分類討論的時機與場合

王健

分類討論的時機

例1 函數(shù)y=elnx-x-1的圖象大致是

解析： y=elnx-x-1=x-x+1，x≥1；-1+x，02-1=1，所以y>1在x∈（0，1）上恒成立.綜上可知選D.

例1是高考常見的絕對值復(fù)合函數(shù)問題，我們要對自變量進行分類討論，去掉絕對值號才能進行求解.

從例1可以看出，解題中如果碰到不確定因素的困擾而做不下去了，往往就是要分類討論的時候了.

分類討論的常見場合

（1） 概念、公式和定理本身就包含分類情形的場合

同絕對值一樣，有些數(shù)學(xué)概念、公式和定理本身就包含了分類的情形，比如：等比數(shù)列的前n項和公式要按q=1與q≠1分類；函數(shù)單調(diào)性的定義是按函數(shù)值變化與自變量變化是否一致分類；指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的定義和性質(zhì)按底數(shù)進行分類；直線的點斜式方程按斜率存在不存在分類；圓錐曲線方程按焦點所在位置分類，等等.

遇到概念、公式和定理是分類定義的場合，一定要注意明確條件，合理進行分類討論.

（2） 字母參數(shù)不確定的場合

以字母或參數(shù)為載體，使數(shù)學(xué)問題模糊化，是高考中考查分類討論數(shù)學(xué)思想最常見的命題方式.

例2 [2013年高考數(shù)學(xué)浙江卷（文科）第21題] 已知a∈R，函數(shù)f（x）=2x3-3（a+1）x2+6ax，若a>1，求f（x）在閉區(qū)間[0，2a]上的最小值.

解析： f′（x）=6x2-6（a+1）x+6a=6[x2-（a+1）x+a]=6（x-1）（x-a）.

①當(dāng)a>1時，2a=2a>2，所以當(dāng)x∈（0，1）∪（a，2a）時， f′（x）=6（x-1）（x-a）>0，函數(shù) f（x）遞增；當(dāng)x∈（1，a）時，f′（x）<0，函數(shù)f（x）遞減.所以f（x）min=min{f（a），f（0）}.

因為f（a）-f（0）=3a2-a3=a2（3-a），所以當(dāng)13時，f（a）

②當(dāng)a<-1時，2a=-2a>2，所以當(dāng)x∈（0，1）時， f′（x）<0，函數(shù) f（x）遞減；當(dāng)x∈（1，-2a）時， f′（x）>0，函數(shù) f（x）遞增.所以f（x）min=f（1）=3a-1.

綜上所述：當(dāng)a<-1時，f（x）min=3a-1；當(dāng)13時，f（x）min=a2（3-a）.

點評： 首先，例2中的字母變量a影響了函數(shù)f（x）的單調(diào)性；其次，當(dāng)a>1時，a又影響了f（a）與f（0）的大小比較，因而需要進行兩次分類討論.

（3） 圖形位置變化的場合

在幾何問題中，有些圖形的位置是變化的、不確定的，如果不作全面考慮分類討論，往往會遺漏致錯.

例3 點P到圖形C上每一個點的距離的最小值稱為點P到圖形C的距離，那么平面內(nèi)到定圓O的距離與到定點A的距離相等的點P的軌跡不可能是

（A） 圓 （B） 橢圓

（C） 雙曲線的一支 （D） 直線

解析： 定點A與圓O的位置關(guān)系不確定，所以需進行分類討論.

如圖1所示，當(dāng)點A在圓外時，聯(lián)結(jié)圓心O與點P，線段OP交圓O于點M，由題意可知PA=PM，PO-PA=PO-PM=r （r為圓O的半徑）且r

如圖2所示，當(dāng)點A在圓周上時，點P的軌跡只能為射線OA.

如圖3所示，當(dāng)點A在圓內(nèi)且不為圓心時，聯(lián)結(jié)圓心O與點P，延長線段OP交圓O于點M，由題意可知 PA=PM，PO+PA=PO+PM=r且r>OA，由定義可知點P的軌跡是以O(shè)，A為焦點的橢圓.

如圖4所示，當(dāng)點A為圓心時，點P的軌跡顯然是以O(shè)為圓心、半徑為的圓.故選D.

點評： 以上分類是由點A和圓O的位置關(guān)系不確定引起的.諸如這樣由圖形的位置或形狀變化導(dǎo)致的分類討論還有：二次函數(shù)對稱軸位置引發(fā)的關(guān)于最值的討論；角的終邊位置引起的三角函數(shù)值的討論；立體幾何圖形中點或線與面的位置關(guān)系（如位于面的同側(cè)或異側(cè)）引發(fā)的討論，等等.

（4） 問題情景描述模糊的場合

例4 [2013年高考數(shù)學(xué)遼寧卷（理科）第9題] 已知點O（0，0），A（0，b），B（a，a3）.若△ABO為直角三角形，則必有

（A） b=a3 （B） b=a3+

（C） （b-a3）b-a3-=0 （D） b-a3+b-a3-=0

解析： 要想獲得a，b之間的數(shù)量關(guān)系，就要從△ABO為直角三角形著手，利用直角三角形三邊關(guān)系求解.因為題中并未說明△ABO三個角中哪一個是直角，所以需進行分類討論.

