潘穎昕,高巧萍,劉文俊
(1.如皋高等師范學校數(shù)理與信息技術系,江蘇如皋 226500;2.揚州大學數(shù)學科學學院,江蘇揚州 225002)
對多項式微分系統(tǒng)解的形態(tài)研究是國內(nèi)外許多微分方程專家關注的熱點問題之一.對于周期微分系統(tǒng)可以采用Poincaré映射來研究其周期解的形態(tài),但有時尋找Poincaré映射比較困難.在這種情況下,前蘇聯(lián)微分方程專家V.I.Mironenko[1]于1981年首先提出了反射函數(shù)的概念,提供了求周期微分系統(tǒng)Poincaré映射的新途徑.通過這種方法,可以找到某些不可積周期微分系統(tǒng)的Poincaré映射,繼而研究其周期解的形態(tài).此后,E.V.Usafirov[2],L.A. Alisevich[3],ZHOU Zhengxin[4-5]等微分方程專家應用反射函數(shù)理論來探究微分方程周期解的性狀并已取得了若干好的成果.
文獻[6]將Mironenko的成果進一步拓展為廣義反射函數(shù),使得反射函數(shù)在周期解的存在性及穩(wěn)定性方面的應用有了進一步的發(fā)展.本文將應用廣義反射函數(shù)研究多項式微分方程周期解的存在性及穩(wěn)定性.
對于微分系統(tǒng)(1),如果X(t,x)連續(xù)可微,其Cauchy問題的解存在唯一,解φ(t;0,x)存在區(qū)間用Ix表示
定義1[6]若微分系統(tǒng)(1)Cauchy問題的解為φ(t;τ,x),X(t,x)連續(xù)可微,并滿足解的存在唯一性定理的條件,稱可微函數(shù)F(t,x)=φ(α(t);t,x),(t,x)∈D為系統(tǒng)(1)的廣義反射函數(shù),其中α(t)連續(xù)可微并滿足α(α(t))=t,α(0)=0.
性質(zhì)1[6]若x(t)為微分系統(tǒng)(1)的解,t∈I,0∈I,有F(t,x(t))=x(α(t)).
性質(zhì)2[6]F(α(t),F(xiàn)(t,x))≡F(0,x)≡x.
性質(zhì)3[6]可微函數(shù)F:D→?n為微分系統(tǒng)(1)的廣義反射函數(shù),當且僅當它為偏微分方程
的解.稱該式為廣義反射函數(shù)的基本關系式.
性質(zhì)4[6]若x′=Y(t,x)與x′=X(t,x)具有相同的廣義反射函數(shù),稱它們屬于同一類等價類或稱它們?yōu)榈葍r的.
性質(zhì)5[6]設F(t,x)為x′=X(t,x)的廣義反射函數(shù),且x′=Y(t,x)與x′=X(t,x)等價,則Y(t,x)=X(t,x)+F-1xR(t,x)+α′(t)R(α(t),F(xiàn)),這里R(t,x)為任意連續(xù)可微函數(shù).
引理1[6]設X(t+2ω,x)=X(t,x),若存在τ∈?使得α(τ)=2ω+τ,則微分系統(tǒng)(1)的Poincaré映射T(x)可以定義為T(x)=F(τ,x)=φ(α(τ);τ,x),從而微分系統(tǒng)(1)在[τ,τ+2ω]上有定義的解為2ω-周期解當且僅當F(τ,x)=x.
本文考慮多項式微分方程
的線性廣義反射函數(shù)及其周期解的存在性與穩(wěn)定性,式中pi(t)(i=0,1,2,…,n)為任意的連續(xù)可微函數(shù).
定理1 F(t,x)=f(t)x為多項式微分方程(3)的廣義反射函數(shù),當且僅當
證明 必要性.
設F(t,x)=f(t)x為多項式微分方程(3)的廣義反射函數(shù),則
即
比較等式兩邊x的相同次冪的系數(shù)可得
考慮F(0,x)≡x,則由式(5.1)可得
將式(6)代入式(5.0)及式(5.2)~(5.n)得
至此必要性成立.
充分性.
將式(4.1)~(4.n)及式(6)代入式(7)得
因此,F(xiàn)t(t,x)+Fx(t,x)X(t,x)=α′(t)X(α(t),F(xiàn)(t,x)),又F(0,x)=e-u(0)x=x顯然成立,由性質(zhì)3知F(t,x)=e-u(t)x是多項式微分方程(3)的廣義反射函數(shù).至此充分性成立.
定理2 若多項式微分方程(3)滿足定理1的條件,pi(t+2ω)=pi(t)(i=0,1,2,…,n),?τ∈?,α(τ)=2ω+τ,則
(1)當u(τ)>0時,多項式微分方程(3)有唯一的2ω-周期解且穩(wěn)定;
(2)當u(τ)<0時,多項式微分方程(3)有唯一的2ω-周期解但不穩(wěn)定;
(3)當u(τ)=0時,多項式微分方程(3)所有在[τ,τ+2ω]上有意義的解都是2ω-周期解.
證明 當多項式微分方程(3)為2ω-周期方程且?τ∈?,α(τ)=2ω+τ時,由引理1,其Poincaré映射為T(x)=F(τ,x)=e-u(τ)x,由T(x)=x易得定理結論成立.
推論 在定理2的條件下,函數(shù)F(t,x)=e-u(t)x也是微分方程
的廣義反射函數(shù),且該微分方程周期解的形態(tài)與微分方程(3)相同,這里R(t,x)為任意連續(xù)可微的2ω-周期函數(shù).
例1 Abel方程
具有廣義反射函數(shù)F(t,x)=φ(α(t);t,x)=eα2(t)-tx,其中
例2 n次多項式微分方程
具有廣義反射函數(shù)F(t,x)=φ(α(t);t,x)=x,其中α(t)=-t.由于F(-π,x)=x,故該微分方程在[-π,π]上有定義的解皆為2π-周期解.
通過廣義反射函數(shù)法,不但可以研究多項式微分方程周期解的存在性與穩(wěn)定性,還可以進一步研究更一般的微分方程周期解的存在性與穩(wěn)定性.
[1] MIRONENKO V I.Reflective Function and Periodic Solution of the Differential System[M].Minsk:Minsk University Press,1986:12-26.
[2] MUSAFIROV E V.Differential systems,the mapping over period for which is represented by product of three exponential matrixes[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications,2007,329(1):647-654.
[3] ALISEVICH L A.On linear system with triangular reflective function[J].International Journal of Differential Equations,1998,9(8):1446-1449.
[4] ZHOU Zhengxin.On the reflective function of polynomial differential system[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications,2003,278(1):18-26.
[5] ZHOU Zhengxin.The structure of reflective function of polynomial differential systems[J].Nonlinear Analysis,2009,71(1-2):391-398.
[6] 孫長軍.廣義反射函數(shù)的性態(tài)與應用[J].數(shù)學的實踐與認識,2010,40(10):222-228.
[7] 潘穎昕,高巧萍,周正新.第二類Abel方程的反射函數(shù)及其周期解[J].揚州大學學報:自然科學版,2013,16(2):8-12.
[8] 潘穎昕.高次微分系統(tǒng)解的性態(tài)研究[J].淮海工學院學報:自然科學版,2012,21(4):1-4.