一種聯(lián)合修正的穩(wěn)健Capon波束形成算法

(解放軍信息工程大學(xué),河南鄭州450002)

0 引言

隨著通信技術(shù)的發(fā)展,出現(xiàn)了無線電測(cè)向技術(shù)與接收技術(shù)相結(jié)合的定向天線系統(tǒng),如對(duì)數(shù)周期天線組成的圓形天線陣[1],該系統(tǒng)要在檢測(cè)信號(hào)的同時(shí)測(cè)出信號(hào)的方位,并對(duì)重點(diǎn)信號(hào)進(jìn)行接收。當(dāng)用定向天線單元組陣時(shí),除需分析單元天線特性外,自適應(yīng)波束形成技術(shù)是必須要討論的內(nèi)容,因?yàn)槔貌ㄊ纬杉夹g(shù)可以提取期望信號(hào),抑制干擾,提高陣列的接收性能。由于定向天線單元沒有固定的相位中心[2]且天線陣易受交叉極化的影響[3],使得陣列假定的導(dǎo)向矢量與真實(shí)的導(dǎo)向矢量存在較大的失配,從而導(dǎo)致傳統(tǒng)的波束形成算法性能下降甚至失效,因此穩(wěn)健波束形成算法成為研究的重點(diǎn)。同樣由于有限采樣等因素的影響,使得采樣協(xié)方差矩陣估計(jì)不準(zhǔn)確,嚴(yán)重影響了波束形成器的性能,尤其當(dāng)協(xié)方差矩陣中含有期望信號(hào)時(shí)算法性能急劇下降。

目前提出了很多穩(wěn)健的自適應(yīng)波束形成算法,文獻(xiàn)[4]對(duì)其中一些穩(wěn)健算法進(jìn)行了總結(jié),并分析了其優(yōu)缺點(diǎn)。針對(duì)現(xiàn)有的算法大致可以分為以下幾類：第一類方法是降低估計(jì)協(xié)方差矩陣不穩(wěn)定性(如低快拍數(shù)等)影響的穩(wěn)健波束形成算法?；窘鉀Q思路為對(duì)角加載技術(shù),文獻(xiàn)[5]中三種可以等效于對(duì)角加載形式的協(xié)方差估計(jì)方法。該類算法通過減小協(xié)方差矩陣的不穩(wěn)定性來提升波束形成器的性能,但這類方法在較大的導(dǎo)向矢量偏差下性能提升有限。文獻(xiàn)[6]給出了一種干擾噪聲協(xié)方差矩陣重構(gòu)的方法,通過Capon功率譜及期望信號(hào)來向區(qū)域得到一個(gè)不含期望信號(hào)分量的協(xié)方差矩陣,從而提升算法在高信噪比下的性能。第二類方法是期望信號(hào)導(dǎo)向矢量修正的穩(wěn)健波束形成算法。文獻(xiàn)[7-9]給出了基于不確定集的穩(wěn)健波束形成算法,該類算法通過將導(dǎo)向矢量約束于不確定集中,從而修正得到期望信號(hào)導(dǎo)向矢量。文獻(xiàn)[10]給出了一種失配誤差正交分解的穩(wěn)健自適應(yīng)波束形成,該算法通過最大化輸出功率迭代搜索期望導(dǎo)向矢量誤差的正交分量,從而得到修正后的導(dǎo)向矢量。文獻(xiàn)[11]給出了一種二次型約束的導(dǎo)向矢量修正方法,該算法利用盡可能少的先驗(yàn)信息得到一個(gè)穩(wěn)健解。文獻(xiàn)[12]給出了改進(jìn)的投影的穩(wěn)健波束形成算法,通過假定的期望信號(hào)導(dǎo)向矢量與協(xié)方差矩陣特征分解后的特征向量相關(guān)性得到期望信號(hào)子空間矩陣,把假定的導(dǎo)向矢量其子空間上投影得到修正后的導(dǎo)向矢量。第三類算法是聯(lián)合的穩(wěn)健波束形成算法,即同時(shí)處理協(xié)方差矩陣的擾動(dòng)和期望信號(hào)導(dǎo)向矢量的修正。文獻(xiàn)[6]穩(wěn)健算法首先利用期望信號(hào)來向區(qū)間及Capon功率譜重構(gòu)干擾噪聲協(xié)方差矩陣,然后通過迭代搜索的方法求解二次凸優(yōu)化問題獲得修正的期望信號(hào)導(dǎo)向矢量。文獻(xiàn)[13]給出了一種聯(lián)合穩(wěn)健算法,首先利用Shrinkage方法增強(qiáng)協(xié)方差矩陣的穩(wěn)定性,然后結(jié)合文獻(xiàn)[10]中的導(dǎo)向矢量修正方法。這些穩(wěn)健算法對(duì)有限采樣及導(dǎo)向矢量失配均具有一定的穩(wěn)健性。

