趣題與作圖

丁學(xué)明

丁丁一直喜歡看書。他讀小學(xué)中低年級時，很多數(shù)學(xué)雜志上的內(nèi)容都看不懂，只能看看畫刊等簡單的報紙和雜志。五六年級時，學(xué)到的知識多了，一些課外書就成了丁丁的精神食糧。有一天，他在一本書上看到下面這道趣味數(shù)學(xué)題：

請用1～10這10個自然數(shù)組成5個不同的乘法算式，使它們相加之和是121。

這個問題并不難，丁丁略加思索就得出了答案：1×6+2×10+3×9+4×7+5×8=121。

做完后，丁丁準(zhǔn)備去復(fù)習(xí)了，到了高年級，學(xué)習(xí)任務(wù)重，沒時間浪費的?？墒?，丁丁的腦海還是不停地浮現(xiàn)出這個問題。121……121……這個數(shù)非常熟悉，它不就是11的平方嗎？11的平方可以表示邊長為11的正方形的面積，那么5個不同的乘法算式不就表示5個不同的長方形面積嘛！這樣一想，這道趣題就可表示為：把5個長方形拼成邊長為11的正方形。想到這兒，丁丁又拿出紙筆動手作起圖來，嘿，沒想到還真能作出如圖1所示的正方形圖形來！

這還真應(yīng)了我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚說的：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家事萬休?！?/p>

作完此圖，雖然這個問題不是很難，但丁丁心里還是挺高興的，畢竟這樣的數(shù)形結(jié)合的例子很少。

一不做二不休，根據(jù)這個例子，丁丁展開了思考。“還可以作出其他的圖形嗎？”丁丁這樣想，“由圖1觀察可知，兩個數(shù)相加為正方形邊長，那么答案應(yīng)該不止這一種。”經(jīng)過探索，丁丁又作出了一張圖（如圖2所示）。1×9+2×8+3×6+4×7+5×10=121。

丁丁繼續(xù)探索下去，可是沒有找出第三種答案。

于是，丁丁又轉(zhuǎn)換思維。結(jié)果能不能不是11的平方，而是10、12、13、14、15、16……的平方呢？

如果邊長為10，那么只有一種結(jié)合情況：9+1=8+2=7+3=6+4。分析發(fā)現(xiàn)，不能找到5個長方形構(gòu)成邊長為10的正方形。

如果邊長為14或更大，則更不能找到5個長方形構(gòu)成的正方形了。如為14，那么邊長的組合情況只能為：10+4=9+5=8+6。只能找到三組和為14的數(shù)字，滿足不了四組。更大的邊長就不用說了。

這樣一來，能符合題目要求做正方形邊長的只能為11、12、13了。11的情況上面已經(jīng)有了。經(jīng)過探索，丁丁發(fā)現(xiàn)邊長為12的正方形作不出來，而邊長為13的也有兩種構(gòu)圖。

即上題可改為：請用1～10這10個數(shù)，組成5個乘式，使它們相加之和等于169，你能寫出這5個算式，并作出5個長方形拼成一個正方形嗎？

方法一：作出如圖3所示的正方形。不難看出，符合要求的答案是：2×1+10×5+9×8+6×4+7×3=169。

方法二：作出如圖4所示的正方形。不難看出，符合要求的答案是：2×1+10×6+9×7+5×4+8×3=169。

啊哈！發(fā)現(xiàn)這個奧秘后丁丁立即告訴了老爸。老爸和丁丁都笑開了花！