三維數(shù)字重建在青銅器修復(fù)中的應(yīng)用研究

孫修恩， 張典華,， 孫昕萍

（1. 上海大學(xué)數(shù)碼藝術(shù)學(xué)院，上海 201800；2. 上海大學(xué)計算機工程與科學(xué)學(xué)院，上海 201800）

三維數(shù)字重建在青銅器修復(fù)中的應(yīng)用研究

孫修恩1， 張典華1,2， 孫昕萍1

（1. 上海大學(xué)數(shù)碼藝術(shù)學(xué)院，上海 201800；2. 上海大學(xué)計算機工程與科學(xué)學(xué)院，上海 201800）

如何利用數(shù)字化手段將文物碎片進行三維重建是當前考古學(xué)家和歷史學(xué)家關(guān)注的問題。利用三維激光掃描儀獲取了青銅器陶范殘片的數(shù)據(jù)，利用人機交互的方式去除噪聲點，利用變分法的隱式曲面建立點云數(shù)據(jù)的曲面，利用最鄰近點法實現(xiàn)點云數(shù)據(jù)的轉(zhuǎn)換，利用分形插值的方法進行三維曲面上的空洞修補，利用逆向工程和三維建模軟件調(diào)整陶范模型的形狀、紋飾、結(jié)構(gòu)，對陶范進行反轉(zhuǎn)法線處理，得到青銅器碎片。然后計算旋轉(zhuǎn)軸，將青銅器碎片沿軸均勻排列，得到三維青銅器模型，并對縫隙進行修補。運用二維圖像處理軟件對需要進行紋理映射的紋飾進行修訂，最后利用三維打印軟件修復(fù)轉(zhuǎn)換過程中的片面破損，并進行三維打印，得到真實的青銅器樣本。從得到的青銅器來看，紋飾完整，器形規(guī)整，完全滿足設(shè)計的要求。

青銅器；三維重建；掃描儀；陶范

文物在發(fā)掘過程中難免受到自然及人為因素的破壞，針對眾多文物碎片，能否很好地利用數(shù)字技術(shù)對這些具有歷史價值、文化價值和科學(xué)研究價值的文物進行保護，將殘缺的文物碎片進行數(shù)字化修復(fù)和重建，并還原出殘缺文物所遺失的文化信息，一直是考古學(xué)家和歷史學(xué)家關(guān)注的問題。文物的三維重建目前主要有3種方法，基于測量的方法、基于計算機視覺的方法和基于三維掃描儀的方法。隨著三維掃描儀的技術(shù)發(fā)展，采用這種辦法已成為當下技術(shù)的主流。

美國Stanford大學(xué)的Forma Urbis Romae項目是利用Cyberware三維掃描儀對石塊進行了掃描[1]，但因為獲取了不同分辨率的模型，克服不同分辨率之間的校正誤差成為一個難題。美國Brown大學(xué)的SHAPE項目以約旦的Petra Great Temple考古為背景，采用曲線匹配技術(shù)實現(xiàn)了文物復(fù)原[2]。西北大學(xué)的姬利艷等[3]利用三維掃描儀將兵馬俑碎片輸入計算機，利用自動和手動的方式調(diào)整復(fù)原兵馬俑，提高了修復(fù)效率。樊少榮等[4]利用掃描儀FastSCAN和Inspeck-3D-DF掃描文物碎片，并分析了文物表面的反光對掃描結(jié)果的影響等問題。榮國棟和孟祥旭[5]對掃描中的注意事項進行了說明。本項目運用三維掃描技術(shù)和逆向工程軟件對殷商青銅器陶范碎片進行三維數(shù)據(jù)采集和數(shù)字化虛擬修復(fù)和重建，主要是綜合利用現(xiàn)有技術(shù)解決三維重建。