本文基于聯(lián)合修正協(xié)方差矩陣與導(dǎo)向矢量的思路,給出了一種聯(lián)合估計(jì)的穩(wěn)健Capon波束形成算法。該算法首先基于收縮(Shrinkage)的方法修正協(xié)方差矩陣,然后利用最少及容易獲得不精確的先驗(yàn)信息來修正期望信號(hào)導(dǎo)向矢量,該方法主要是利用一個(gè)二次型約束防止修正的導(dǎo)向矢量收斂于干擾導(dǎo)向矢量上。仿真結(jié)果表明,該算法在低快拍數(shù)下具有較好的性能,對(duì)導(dǎo)向矢量失配較其他穩(wěn)健算法具有更優(yōu)的性能,且對(duì)陣列模型誤差具有較好的穩(wěn)健性。

1 窄帶信號(hào)陣列模型

1.1 定向天線陣

考慮一個(gè)M陣元的定向天線陣,如水平極化對(duì)數(shù)周期天線陣[1],各陣元在圓周上等角度間隔排列,各陣元的歸一化方向圖函數(shù)為G(θ)。由于各陣元主瓣指向不同,第m個(gè)陣元主瓣指向角度為αm=2π(m-1)/M,m=1,2,…,M,故各陣元對(duì)同一信號(hào)接收增益不同。

若有來波方位角為θ的入射信號(hào),則各陣元接收信號(hào)的幅度響應(yīng)為G(θ-αm),以圓心為參考點(diǎn),各陣元接收信號(hào)的相位差為

式中,f為信號(hào)的頻率,c為光速,R m為天線陣列的有效半徑[1]。

在理想情況下,可認(rèn)為定向天線陣來向θ下的導(dǎo)向矢量為

從式(2)可以看出,理想情況下,相比全向天線陣,定向天線陣中各陣元對(duì)來向?yàn)棣鹊男盘?hào)接收增益不同且均小于等于1,有‖a(θ)‖2＜M,使得定向天線陣的導(dǎo)向矢量不滿足某些波束形成算法中的模約束條件。

相比于全向天線陣,定向天線陣除存在通道幅相誤差、互耦等非理想因素外,還存在單元天線沒有固定的相位中心與易受交叉極化的影響。其中交叉極化分量對(duì)水平極化定向陣列影響很大,使得其誤差較全向天線陣更為復(fù)雜。

1.2 陣列誤差模型

由于水平極化定向陣列誤差較為復(fù)雜,針對(duì)這一問題我們給出了“方位依賴”的幅相誤差。假設(shè)有P個(gè)遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶信號(hào)源入射到陣列,其來波方位角為θ1,θ2,…,θP,則陣列輸出響應(yīng)為

式中,☉表示矩陣的點(diǎn)乘;s(t)為信源復(fù)矢量;n(t)為高斯噪聲矢量,且與信源統(tǒng)計(jì)獨(dú)立;Γ=diag[τ1,τ2,…,τM]為通道幅相誤差,τm為第m個(gè)陣元的幅相誤差;A(θ)=[a(θ1),A(θ2),…,a(θP)]為陣列流形矩陣,a(θk)為來向θk對(duì)應(yīng)的導(dǎo)向矢量;F(θ)=[f(θ1),f(θ2),…,f(θP)]為“方位依賴”的幅相誤差矩陣,f(θk)為來向θk下由于單元天線方向圖函數(shù)近似、相位中心和交叉極化等非理想因素造成的幅相誤差。

由于Γ為對(duì)角矩陣,式(3)可以變換為

式中,C為定向天線陣模型誤差矩陣;B(θ)為陣列真實(shí)的流形矩陣。由于誤差矩陣C的存在,使得導(dǎo)致真實(shí)的導(dǎo)向矢量與假定的導(dǎo)向矢量存在較大的失配。

