磁流變液雙鏈密排微結(jié)構(gòu)模型

許飛鴻 徐趙東 陳兵兵

(東南大學(xué)混凝土及預(yù)應(yīng)力混凝土結(jié)構(gòu)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京210096)

磁流變液(MRF)是一種智能材料［1］，是由鐵磁顆粒、載體液和添加劑組成.在磁場作用下，能在毫秒級(jí)實(shí)現(xiàn)黏性流態(tài)到類固態(tài)的轉(zhuǎn)化，并且具有可逆性.基于MRF 研制的磁流變阻尼器(MRD)已廣泛應(yīng)用于土木、車輛、航空航天等領(lǐng)域的振動(dòng)控制中［2-3］.在進(jìn)行振動(dòng)控制分析時(shí)，首先要計(jì)算MRF 的剪切屈服應(yīng)力，很多學(xué)者都對(duì)此進(jìn)行了研究.

宏觀現(xiàn)象模型［1，4-5］形式簡潔，應(yīng)用方便，但不能反映剪切屈服應(yīng)力與各影響因素的關(guān)系，因此很多學(xué)者從微觀結(jié)構(gòu)層面對(duì)磁流變液的剪切屈服應(yīng)力進(jìn)行了研究.李海濤等［6］基于磁偶極子理論深入研究了磁流變液的成鏈機(jī)理.Ginder 等［7］利用非線性有限元方法計(jì)算了單鏈中顆粒間的作用力，考慮了磁飽和效應(yīng)的影響，但是該模型不能反映鐵磁顆粒體積分?jǐn)?shù)的影響.Peng 等［8-9］基于磁偶極子理論，采用統(tǒng)計(jì)學(xué)方法假定鏈達(dá)到動(dòng)態(tài)平衡后與磁場方向的夾角符合正態(tài)分布，得到了磁流變液的剪切屈服應(yīng)力，并且深入分析了各因素對(duì)剪切屈服應(yīng)力的影響.但是以上文獻(xiàn)均與所假設(shè)的鏈相距很遠(yuǎn)，從而忽略相鄰鏈之間的相互作用，與實(shí)際情況不符.文獻(xiàn)［10］表明隨著鐵磁顆粒體積分?jǐn)?shù)以及磁場的增大，相鄰2 條鏈會(huì)錯(cuò)位排列積聚在一起，形成比單鏈更加穩(wěn)定的雙鏈密排結(jié)構(gòu).鑒于此，本文基于磁偶極子理論，根據(jù)磁流變液的鏈化機(jī)理，并考慮相鄰鏈之間的相互作用，提出了更為精確的磁流變液雙鏈密排微結(jié)構(gòu)模型，并采用統(tǒng)計(jì)學(xué)方法從能量角度對(duì)磁流變液的剪切屈服應(yīng)力進(jìn)行了推導(dǎo)，分析了各主要因素對(duì)磁流變液剪切屈服應(yīng)力的影響規(guī)律，并根據(jù)文獻(xiàn)［10-12］中的試驗(yàn)結(jié)果對(duì)模型進(jìn)行了驗(yàn)證.

1 理論分析

在外加磁場下，磁流變液中的鐵磁顆粒被磁化，形成沿磁場方向排列的鏈狀結(jié)構(gòu).隨著鐵磁顆粒體積分?jǐn)?shù)以及磁場的不斷增大，相鄰2 條單鏈會(huì)錯(cuò)位排列積聚在一起，形成雙鏈密排結(jié)構(gòu)［10］.這種結(jié)構(gòu)比單鏈結(jié)構(gòu)的能量小，更加穩(wěn)定，易于形成，如圖1所示.被磁化的顆?？梢钥醋鞔排紭O子，基于磁偶極子理論，可以得到單位長度的一個(gè)雙鏈密排結(jié)構(gòu)中磁偶極子所具有的總磁能，進(jìn)而對(duì)應(yīng)變求導(dǎo)得到一個(gè)雙鏈密排結(jié)構(gòu)所能提供的剪切屈服應(yīng)力.由于在剪切作用下，鏈在偏轉(zhuǎn)過程中會(huì)發(fā)生斷裂和重組，在達(dá)到動(dòng)態(tài)平衡時(shí)，不同的密排結(jié)構(gòu)與磁場方向的夾角不盡相同，引入統(tǒng)計(jì)學(xué)的方法，便可得到磁流變液的剪切屈服應(yīng)力.