主要創(chuàng)新點在于充分利用隱式曲面和參數(shù)化曲面的優(yōu)勢建立了曲面；利用人機交互的方式去除了壞點和冗余點；利用分形插值的方法進行了三維曲面上的修復(fù)；首先尋找碎片的旋轉(zhuǎn)軸，然后通過軸陣列生成完整的鼎；最后利用“圖片映射法”修復(fù)了紋飾。

1 數(shù)字重建與修復(fù)的技術(shù)方案

采用基于圖像的三維掃描儀 3D CaMega PCP-400進行數(shù)據(jù)獲取，利用逆向工程軟件Geomagic進行曲面重建后的空洞修補、噪聲點去除等操作；運用Zbrush修復(fù)掃描后的青銅器陶范數(shù)據(jù)模型的形狀、紋飾、結(jié)構(gòu)。運用 3DMax進行三維模型渲染等操作；運用Keyshot對修復(fù)后期的模型進行三維效果圖渲染；運用Photoshop對需要進行紋理映射的圖案進行處理；運用三維打印數(shù)據(jù)處理軟件Magics修復(fù)格式轉(zhuǎn)換過程中產(chǎn)生的面片損壞；運用三維打印機控制軟件CatalystEX打印輸出三維的真實模型。

2 陶范樣本的選取與數(shù)據(jù)采集

采集了3組青銅器陶范碎片的數(shù)據(jù)（見表1），選擇第2組數(shù)據(jù)進行修復(fù)是因為這組碎片相對較為完整（推測可能是整體陶范的1/3碎片）；其紋飾也相對較為完整、清晰并具有代表性。

表1 采集的數(shù)據(jù)

3 數(shù)據(jù)模型的修復(fù)與重建

3.1曲面重建

曲面主要有隱式曲面和參數(shù)化曲面兩種。實驗中充分利用了參數(shù)化曲面和隱式曲面的長處，將模型用點云數(shù)據(jù)表示。因為點云數(shù)據(jù)對一致性要求比較低，重構(gòu)曲面比較簡單，同時應(yīng)用隱式曲面中的有向距離函數(shù)，降低布爾運算的難度。

曲面重建中使用的曲率探測范圍為100～750 L/mm，過濾器角度為75°，使用的目標公差為0.1 mm，使用輪廓線簡化的曲率級別為 0.3，對曲面片邊界優(yōu)化頂點度數(shù)，使用的柵格構(gòu)建范圍為14～30，曲面控制點個數(shù)范圍為8～24，張力為0.25。使用最短距離進行3D參數(shù)的偏差測量，臨界法線角為45°，并忽略統(tǒng)計體外孤點。使用全局注冊，收斂迭代3次，重疊領(lǐng)域尺寸為 3，使用中線匹配，鄰近點設(shè)定為無邊界。在進行曲面擬合時，修正了銳角點處的連續(xù)性。調(diào)用了OpenGL進行了重建，并使用了P緩沖，并對多邊形進行了預(yù)處理，其中偏移值三角形為1.0 mm，邊0.5 mm，頂點為-1.0 mm，并對材質(zhì)進行了Mipmap篩選。

3.2 噪聲點去除

由于設(shè)備的精度、環(huán)境、人為操作等因素的影響，通過三維掃描儀獲得的點云數(shù)據(jù)往往都有一定的噪聲，因此去噪成為基于點云曲面重建中的一項重要研究內(nèi)容，國內(nèi)外學(xué)者對此做了大量研究[6-8]。

實驗時主要是利用人機交互的方式去除壞點和冗余點。通過圖形顯示，判別明顯壞點，在數(shù)據(jù)序列中將這些點剔除。使用了棱柱形來降低噪音，允許的體外孤點為1%，進行智能擬合時可以使用允許的體外孤點比例為20%，并迭代3次。