對(duì)于上述的陣列模型,自適應(yīng)波束形成器的輸出為

式中,w為自適應(yīng)波束形成的權(quán)值矢量。

基于陣列最小輸出功率,自適應(yīng)波束形成可寫成如下優(yōu)化問題：

式中,R i+n為干擾噪聲協(xié)方差矩陣,其在實(shí)際中無法獲得,一般用采樣協(xié)方差矩陣R的估計(jì)值代替,有。

故波束形成算法的權(quán)值為

當(dāng)快拍數(shù)較少時(shí),估計(jì)不準(zhǔn)確,且陣列真實(shí)的導(dǎo)向矢量a(θ0)與估計(jì)的導(dǎo)向矢量(θ0)存在較大的失配,從而使得傳統(tǒng)的波束形成算法性能下降,穩(wěn)健算法成為研究的重點(diǎn)。

2 聯(lián)合估計(jì)的穩(wěn)健波束形成算法

本文算法的基本思想是首先利用基于Shrinkage方法修正協(xié)方差矩陣,其本質(zhì)等價(jià)于對(duì)角加載,然后最大化Capon輸出功率修正期望信號(hào)的導(dǎo)向矢量,利用了最少及容易獲得不精確的先驗(yàn)信息即期望信號(hào)角度區(qū)間和天線陣構(gòu)造的不精確的導(dǎo)向矢量,最后利用修正后的協(xié)方差矩陣與導(dǎo)向矢量采用Capon算法進(jìn)行波束形成。

2.1 基于收縮方法的協(xié)方差矩陣修正

為了估計(jì)理論上的協(xié)方差矩陣R,考慮一種協(xié)方差矩陣組合形式

式中,α≥0和β≥0為收縮參數(shù),I為單位陣。通過最小化估計(jì)協(xié)方差的均方誤差,有

可得最優(yōu)的參數(shù)α和β為

由上式的最優(yōu)參數(shù)和可得修正的協(xié)方差為

2.2 期望信號(hào)導(dǎo)向矢量的修正

若根據(jù)期望信號(hào)DOA及陣列結(jié)構(gòu)可粗估計(jì)期望信號(hào)導(dǎo)向矢量,導(dǎo)向矢量誤差即誤差矢量為e,實(shí)際導(dǎo)向矢量可表示為,Capon波束形成器輸出功率為

由于實(shí)際的導(dǎo)向矢量a與粗估計(jì)的存在誤差,有成立。可以看出輸出功率是誤差矢量e的函數(shù),通過最大化(e)估計(jì)得到誤差矢量,進(jìn)而得到導(dǎo)向矢量。導(dǎo)向矢量誤差e可以看成兩部分組成：一部分是與假設(shè)導(dǎo)向矢量正交的e⊥,另一部分是與其平行的e‖,由于e‖不影響波束形成的性能,故一般只考慮e⊥對(duì)導(dǎo)向矢量進(jìn)行修正。

在強(qiáng)干擾下為防止收斂于干擾導(dǎo)向矢量或其線性組合上,文獻(xiàn)[10]給出了子空間約束的方法,但存在較大導(dǎo)向矢量失配時(shí),子空間構(gòu)造不準(zhǔn)確,本文結(jié)合文獻(xiàn)[11]建立了如下約束：

式中,V n為與估計(jì)導(dǎo)向正交的向量,一般取采樣協(xié)方差矩陣最小特征值對(duì)應(yīng)的特征向量,但這個(gè)約束條件不是必需的。式(15)是個(gè)QCQP問題,可以通過M ATLAB CVX工具箱進(jìn)行求解。式(15)若存在無解的情況,令e⊥=0是最簡(jiǎn)單的方法,故此時(shí)算法變?yōu)榛趨f(xié)方差矩陣修正的波束形成算法。

由修正的協(xié)方差矩陣和修正的期望信號(hào)導(dǎo)向矢量,由Capon算法可得其權(quán)值為

綜上,本文的算法步驟為：

(1)利用式(10)估計(jì)收縮參數(shù)0和0,并構(gòu)造修正的協(xié)方差矩陣;

(2)預(yù)估計(jì)期望信號(hào)來向區(qū)間Θ,構(gòu)造矩陣,并選擇合適的Δ0;

(3)通過求解式(15)的QCQP問題,估計(jì)誤差矢量正交分量e⊥,進(jìn)而得到期望信號(hào)導(dǎo)向矢量估計(jì)值;