若角O為直角，因為點A的坐標為（0，b），所以點B必在x軸上，a3=0，得a=0，此時A，B，O三點不能構(gòu)成三角形；

若角A為直角，則b=a3；

若角B為直角，則KOB·KAB=·=-1，化簡得b-a3-=0.綜上可知選C.

點評：有些高考題對題目條件作了模糊處理，如題目中提及等腰三角形，但沒有明確哪個是底哪個是腰，這時就要在三角形三邊關(guān)系的前提下分類討論.在例4中，只有注意到題目直角的不確定性，并對其進行分類討論，才能正確解答問題.

（5） 排列組合問題條件復(fù)雜的場合

例5 [2013年高考數(shù)學(xué)浙江卷（理科）第14題] 將A，B，C，D，E，F(xiàn)六個字母排成一排，且A，B均在C的同側(cè)，則不同的排法共有 種（用數(shù)字作答）.

解析： 按字母C的具體位置分類求解：

第一類，字母C在左邊第一個位置，有種排法；

第二類，字母C在左邊第二個位置，有種排法；

第三類，字母C在左邊第三個位置，有+種排法；

由對稱性可知共有2×（+++）=480種排法.

點評： 排列組合問題中經(jīng)常包含多個限制條件，很難直接解答.而利用分類討論思想，將其轉(zhuǎn)化為一個個小問題，使排列組合情況具體化清晰化，問題就變得容易解決.

【練一練】

設(shè)a≤2，求y=（x-2）x在[a，2]上的最大值和最小值.

【參考答案】

解： 如圖5所示，當(dāng)x≤0時，y=-x2+2x；當(dāng)0

當(dāng)y=-1時，x=1或x=1-.由圖5可得，當(dāng)a≤1-或1≤a<2時，ymin=（a-2）a；當(dāng)1-

分類討論的時機

例1 函數(shù)y=elnx-x-1的圖象大致是

解析： y=elnx-x-1=x-x+1，x≥1；-1+x，02-1=1，所以y>1在x∈（0，1）上恒成立.綜上可知選D.

例1是高考常見的絕對值復(fù)合函數(shù)問題，我們要對自變量進行分類討論，去掉絕對值號才能進行求解.

從例1可以看出，解題中如果碰到不確定因素的困擾而做不下去了，往往就是要分類討論的時候了.

分類討論的常見場合

（1） 概念、公式和定理本身就包含分類情形的場合

同絕對值一樣，有些數(shù)學(xué)概念、公式和定理本身就包含了分類的情形，比如：等比數(shù)列的前n項和公式要按q=1與q≠1分類；函數(shù)單調(diào)性的定義是按函數(shù)值變化與自變量變化是否一致分類；指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的定義和性質(zhì)按底數(shù)進行分類；直線的點斜式方程按斜率存在不存在分類；圓錐曲線方程按焦點所在位置分類，等等.

遇到概念、公式和定理是分類定義的場合，一定要注意明確條件，合理進行分類討論.

（2） 字母參數(shù)不確定的場合

以字母或參數(shù)為載體，使數(shù)學(xué)問題模糊化，是高考中考查分類討論數(shù)學(xué)思想最常見的命題方式.

例2 [2013年高考數(shù)學(xué)浙江卷（文科）第21題] 已知a∈R，函數(shù)f（x）=2x3-3（a+1）x2+6ax，若a>1，求f（x）在閉區(qū)間[0，2a]上的最小值.

解析： f′（x）=6x2-6（a+1）x+6a=6[x2-（a+1）x+a]=6（x-1）（x-a）.

①當(dāng)a>1時，2a=2a>2，所以當(dāng)x∈（0，1）∪（a，2a）時， f′（x）=6（x-1）（x-a）>0，函數(shù) f（x）遞增；當(dāng)x∈（1，a）時，f′（x）<0，函數(shù)f（x）遞減.所以f（x）min=min{f（a），f（0）}.

因為f（a）-f（0）=3a2-a3=a2（3-a），所以當(dāng)13時，f（a）

②當(dāng)a<-1時，2a=-2a>2，所以當(dāng)x∈（0，1）時， f′（x）<0，函數(shù) f（x）遞減；當(dāng)x∈（1，-2a）時， f′（x）>0，函數(shù) f（x）遞增.所以f（x）min=f（1）=3a-1.

綜上所述：當(dāng)a<-1時，f（x）min=3a-1；當(dāng)13時，f（x）min=a2（3-a）.

點評： 首先，例2中的字母變量a影響了函數(shù)f（x）的單調(diào)性；其次，當(dāng)a>1時，a又影響了f（a）與f（0）的大小比較，因而需要進行兩次分類討論.

（3） 圖形位置變化的場合

在幾何問題中，有些圖形的位置是變化的、不確定的，如果不作全面考慮分類討論，往往會遺漏致錯.