在去除噪聲點的過程中，將三維掃描儀獲取的青銅器陶范數(shù)據(jù)在Geomagic軟件中打開，可以看見數(shù)據(jù)是由多片點云構(gòu)成的整體。左端是一列(0020001-0020014)點云數(shù)據(jù)片，綠色顯示部分是被選中的點云數(shù)據(jù)片 0020001?？梢钥吹皆谥黧w點云數(shù)據(jù)的周圍還有許多零散的點云，通過使用不同的“選取框”，選擇這些非連接點和孤點，然后刪除掉。

利用棱柱形來減少噪聲，將偏差限制在2.00 mm，顯示的偏差范圍為最大臨界值0.55468 mm，最大名義值0.01065 mm，最小名義值-0.01065 mm，最小臨界值-0.55468 mm，經(jīng)統(tǒng)計計算后的噪聲最大距離為0.554680 mm，平均距離為0.010650 mm，標準偏差為0.012932 mm。

3.3 數(shù)據(jù)合并

數(shù)據(jù)合并的主要任務(wù)是將多個點云數(shù)據(jù)生成一個曲面片。本文利用了變分法的隱式曲面建立點云數(shù)據(jù)的曲面[9]，利用公共域的曲面得到了符號距離函數(shù)ψ ( x ,y,z)，從而得到點云曲面模型s。并利用Hamilton-Jacobi方程結(jié)合最優(yōu)化方法證明了算法的有效性，最后用最鄰近點法實現(xiàn)了點云數(shù)據(jù)的轉(zhuǎn)換。

通過3次實驗，如表2所示。對比數(shù)據(jù)結(jié)果，采用第1個實驗的數(shù)據(jù)，合并后可以看到，在掃描時還是有一些沒有被掃描到的地方，但這些地方也沒有紋飾，從而出現(xiàn)了很多破洞，如圖1所示。同時遺憾地發(fā)現(xiàn)，由于掃描儀的精度不夠，陶范上非常細小的紋飾沒有十分完全地被掃描出來，只能通過在后期的數(shù)字雕刻軟件上進行修復(fù)。

表2 3個實驗結(jié)果對比

圖1 點云數(shù)據(jù)合并后顯示出的破洞

3.4 空洞修補

在三維掃描儀工作時，由于環(huán)境等因素的影響，難免生成一些空洞，這些空洞會對曲面的重構(gòu)產(chǎn)生不良的影響，所以如何進行空洞的修補是基于點云曲面重建中的一項重要內(nèi)容。

本文采用的是基于分形插值的方法進行了三維曲面上的修復(fù)。與傳統(tǒng)的方法相比，分形插值可保證兩個相鄰點的局部特性和光順性，可獲得較高的精度。進行分形插值的逆問題是如何求取最優(yōu)的垂直比例因子，使它能最好地逼近目標函數(shù)，在算法中使用了遺傳算法求取了垂直比例因子。假設(shè) p為空洞各鄰接邊的平均值，具體插值步驟如下：

(1) 用間隔為2p的平面切分空洞區(qū)域，該平面和邊界上的三角面片的法向均值平行。

(2) 使用形狀指數(shù)求取特征點。

(3) 對同切平面距離小于p的特征點進行切平面投影。

(4) 對投影過的特征點使用一元分形插值算法，進行一次插值計算。

(5) 取現(xiàn)有切平面的垂直面，重復(fù)執(zhí)行A-D的步驟。

3.5 數(shù)據(jù)配準，求取旋轉(zhuǎn)軸

陶范是翻制青銅器的模具，它的紋飾造型與青銅器上的紋飾造型正好相反，使用Geomagic中的“反轉(zhuǎn)法線”命令可以使內(nèi)外面方向調(diào)轉(zhuǎn)以得到正型，此時就可以看出陶范碎片翻制的青銅器造型了。

