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    基于中國剩余定理和貪婪算法擴展的QC-LDPC 碼*

    2014-03-18 05:51:56龐曉磊田方方賈雪婷
    電訊技術(shù) 2014年11期
    關(guān)鍵詞:碼長碼字校驗

    黃 勝,龐曉磊,田方方,賈雪婷

    (重慶郵電大學 光纖通信技術(shù)重點實驗室,重慶400065)

    1 引 言

    LDPC 碼具有逼近Shannon 限的優(yōu)秀性能[1],而且譯碼復雜度較低,已經(jīng)成為近幾年編碼學者的研究熱點。目前LDPC 碼的研究主要分為3 個方向,一是性能優(yōu)化設(shè)計方法,二是降低編碼復雜度[2],三是在通信系統(tǒng)中的應(yīng)用[3],本文重點在性能優(yōu)化設(shè)計方法方面。而LDPC 碼的構(gòu)造方法主要分為隨機構(gòu)造方法[4]和結(jié)構(gòu)化構(gòu)造方法[5]兩類。由于隨機碼具有很大的編碼復雜度,因此在實際應(yīng)用中受到很大的限制。準循環(huán)(QC)LDPC 碼是一個很好折衷方案,不僅具有非常優(yōu)秀的性能,而且其代數(shù)結(jié)構(gòu)大大降低了運算和存儲復雜度,一些QCLDPC 碼甚至具有和隨機碼比肩的優(yōu)異性能[6]。

    陣列碼是一類具有特殊結(jié)構(gòu)的QC-LDPC 碼,不僅具有QC-LDPC 的代數(shù)結(jié)構(gòu),可以用簡單的移位寄存器進行編碼,同時也具有低錯誤平層、圍長至少為6、糾突發(fā)錯誤的優(yōu)點[7-8]。中國剩余定理(CRT)已被應(yīng)用于計算機、編碼、數(shù)字信號處理等領(lǐng)域,而結(jié)合CRT 的QC-LDPC 碼已經(jīng)被陸續(xù)研究[9-11]。利用CRT 構(gòu)造LDPC 碼的優(yōu)勢是,用若干個QC-LDPC 短碼作為分量碼可以構(gòu)造出QC-LDPC 長碼,并且QC-LDPC 長碼的圍長不小于所有分量碼的最大圍長。將陣列碼作為分量碼,文獻[9]利用CRT 構(gòu)造出了不含4 環(huán)的QC-LDPC 碼,文獻[10]利用CRT 方法構(gòu)造出了一類不含4 環(huán)并且6環(huán)數(shù)量大大減少(但不能完全消除)的QC-LDPC碼。由于陣列碼的循環(huán)置換矩陣(CPM)尺寸為素數(shù),因此這兩種方法得到的QC-LDPC 碼的碼長取值非常受限。文獻[11]構(gòu)造的CRT 碼雖然最短環(huán)數(shù)列較文獻[12]構(gòu)造的縮短陣列碼(SAC)有一定的減少,但是還有進一步改進的空間。從目前CRT在LDPC 碼的應(yīng)用[9-11]可知,除了第一個是陣列碼外,其他的分量碼都是隨機選擇,導致新構(gòu)造的碼性能有不同程度的削弱。

    基于以上問題,本文提出了一種結(jié)合CRT 和貪婪算法擴展QC-LDPC 碼的構(gòu)造方法,其循環(huán)置換子矩陣由0 矩陣、樓梯矩陣及其右移矩陣構(gòu)成。該方法所構(gòu)造的碼與文獻[9-11]不同,不僅碼長更加靈活,而且圍長更大,最重要的是只需已知一個分量碼——縮短陣列碼,通過CRT 和貪婪算法得出剩下分量碼和最終所構(gòu)造碼。仿真結(jié)果表明本文提出的構(gòu)造方法在AWGN 和瑞利衰落信道中與文獻[11-12]的碼字相比,當誤碼率為10-6時,凈編碼增益(NCG)有一定程度的改善,與Gallager 隨機碼性能相似但編碼復雜度大大降低。

    2 縮短陣列碼的校驗矩陣

    QC-LDPC 碼對應(yīng)的校驗矩陣由許多相同維數(shù)的子循環(huán)方陣組成,循環(huán)方陣由0 矩陣或者CPM組成。

    QC-LDPC 碼的校驗矩陣可以表示為

    其中,aij∈﹛ 0,1,2,…,L-1,∞﹜。如果aij=∞,Paij(0≤i≤m-1,0≤j≤n-1)代表一個0 矩陣,否則表示一個循環(huán)右移單位矩陣aij次的L×L 循環(huán)置換矩陣。H 矩陣的m 塊行記為從0 到m-1 塊行,n 塊列記為從0 到n-1 列。

