后模型與原始觀測(cè)值擬合精度差于未改進(jìn)模型的問題，但是兩種改進(jìn)后模型的過程線則更能反應(yīng)近期的變化趨勢(shì)，更佳符合沉降曲線未來變化的走向.

3 結(jié)束語(yǔ)

利用灰度理論建立灰度模型對(duì)土石壩沉降進(jìn)行預(yù)測(cè)能夠取得很好的預(yù)測(cè)效果，同時(shí)對(duì)灰度模型進(jìn)行改進(jìn)能夠有效的提高其預(yù)測(cè)精度.利用時(shí)距加權(quán)能夠增加近期數(shù)據(jù)的權(quán)重，更好的反映近期的沉降變化趨勢(shì).利用指數(shù)變換函數(shù)提高原始數(shù)列的平滑度以及使其轉(zhuǎn)換為指數(shù)變化曲線，更佳的復(fù)合GM(1,1)模型的指數(shù)性質(zhì)，從而提高預(yù)測(cè)精度.另外，在實(shí)際應(yīng)用中，采用加權(quán)改進(jìn)模型時(shí)R精度遞增因子的選擇，采用變換函數(shù)改進(jìn)模型時(shí)的函數(shù)的形式及參數(shù)，需要根據(jù)沉降觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析探討做適當(dāng)?shù)倪x取.

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