Qian和Huang[10]在單位球上選了一組向量，并將這些向量做為法向量建立平面，再求得平面與文物相交線的方差，將方差最小的曲線簇的圓心擬合成直線，這條直線就是旋轉(zhuǎn)軸。Kampel和Sablatnig[11]研究了兩塊旋轉(zhuǎn)型曲面碎片的拼接方法，首先對齊碎片的旋轉(zhuǎn)軸，然后通過查看邊界線和母曲線是否匹配來實現(xiàn)拼接。將碎片按照上沿、中間和下沿分別進行處理，分別用母曲線和邊界線上對應(yīng)點的最小化距離計算得到旋轉(zhuǎn)軸的位移量和旋轉(zhuǎn)角度。但是該算法存在的問題是沒有考慮重疊檢測，而且分兩步求解具有兩個自由參數(shù)的最小化問題，使之無法得到最優(yōu)的結(jié)果。

此次重建利用碎片的旋轉(zhuǎn)軸，通過繞軸生成陣列來生成完整的鼎。計算步驟如下：

(1) 調(diào)整模型方向。因為掃描后的模型呈歪斜方向，Z軸在正方向有利于操作和計算。選擇口部位置的多邊形區(qū)域，通過“創(chuàng)建基準”建立通過這段近似圓弧的擬合平面，將此平面與全局坐標系的X、Y平面對齊，使模型成正方向，如圖2所示。

(2) 利用基準平面，求得相交線。將模型輸出為wrl格式，在Z軸方向相隔相等的距離插入一個基準平面，共插入11個基準平面。求出基準平面與模型的擬合相交線，隱藏模型后，從頂視圖判斷這些曲線分布的狀態(tài)可能近似為同心圓弧，由于中間的曲線受到器物紋飾外形的影響產(chǎn)生了噪聲，因為口部和底部沒有紋飾，曲線受到的影響較小，所以選取靠近口部和底部的 4條曲線推斷器物的軸心線。

(3) 求取同心圓的圓心。選取4條曲線上3個點，共計12個點（PNT4、PNT3、PNT5；PNT11、PNT10、PNT9；PNT12、PNT13、PNT14；PNT6、 PNT8、PNT7），在曲線所在平面通過各組的3個點畫圓，共得出4個圓，如圖3所示。判斷出這些曲線的分布狀態(tài)并不是很嚴謹?shù)耐膱A，存在一些偏差，通過測量這4個圓的圓心與基點的X、Y坐標距離統(tǒng)計出平均標準誤差率為7.6%。這不僅說明在古代由于測量工具還不是很精確，匠人在制作時會有走形，文物經(jīng)過長時間掩埋受壓力影響會發(fā)生形變，而且掃描儀精度等因素也會造成誤差，但誤差率只有7.6%，如表3所示，是在可接受范圍之內(nèi)狀態(tài)，因為肉眼無法分辨這些細小的差別。

圖2 利用基準平面，求出相交線

圖3 旋轉(zhuǎn)軸

表3 誤差

(4) 求取旋轉(zhuǎn)軸。通過選取統(tǒng)計結(jié)果的 X、Y坐標平均值(22846.75，34813.50)作為確定的圓心坐標，即可求出旋轉(zhuǎn)軸。在“軸陣列”中設(shè)置旋轉(zhuǎn)總度數(shù)為360°，復(fù)制份數(shù)為4時，計算機自動計算出假設(shè)由4片碎片組成的器物結(jié)果。分析結(jié)果發(fā)現(xiàn)，碎片之間重疊很大，所以否定了器物是由4分碎片組成的假設(shè)。再次“軸陣列”，設(shè)置復(fù)制份數(shù)為3，分析結(jié)果發(fā)現(xiàn)，重疊部分非常少，說明這種假設(shè)是有可能成立的，這一假設(shè)也與文獻資料相符合（圓形鼎一般為3足鼎，方形鼎為4足鼎），但在邊緣部分有一些偏差，這再一次證明了古代由于測量工具不精確，制作時走形，文物長時間掩埋受壓形變，掃描儀精度造成誤差的分析判斷。