圖1 磁偶極子的鏈化結(jié)構(gòu)

根據(jù)上述假設(shè)，任取圖1中雙鏈密排結(jié)構(gòu)的一個(gè)微元進(jìn)行分析，其受剪變形如圖2所示.當(dāng)2 條鏈形成雙鏈密排結(jié)構(gòu)時(shí)，假定每個(gè)顆粒之間的距離相等為d0，α=π/3.在剪切作用下，若j 粒子發(fā)生剪切位移x，則k 粒子的位移x0=x/2.θ 為j 粒子發(fā)生位移對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)角，β 為k 粒子發(fā)生位移對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)角，在小變形的情況下，β=θ/2.

圖2 磁偶極子鏈剪切變形圖

根據(jù)磁偶極子理論，任意磁偶極子j 在i 處產(chǎn)生的磁能可表示為［12］

式中，真空磁化率μ0=4π×10－7;rij為兩磁偶極子之間的距離矢量;mi為第i 個(gè)磁偶極子的偶極距.

對(duì)于磁偶極子i，其磁矩mi可按下式計(jì)算［12］:

式中，r 為球形鐵磁顆粒的半徑;H 為磁場強(qiáng)度;χ為鐵磁顆粒的磁化率;V 為球形鐵磁顆粒的體積;M 為磁矩.

由式(1)可知，磁偶極子間的相互作用能與距離呈三次方關(guān)系，即次相鄰顆粒在基準(zhǔn)顆粒處產(chǎn)生的磁能是相鄰顆粒在基準(zhǔn)粒子處產(chǎn)生磁能的0.125倍，故起主要作用的是相鄰的磁偶極子.因此在計(jì)算磁偶極子i 所具有的磁能時(shí)，考慮鏈內(nèi)其他所有磁偶極子在i 處產(chǎn)生的磁能Ei1;相鄰鏈由于影響稍弱，在此僅考慮i 附近上下2 個(gè)磁偶極子的相互作用能Ei2.由于顆粒直徑很小，這里假設(shè)鏈為無限長，由式(1)可計(jì)算得到磁偶極子i 所在鏈的其他顆粒在i 處產(chǎn)生的磁能為

式中，t 為鐵磁顆粒外的包覆層厚度;δ 為2 個(gè)顆粒間的凈距離;

相鄰鏈中磁偶極子i 上下2 個(gè)顆粒在i 處產(chǎn)生的磁能為

因此磁偶極子i 所具有的總磁能為

設(shè)一個(gè)雙鏈密排結(jié)構(gòu)中的磁偶極子數(shù)為n，則一個(gè)雙鏈密排結(jié)構(gòu)單位長度所具有的磁能為

式中，L 為雙鏈密排結(jié)構(gòu)的長度.對(duì)式(6)應(yīng)變進(jìn)行求導(dǎo)，即可得到一個(gè)雙鏈密排結(jié)構(gòu)所提供的剪切屈服應(yīng)力，即

磁流變液的剪切屈服應(yīng)力即為單位面積內(nèi)所有的雙鏈密排結(jié)構(gòu)所提供的剪切屈服應(yīng)力之和，即

在剪切過程中，鏈會(huì)發(fā)生斷裂和重組，最終達(dá)到動(dòng)態(tài)平衡，此時(shí)所有的雙鏈密排結(jié)構(gòu)與磁場方向的夾角不盡相同.這里引入統(tǒng)計(jì)學(xué)的方法，假設(shè)所有鏈與磁場方向的夾角在區(qū)間服從指數(shù)分布，通過積分求和便可得到磁流變液的剪切屈服應(yīng)力，即

通常容易測量的數(shù)據(jù)是磁流變液的磁感應(yīng)強(qiáng)度，而不是磁場強(qiáng)度，因此將式(10)中的磁場強(qiáng)度用磁流變液磁感應(yīng)強(qiáng)度替換.磁場強(qiáng)度與磁感應(yīng)強(qiáng)度的關(guān)系可按下式表示:

式中，χ1為磁流變液的磁化率.由于顆粒的磁化是非線性的，而且非常復(fù)雜，本文采用Frohlish-Kennelly 方程［8］來計(jì)算磁化率.