    校驗矩陣H 的指數(shù)矩陣E(H)可以如式(2)表示:

    并且H 可以由E(H)中每個元素aij用Paij替代獲得。

    陣列碼是一類基于L×L 循環(huán)置換矩陣的QCLDPC 碼。陣列碼的指數(shù)矩陣被定義為E(H)=(aij),aij=i×j mod L,這里0≤i≤M-1 并且0≤j≤L-1,M 是正整數(shù),L 是素數(shù)且保證M≤L。陣列碼的校驗矩陣[7]為

    縮短陣列碼為在陣列碼的基礎(chǔ)上刪除特定的列的矩陣,以便獲得更大圍長[12]。

    定理[7]:當在陣列碼的校驗矩陣H 中存在一個塊行列指數(shù)對序列(i1,j1),(i1,j2),(i2,j2),(i2,j3),...,(ik,jk),(ik,j1)使得i1(j1-j2)+i2(j2-j3)+...+ik(jk-j1)≡0 mod L,則此陣列碼存在一個2k 環(huán),其中il≠il+1,jl≠jl+1,l=1,2,…,k-1,且ik≠i1,jk≠j1。

    圖1是指數(shù)矩陣存在6 環(huán)的結(jié)構(gòu)以及約束方程[12]。表1為對應(yīng)列重為4 的指數(shù)矩陣存在環(huán)6的約束方程以及消除環(huán)的序列[12]。

    圖1 存在6 環(huán)的指數(shù)矩陣和對應(yīng)的約束方程Fig.1 Exponent matrix with six cycles and its governing equation

    表1 列重為4 的指數(shù)矩陣在模L 下對應(yīng)的環(huán)6 約束方程和消去6 環(huán)的序列Table 1 Six cycle-governing equation for shortened array codes with modulus L and column-weight r=4,and greedy sequences avoiding solutions to six cycle-governing equation

    3 基于CRT 和貪婪算法構(gòu)造圍長至少為8的QC-LDPC 碼

    由表1中消除所有環(huán)6 的序列可以得到縮短陣列碼,但縮短陣列碼獲得的大圍長是以犧牲特定的列獲得的,因此縮短陣列碼相對一般的陣列碼具有較大圍長且較短碼長的特點。為進一步改善性能,把CRT 和貪婪算法結(jié)合起來擴展縮短陣列碼以便獲得更大圍長、更加靈活的碼長,如果圍長一樣,則使得最短環(huán)的數(shù)量盡可能地少。

    設(shè)L1,L2,…,Ls是CRT 中s 個不同的的除數(shù)使得L=L1×L2…Ll…Lf…×Ls。其中f= 1,2,…,s,GCD(Ll,Lf)= 1(GCD 表示最大公約數(shù))。設(shè)Cf是一個QC-LDPC 碼,它的校驗矩陣Hf是一個基于Lf×Lf的CPM 或者0 矩陣的m×n 陣列。而且E(Hf)=是Hl的一個指數(shù)矩陣。

    在縮短陣列碼的基礎(chǔ)上結(jié)合CRT 和貪婪算法構(gòu)造一個QC-LDPC 長碼,它是一個mL×nL 的校驗矩陣H。aij表示s 個分量碼經(jīng)過CRT 和貪婪算法之后形成新的碼字H 的指數(shù)矩陣中的元素,步驟如下所示(符號說明:E(Hf)表示第f(f=1,2,…,s)個分量碼指數(shù)矩陣,afij表示為E(Hf)的第i 行第j 列元素。E(Bf)表示第f 個臨時新構(gòu)造的指數(shù)矩陣,bfij為E(Bf)的第i 行第j 列元素):

    (1)E(H1)置為上文所述縮短陣列碼的指數(shù)矩陣,其余f-1 個分量碼指數(shù)矩陣E(Hf)的第一行第一列的元素置為0;

    (2)CRT:如果ri≠∞,其中i = 1,2,則t =這里且Ai為滿足Ai≡1mod Ki約束條件的最小正整數(shù);否則若ri=∞,則t=∞。其中,ri表示參與CRT 操作的指數(shù)矩陣中的元素,Ki表示參與CRT 運算對應(yīng)指數(shù)矩陣循環(huán)置換矩陣的維數(shù);

    (3)利用CRT 和貪婪算法求E(Hf)和E(H)中的各個元素,如圖2所示。

    圖2 獲得aij與(2<f≤s)的流程圖Fig.2 Flow chart of acquring both aij and (2<f≤s)

    具體的步驟如下:

    1)i=2,j=2;