3.6 網(wǎng)格重建，調(diào)整器形

在生成較為完整的青銅器圓鼎的虛擬造型后，需要對 3片數(shù)據(jù)之間的縫隙進行填補修復(fù)。即在3DMax中把數(shù)據(jù)導(dǎo)出為OBJ格式，把3個碎片數(shù)據(jù)之間的多余部分刪除，再使用填充孔技術(shù)對縫隙處進行填補，得出較為完整的虛擬青銅器圓鼎造型。

由此生成的虛擬青銅器圓鼎有變形。是因在填補空隙和孔洞時是通過Geomagic軟件強大的計算功能自動計算得出結(jié)果，難免會出現(xiàn)偏差，從而造成變形。而Geomagic的編輯功能不強，無法對這些變形進行高效的處理。

在Geomagic軟件中把數(shù)據(jù)另存為OBJ格式，在Zbrush軟件中導(dǎo)入，使用“筆刷”工具對造型進行調(diào)整：Zbrush軟件配合手繪板可以非常方便地對造型進行抹平、擠壓、移動、堆積、平滑，就像在做雕塑一樣。調(diào)整好造型后，再導(dǎo)出為OBJ格式，導(dǎo)入Geomagic軟件中，通過“用平面進行裁剪”將多余的部分刪除掉（Zbrush軟件雖然可以使造型產(chǎn)生形變，但它不能刪除面片，所以只好再次導(dǎo)入到Geomagic軟件中進行刪除）。

3.7 圖片映射法修復(fù)

紋理映射是進行模型重建中的重要一環(huán)，進行紋理映射后的模型可充分提高逼真度，增加細節(jié)。但進行映射過程中會產(chǎn)生許多問題，尤其是利用多幅圖片進行貼圖，會在技術(shù)上和算法上產(chǎn)生許多問題，此次修復(fù)采用“圖片映射法”修復(fù)紋飾。

運用軟件經(jīng)過多次對青銅器陶范碎片進行修復(fù)，已能將陶范碎片所對應(yīng)的青銅器物的整體數(shù)據(jù)模型重建了出來，但數(shù)據(jù)模型上面的有不少殘缺的紋飾，下一步就必須開始著手對缺失的紋飾進行修復(fù)。需要修復(fù)的紋飾可分為2類：第1類是受限于掃描儀設(shè)備精度而沒有能夠采集到的紋飾數(shù)據(jù)；第2類是原本碎片上就缺失的紋飾。對于第1類紋飾可以參考使用數(shù)碼相機拍攝的高分辨率照片進行修復(fù)，對于第2類紋飾要通過結(jié)合數(shù)碼照片和查閱資料、專家論證的方式進行推演修復(fù)。

首先選用“圖片映射法”修復(fù)第1類紋飾：使用Photoshop軟件的“反色”功能將數(shù)碼機拍攝的陶范碎片照片的顏色反轉(zhuǎn)（器物和陶范的紋飾凹凸正好相反），并加大明暗對比度。

打開 Zbrush軟件，導(dǎo)入數(shù)據(jù)，使用“圖片映射”功能把制作好的參考圖映射到數(shù)字模型上。在操作中發(fā)現(xiàn)數(shù)碼照片上的紋飾是有透視和變形的，直接映射會產(chǎn)生偏差（紋飾和數(shù)據(jù)模型上的紋飾對不齊）。

由于數(shù)碼照片上的紋飾有透視和變形，直接映射時會產(chǎn)生一定的誤差，因此每次映射時都要把數(shù)字模型上的紋樣旋轉(zhuǎn)到正面，再參考數(shù)碼照片上變形較少的部分進行映射，映射要一點一點進行，在紋樣相交處會存在映射重疊。