對(duì)于鐵磁顆粒，有μ0Md=2.1，因此有

對(duì)于磁流變液，有μ0Ms=2.1φ，因此有

式中，Md和Ms分別為鐵磁顆粒和磁流變液的飽和磁化強(qiáng)度.初始磁化率χ0=1 000，將式(11)代入式(10)，可得到磁流變液的剪切屈服應(yīng)力為

式(14)即為本文所提出磁流變液雙鏈密排結(jié)構(gòu)的剪切屈服應(yīng)力公式.

2 計(jì)算結(jié)果分析

針對(duì)上述對(duì)磁流變液剪切屈服應(yīng)力的理論分析，下面給出了本文所提出模型的計(jì)算結(jié)果，并分析了各主要因素對(duì)磁流變液剪切屈服應(yīng)力的影響.

2.1 磁感應(yīng)強(qiáng)度的影響

圖3為磁流變液剪切屈服應(yīng)力隨磁流變液磁感應(yīng)強(qiáng)度的變化曲線，相關(guān)參數(shù)為r=5 μm，t=0.5 μm，δ=0.5 μm，ψ=3.98，φ=0.32.由圖3(a)可知，屈服應(yīng)力呈S 形增長，最終達(dá)到磁飽和.圖3(b)將本文所提出模型的計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)［11］中的試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比，由圖可見，二者吻合很好.

圖3 剪切屈服應(yīng)力與磁感應(yīng)強(qiáng)度的關(guān)系曲線

2.2 鐵磁顆粒體積分?jǐn)?shù)的影響

圖4(a)為不同磁感應(yīng)強(qiáng)度下剪切屈服應(yīng)力與鐵磁顆粒體積分?jǐn)?shù)的關(guān)系，并與文獻(xiàn)［10］中的試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比，二者吻合很好，其中參數(shù)ψ 分別為20.12 和0.87，其余參數(shù)取值同上.由圖可知，隨著鐵磁顆粒體積分?jǐn)?shù)的增加，剪切屈服應(yīng)力呈線性增加趨勢，這是因?yàn)榇帕髯円旱募羟星?yīng)力主要是由鐵磁顆粒磁化后的相互作用決定的.但是在配制磁流變液時(shí)，鐵磁顆粒體積分?jǐn)?shù)也不能太大，因?yàn)轶w積分?jǐn)?shù)越大，其零場黏度越大，從而導(dǎo)致可調(diào)性變差，因此在配制磁流變液時(shí)應(yīng)確定合理的鐵磁顆粒體積分?jǐn)?shù).

2.3 鐵磁顆粒尺寸的影響

圖4(b)為磁流變液剪切屈服應(yīng)力隨鐵磁顆粒尺寸的變化曲線，參數(shù)取值為B=0.613 T，ψ=1.28.從圖4(b)中可以看出，磁流變液剪切屈服應(yīng)力隨著鐵磁顆粒半徑的增大而增大，最終趨于平緩，但是隨著顆粒尺寸的增大，顆粒的沉降性增強(qiáng)，又會(huì)降低磁致效應(yīng).因此，應(yīng)開展對(duì)沉降性與顆粒尺寸關(guān)系的研究，綜合比較以確定鐵磁顆粒的最優(yōu)尺寸.

圖4 剪切屈服應(yīng)力與鐵磁顆粒的關(guān)系曲線

2.4 包覆層厚度的影響

圖5為磁流變液剪切屈服應(yīng)力與鐵磁顆粒包覆層厚度的關(guān)系曲線，參數(shù)取值同上.從圖5中可以看出，隨著包覆層厚度的增大，剪切屈服應(yīng)力不斷減小，然后趨于平緩.這是因?yàn)殡S著包覆層厚度的增加，顆粒間距變大，導(dǎo)致屈服應(yīng)力降低.但增大包覆層厚度，可以改善其抗沉降性.因此實(shí)際配制磁流變液時(shí)應(yīng)確定合理的包覆層厚度.