    2)根據(jù)E(H1),利用CRT,計算E(B1)中的元素和E(H2)中的元素,確定的策略就是利用貪婪算法在0 至L2-1 中通過和E(H1)中對應(yīng)位置的已知元素利用CRT 選擇使當前構(gòu)造的校驗矩陣圍長H1B最大的元素。如果有多個元素同時滿足該條件,即選擇同時使得當前分量碼圍長盡可能大的最小元素。在確定H1B中b1ij的同時也確定a2ij,維數(shù)變?yōu)?/p>

    3)f 從2 到s 遞增變化循環(huán)執(zhí)行下面的操作:根據(jù)E(Bf),利用CRT 計算E(Bf)中的元素bfij和E(Hf+1)中的元素確定的策略就是利用貪婪算法在0 至Lf+1-1 中通過和E(Bf)中對應(yīng)位置的已知元素利用CRT 選擇使當前構(gòu)造的校驗矩陣圍長最大的元素。如果有多個元素同時滿足該條件,即選擇同時使得當前分量碼圍長盡可能大的最小元素,維數(shù)變?yōu)檠h(huán)結(jié)束后,計算獲得的E(Bs-1)中的元素bs-1ij,即為E(H)中的元素aij;

    4)先遞增i,再遞增j,循環(huán)執(zhí)行第2 步和第3步,計算出E(H)中的所有元素aij;

    (4)將得到指數(shù)矩陣E(H)記為E(H)=(aij);

    (5)把E(H)中的每個元素aij用Daij代替獲得碼字C 的校驗矩陣H。其中循環(huán)置換D 矩陣不同于第2 節(jié)中的循環(huán)置換矩陣P,采用樓梯矩陣D,L階樓梯矩陣D 的構(gòu)造方法如下所示:

    1)把第一個1 放在第一行第[L/2] 列;

    2)接下來每一個數(shù)1 放在前一個數(shù)1 的右上一格;

    3)如果這個數(shù)1 所要放的格已經(jīng)超出了頂行那么就把它放在底行,仍然要放在右一列;

    4)如果這個數(shù)1 所要放的格已經(jīng)超出了最右列那么就把它放在最左列,仍然要放在上一行;

    5)按照上面的方法放置L 次后保證所得L 階矩陣每行每列只有一個數(shù)1。

    引理[9]:假設(shè)l=1,2,…,s,讓gl記為分量碼Cl的圍長,g 為s 個分量碼經(jīng)過CRT 構(gòu)造的碼C 的圍長,則g≥max{g1,g2,…,gs}。

    推論:如果存在任意s 個兩兩互素的數(shù)L1,L2,…,Ls,則其中任意l 個數(shù)的乘積與剩下的s-l 個數(shù)兩兩互素,其中1<l≤s。

    證明:由s 個兩兩互素的數(shù)可知GCD(Lα,Lβ)=1,其中1≤α,β≤s 且α≠β。A= L1×L2…Ll,B=Lf,l<f≤s,GCD(A,B)≠1,則存在GCD(Lγ,Lf)≠1,1≤γ≤l。這顯然與題目條件矛盾,所以假設(shè)不成立,原命題成立。

    由上述定理和推論可知,經(jīng)過CRT 和貪婪算法,由上述方法構(gòu)造的新碼圍長依次為gB1≥max{g1,g2}→gB2≥max{gB1,g3}→…→gBs-2≥max{gBs-3,gs-1}→g≥max{gBs-2,gs}gBi(1≤i≤s-2)。

    通過上述分析,本文通過CRT 和貪婪算法構(gòu)造的新碼與傳統(tǒng)的CRT 方法擴展的LDPC 碼[9-11]不同,不僅具有靈活的碼長和更大的圍長,如果圍長一樣,則最短環(huán)的數(shù)量盡可能地少,而且只需要一個分量碼即可。

    4 仿真與性能分析

    4.1 LDPC 碼在加性高斯白噪聲信道下的性能仿真

    本文仿真中調(diào)制方法采用的是BPSK 調(diào)制,傳輸信道選用的是加性高斯白噪聲(AWGN)信道,采用BP 譯碼算法。首先仿真了所構(gòu)造的碼字在BP譯碼算法中不同迭代次數(shù)時的糾錯性能,如圖3所示。由圖3可知QC-LDPC(7592,3796)碼隨著迭代次數(shù)的增大,其NCG 有一定的提高,但是迭代次數(shù)到達一定次數(shù)時,其NCG 的差別就越來越小,甚至不再提高,但是迭代次數(shù)的增加會增加譯碼的復雜度,譯碼耗時就越長。綜合以上分析本文折衷選擇迭代次數(shù)16。

    圖3 不同迭代次數(shù)時QC-LDPC(7592,3796)碼糾錯性能Fig.3 Error correction performance of QC-LDPC code(7592,3796)with different number of iterations