3.8 修復(fù)紋飾

器物上的紋飾有兩種形態(tài)：第1種是形體較大凸出較明顯的，第2種是非常細小，深度較淺的。首先要修復(fù)第1種紋飾。使用Zbrush的“蒙板”功能遮住大塊面紋飾周圍細小的紋飾（蒙板遮住部分不會受到雕刻的影響），使用“雕刻畫筆”工具可凸出大塊面紋樣。

此步驟會遇到雕刻過的地方映射圖片變模糊的問題。由于圖片是直接映射在模型頂點上，雕刻之后頂點位置發(fā)生了改變，隨之映射的圖片也會變得模糊起來，此時只能采用多次映射的方法進行修復(fù)。紋理貼圖后的最終效果如圖4所示。

圖4 紋理貼圖后的效果圖

從實驗結(jié)果可以看出，掃描得到的陶范冗余數(shù)據(jù)較多，經(jīng)過反轉(zhuǎn)法線操作后得到青銅器的碎片，但紋飾的細節(jié)缺失較大，后經(jīng)過紋理貼圖操作后再使用Zbrush的雕刻功能，可以使細節(jié)紋飾得到很好地體現(xiàn)。

4 結(jié) 束 語

實驗使用的三維掃描儀為3D CaMega PCP-400。陶范碎片的尺寸為160 mm×40 mm×180 mm。所用的電腦參數(shù)：CPU為酷睿2 i7-2640 M 2.8 GHz，內(nèi)存為8 G，顯卡為Nvidia Geforce GT 520 M，顯存1 G。打印的“層厚”選擇0.254 mm，使用170 g成形材料，328 g支撐材料，打印時間為47 h。

通過考古所得的陶范實現(xiàn)了青銅器復(fù)原，但也有許多有待提高的地方。首先較小、較碎的單體碎片很難修復(fù)成一個完整的器型，其重建的難度很大，是青銅器陶范修復(fù)的一個難題；其次受3D打印機的有限打印空間，限制了青銅器的尺寸。對紋飾的重建，還不能達到和文物碎片上的紋飾完美銜接。

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Application of 3D Digital Reconstruction in the Repair of Bronze Ware

Sun Xiuen1, Zhang Dianhua1,2, Sun Xinping1
(1. College of Digital Arts, Shanghai University, Shanghai 201800, China; 2. School of Computer Engineering and Science, Shanghai University, Shanghai 201800, China)

How to use digital means to reconstruct cultural relic fragments is an important issue, which is focused on by current archaeologists and historians. 3D laser scanner is used to collect the pieces data of bronze ware pottery mould in this study. Noise points are removed by the human-computer interaction. The surface of point clouds is created using the theory of implicit surface. The point cloud data conversion is realized using the method of adjacent points. The holes on the surface are repaired by interpolation. The shape, ornamentation, structure is adjusted using the software of reverse engineering and 3D modeling. The bronze pieces are created using the method of reversed normal on the pottery mould. Bronze pieces are arranged evenly along the axis which has been got from guides. Then the crack of the complete bronze is repaired. The texture of bronze ware is repaired according to photos and literatures. Finally the real bronze ware is created after the 3D printing software repairing the fragments which is created on the process of format conversion. The shape of created bronze is intact, the ornamentation is beautiful. In a word, the created bronze ware fully meets the requirements of design.

bronze ware; 3D reconstruction; scanner; pottery mould

TP 391.7

A

2095-302X(2014)06-0912-06

2014-04-29；定稿日期：2014-07-09

國家“863”計劃基金資助項目(2007AA01Z319)；上海市科委資助項目(12510708400、11511503302)；全國藝術(shù)科學(xué)“十五”規(guī)劃2005年國家年度課題資助項目(05BF036)

孫修恩(1959-)，男，河南洛陽人，副教授，碩士。主要研究方向為公共藝術(shù)。E-mail：laoxiujianghu@163.com

張典華(1975-)，男，山東萊州人，講師，博士。主要研究方向為虛擬現(xiàn)實。E-mail：bandit05@163.com