圖5 剪切屈服應(yīng)力與包覆層厚度的關(guān)系曲線

3 結(jié)語

本文基于磁偶極子理論，結(jié)合鐵磁顆粒的鏈化機(jī)理，提出了磁流變液雙鏈密排微結(jié)構(gòu)模型，并采用統(tǒng)計(jì)學(xué)的方法從能量角度推導(dǎo)了磁流變液的剪切屈服應(yīng)力公式.計(jì)算結(jié)果表明:磁流變液剪切屈服應(yīng)力隨著磁感應(yīng)強(qiáng)度的增加而增加，達(dá)到磁飽和后基本保持不變;剪切屈服應(yīng)力隨著鐵磁顆粒體積分?jǐn)?shù)的增加而線性增加;剪切屈服應(yīng)力隨著顆粒尺寸的增加而增加，隨著包覆層厚度的增加而減小，變化幅度最終都趨于平緩.所提出的模型與試驗(yàn)結(jié)果吻合很好，而且可以綜合反映各主要影響因素與磁流變液剪切屈服應(yīng)力的關(guān)系，可以為高性能磁流變液的研制和優(yōu)化提供指導(dǎo).

References)

［1］ Jolly M R，Bender J W，Carlson J D.Properties and applications of commercial magnetorheological fluids［J］.Journal of Intelligent Material Systems and Structures，1999，10(1):5-13.

［2］ Dyke S J，Spencer Jr B F，Sain M K，et al.An experimental study of MR dampers for seismic protection［J］.Smart Materials and Structures，1998，7(5):693-703.

［3］ Xu Zhaodong，Sha Lingfeng，Zhang Xiangcheng，et al.Design，performance test and analysis on magnetorheological damper for earthquake mitigation［J］.Structural Control and Health Monitoring，2013，20(6):956-970.

［4］ Bitman L，Choi Y T，Wereley N M.Electrorheological damper analysis using an Eyring constitutive relationship［J］.Journal of Intelligent Material Systems and Structures，2002，13(10):633-639.

［5］ 翁建生，胡海巖，張廟康.磁流變液體的流變力學(xué)特性試驗(yàn)和建模［J］.應(yīng)用力學(xué)學(xué)報(bào)，2000，17(3):1-5.Weng Jiansheng，Hu Haiyan，Zhang Miaokang.Experimental and modeling study on rheological properties of a kind of magnetorheological fluid［J］.Chinese Journal of Applied Mechanics，2000，17(3):1-5.(in Chinese)

［6］ 李海濤，彭向和，陳偉民.基于鏈化分析的磁流變液剪切屈服應(yīng)力模型［J］.化學(xué)物理學(xué)報(bào)，2005，18(4):505-509.Li Haitao，Peng Xianghe，Chen Weimin.Yield shearstress model of magnetorheological fluids［J］.Chinese Journal of Chemical Physics，2005，18(4):505-509.(in Chinese)

［7］ Ginder J M，Davis L C.Shear stresses in magnetorheological fluids:role of magnetic saturation［J］.Applied Physics Letters，1994，65(26):3410-3412.

［8］ Peng X，Li H.Analysis of the magnetomechanical behavior of MRFs based on micromechanics incorporating a statistical approach［J］.Smart Materials and Structures，2007，16(6):2477-2485.

［9］ Yi C，Peng X，Zhao C.A magnetic-dipoles-based micro-macro constitutive model for MRFs subjected to shear deformation［J］.Rheologica Acta，2010，49(8):815-825.

［10］ 易成建.磁流變液:制備、性能測試與本構(gòu)模型［D］.重慶:重慶大學(xué)資源及環(huán)境科學(xué)學(xué)院，2011.

［11］ Li W H，Du H.Design and experimental evaluation of a magnetorheological brake［J］.The International Journal of Advanced Manufacturing Technology，2003，21(7):508-515.

［12］ 池長青，王之珊，趙丕智.鐵磁流體力學(xué)［M］.北京:北京航空航天大學(xué)出版社，1993.