    利用表1構(gòu)造一個圍長為8、列重為4 的縮短陣列碼,其校驗矩陣H1是一個基于73×73 的循環(huán)置換子矩陣的4×8 陣列。為把H1擴展為一個949×949 的循環(huán)置換子矩陣的4×8 陣列。首先,選擇s=2,L2=13,則L=949。利用貪婪算法構(gòu)造一個維數(shù)是4×8 陣列碼指數(shù)矩陣E(H2),其次通過CRT 和貪婪算法構(gòu)造E(H)。最后把E(H)中的每個元素aij用Daij代替,獲得了一個圍長為8 的QC-LDPC 碼字C,但是新構(gòu)造的碼最短環(huán)的數(shù)量相對于文獻[11-12]大大降低,具體如表2所示。圖4為構(gòu)造碼字的誤比特率性能曲線。為了充分說明本文提出碼字的糾錯性能,文獻[12]中的縮短陣列碼(SAC)和文獻[11]中的CRT 碼以及Gallager 隨機碼也在圖中顯示。從圖3中可以看出在相同碼長、碼率、列重的條件下,本文提出的QC-LDPC 碼字在10-6誤碼率條件下比文獻[12]中的碼字有1.2 dB 左右的NCG,比文獻[11]的碼字有0.3 dB左右的改善,和Gallagher 隨機碼具有相似性能但編碼復雜度大大降低。

    表2 不同算法構(gòu)造的QC-LDPC 碼對應(yīng)的最短環(huán)的數(shù)量Table 2 The number of the shortest cycles through constructing QC-LDPC codes via different algorithms

    圖4 不同算法構(gòu)造的碼率為1/2 且相同碼長、列重為4條件下的QC-LDPC 碼在AWGN 信道下誤碼率性能對比Fig.4 BER performance of constructing QC-LDPC codes by different algorithms with the same code rate,code length and column-weight r=4 in AWGN channel

    4.2 LDPC 碼在瑞利衰落信道下的性能仿真

    LDPC 碼在瑞利衰落信道的性能仿真對比如圖5所示,采用BPSK 調(diào)制,BP 譯碼算法,瑞利衰落信道Ts=0.5×10-6,fd=100,未知初始信道狀態(tài)信息,迭代30 次。

    圖5 不同算法構(gòu)造的碼率為1/2 且相同碼長、列重為4條件下的QC-LDPC 碼在瑞利衰落信道下誤碼率性能對比Fig.4 BER performance of constructing QC-LDPC codes by different algorithms with the same code rate,code length and column-weight r=4 in Rayleigh fading channel

    從圖5中可以看出在相同碼長、碼率、列重的條件下,本文提出的QC-LDPC 碼字在10-6誤碼率條件下比文獻[12]中的碼字有2 dB左右的NCG,比文獻[11]的碼字有0.7 dB左右的改善,和Gallagher 隨機碼具有相似性能但編碼復雜度大大降低。

    通過上述仿真可知,無論瑞利衰落信道還是AWGN 信道,本文提出算法相比其他算法均具有更好的性能,通過不同信道下的NCG 對比,本文提出的算法更具抗干擾性。

    5 結(jié) 論

    本文利用CRT 和貪婪算法,在縮短陣列碼基礎(chǔ)上通過CRT 和貪婪算法構(gòu)造更大圍長和碼長更加靈活的QC-LDPC 碼字,所構(gòu)造的碼字的校驗矩陣是采用樓梯矩陣D 循環(huán)置換而成。與目前CRT 在LDPC碼的應(yīng)用相比,本文所提出的碼字的構(gòu)造只需已知一個分量碼——縮短陣列碼,通過CRT 和貪婪算法得出剩下分量碼和最終所構(gòu)造碼,同時碼盡可能大地增大圍長,如果圍長一樣,則盡可能地降低最短環(huán)的數(shù)量。仿真結(jié)果表明,在AWGN 信道和瑞利衰落信道條件下,本文提出的構(gòu)造方法性能均優(yōu)于文獻[11-12]中構(gòu)造的碼字,具有更好的抗干擾性能,且與Gallager 隨機碼在相同條件下具有相似的性能但具有較低的編碼復雜度,由此可見,本文提出的構(gòu)造方案在不同的信道環(huán)境下均有較強的競爭力,為未來移動通信系統(tǒng)糾錯碼提供了一種選擇方案。

    在今后的研究工作中,可以在本文提出的構(gòu)造方法基礎(chǔ)上,與雙對角線結(jié)構(gòu)相結(jié)合并進行一定的改進,以便在降低編碼復雜度的同時盡可能地減少對性能的削弱。

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