(4)使用修正后的和,利用Capon得到波束形成算法的權(quán)值。

3 性能仿真

為進(jìn)一步驗(yàn)證所提算法的性能,現(xiàn)對(duì)算法進(jìn)行計(jì)算機(jī)仿真。對(duì)于M陣元定向天線陣,本文的歸一化方向圖函數(shù)取G(θ)=cosnθ,其中n為天線波束寬度決定,波束寬度取60°。對(duì)于定向天線陣,只取部分陣元的接收數(shù)據(jù)進(jìn)行波束形成,本文取7元子陣。各陣元接收增益不同(當(dāng)期望信號(hào)與干擾良好分離時(shí))最大輸出信干噪比為SNR‖a(θ0)‖2,其中SNR為期望信號(hào)信噪比。

陣列條件：天線陣孔徑比為1.5,期望信號(hào)來向?yàn)?0°(不考慮仰角),兩個(gè)干擾信號(hào),其來向?yàn)?0°和110°。預(yù)估計(jì)期望信號(hào)來向θ0,期望信號(hào)來向區(qū)間Θ=[θ0-5°,θ0+5°]。 為更好地驗(yàn)證性能,本文算法和對(duì)角加載算法(LSMI),文獻(xiàn)[5]中的基于收縮(Shrinkage)的波束形成算法和文獻(xiàn)[11]中的穩(wěn)健算法進(jìn)行比較。

實(shí)驗(yàn)一：討論僅存在DOA失配下算法的性能。陣列條件如上,干擾信號(hào)信噪比為30 dB,陣列無“方位依賴”幅相誤差。預(yù)估計(jì)期望信號(hào)來向θ0為95°,即存在5°指向偏差。當(dāng)固定快拍數(shù)為100,期望信號(hào)信噪比從-10～30 d B間隔2 d B變化,輸出SINR隨期望信號(hào)信噪比變化如圖1所示。

圖1 DOA失配下SINR隨期望信號(hào)信噪比變化圖

從圖1可以看出,本文算法對(duì)DOA失配具有較好的穩(wěn)健性。高信噪比條件下,由于協(xié)方差矩陣中含有期望信號(hào),各個(gè)算法性能均下降,但本算法變化趨勢(shì)較為緩慢,具有較其他穩(wěn)健算法更優(yōu)的性能。相比于文獻(xiàn)[11]中的算法,本文給出的聯(lián)合穩(wěn)健算法由于增加了協(xié)方差矩陣擾動(dòng)的影響,具有略優(yōu)的性能。

實(shí)驗(yàn)二：討論模型誤差與DOA失配同時(shí)存在下算法的性能。陣列條件如上,干擾信號(hào)信噪比為30 dB,加入均勻分布的±1.0 dB的幅度誤差和±30°的相位誤差。預(yù)估計(jì)期望信號(hào)來向θ0為95°,即存在5°指向偏差。當(dāng)固定快拍數(shù)為100,期望信號(hào)信噪比從-10～30 dB間隔2 dB變化,輸出SINR隨期望信號(hào)信噪比變化如圖2所示。

圖2 模型誤差與DOA失配下SINR隨期望信號(hào)信噪比變化圖

從圖2可以看出,本文提出的聯(lián)合穩(wěn)健算法對(duì)陣列模型誤差及DOA偏差等多種非理想因素引起的導(dǎo)向矢量失配具有一定的穩(wěn)健性,且在高信噪比下具有較對(duì)角加載等其他算法較優(yōu)的性能。

4 結(jié)束語

針對(duì)定向天線陣中單元天線由于沒有固定相位中心和交叉極化等造成的較大導(dǎo)向矢量失配,給出了一種協(xié)方差矩陣與導(dǎo)向矢量聯(lián)合修正的穩(wěn)健Capon算法。該算法首先基于收縮的方法修正協(xié)方差矩陣,然后通過最大化Capon輸出功率對(duì)估計(jì)的導(dǎo)向矢量進(jìn)行修正,使修正后的導(dǎo)向矢量和真實(shí)的導(dǎo)向矢量更加接近,同時(shí)防止其收斂于干擾導(dǎo)向矢量或其線性組合上,該算法轉(zhuǎn)化為QCQP問題進(jìn)行求解。仿真結(jié)果表明,該算法對(duì)定向天線陣中誤差矩陣具有一定的穩(wěn)健性,且較其他穩(wěn)健算法具有較好的性能。

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