例3 點P到圖形C上每一個點的距離的最小值稱為點P到圖形C的距離，那么平面內(nèi)到定圓O的距離與到定點A的距離相等的點P的軌跡不可能是

（A） 圓 （B） 橢圓

（C） 雙曲線的一支 （D） 直線

解析： 定點A與圓O的位置關(guān)系不確定，所以需進行分類討論.

如圖1所示，當(dāng)點A在圓外時，聯(lián)結(jié)圓心O與點P，線段OP交圓O于點M，由題意可知PA=PM，PO-PA=PO-PM=r （r為圓O的半徑）且r

如圖2所示，當(dāng)點A在圓周上時，點P的軌跡只能為射線OA.

如圖3所示，當(dāng)點A在圓內(nèi)且不為圓心時，聯(lián)結(jié)圓心O與點P，延長線段OP交圓O于點M，由題意可知 PA=PM，PO+PA=PO+PM=r且r>OA，由定義可知點P的軌跡是以O(shè)，A為焦點的橢圓.

如圖4所示，當(dāng)點A為圓心時，點P的軌跡顯然是以O(shè)為圓心、半徑為的圓.故選D.

點評： 以上分類是由點A和圓O的位置關(guān)系不確定引起的.諸如這樣由圖形的位置或形狀變化導(dǎo)致的分類討論還有：二次函數(shù)對稱軸位置引發(fā)的關(guān)于最值的討論；角的終邊位置引起的三角函數(shù)值的討論；立體幾何圖形中點或線與面的位置關(guān)系（如位于面的同側(cè)或異側(cè)）引發(fā)的討論，等等.

（4） 問題情景描述模糊的場合

例4 [2013年高考數(shù)學(xué)遼寧卷（理科）第9題] 已知點O（0，0），A（0，b），B（a，a3）.若△ABO為直角三角形，則必有

（A） b=a3 （B） b=a3+

（C） （b-a3）b-a3-=0 （D） b-a3+b-a3-=0

解析： 要想獲得a，b之間的數(shù)量關(guān)系，就要從△ABO為直角三角形著手，利用直角三角形三邊關(guān)系求解.因為題中并未說明△ABO三個角中哪一個是直角，所以需進行分類討論.

若角O為直角，因為點A的坐標為（0，b），所以點B必在x軸上，a3=0，得a=0，此時A，B，O三點不能構(gòu)成三角形；

若角A為直角，則b=a3；

若角B為直角，則KOB·KAB=·=-1，化簡得b-a3-=0.綜上可知選C.

點評：有些高考題對題目條件作了模糊處理，如題目中提及等腰三角形，但沒有明確哪個是底哪個是腰，這時就要在三角形三邊關(guān)系的前提下分類討論.在例4中，只有注意到題目直角的不確定性，并對其進行分類討論，才能正確解答問題.

（5） 排列組合問題條件復(fù)雜的場合

例5 [2013年高考數(shù)學(xué)浙江卷（理科）第14題] 將A，B，C，D，E，F(xiàn)六個字母排成一排，且A，B均在C的同側(cè)，則不同的排法共有 種（用數(shù)字作答）.

解析： 按字母C的具體位置分類求解：

第一類，字母C在左邊第一個位置，有種排法；

第二類，字母C在左邊第二個位置，有種排法；

第三類，字母C在左邊第三個位置，有+種排法；

由對稱性可知共有2×（+++）=480種排法.

點評： 排列組合問題中經(jīng)常包含多個限制條件，很難直接解答.而利用分類討論思想，將其轉(zhuǎn)化為一個個小問題，使排列組合情況具體化清晰化，問題就變得容易解決.

【練一練】

設(shè)a≤2，求y=（x-2）x在[a，2]上的最大值和最小值.

【參考答案】

解： 如圖5所示，當(dāng)x≤0時，y=-x2+2x；當(dāng)0

當(dāng)y=-1時，x=1或x=1-.由圖5可得，當(dāng)a≤1-或1≤a<2時，ymin=（a-2）a；當(dāng)1-

分類討論的時機

例1 函數(shù)y=elnx-x-1的圖象大致是

解析： y=elnx-x-1=x-x+1，x≥1；-1+x，02-1=1，所以y>1在x∈（0，1）上恒成立.綜上可知選D.

例1是高考常見的絕對值復(fù)合函數(shù)問題，我們要對自變量進行分類討論，去掉絕對值號才能進行求解.

從例1可以看出，解題中如果碰到不確定因素的困擾而做不下去了，往往就是要分類討論的時候了.

分類討論的常見場合

（1） 概念、公式和定理本身就包含分類情形的場合

同絕對值一樣，有些數(shù)學(xué)概念、公式和定理本身就包含了分類的情形，比如：等比數(shù)列的前n項和公式要按q=1與q≠1分類；函數(shù)單調(diào)性的定義是按函數(shù)值變化與自變量變化是否一致分類；指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的定義和性質(zhì)按底數(shù)進行分類；直線的點斜式方程按斜率存在不存在分類；圓錐曲線方程按焦點所在位置分類，等等.

遇到概念、公式和定理是分類定義的場合，一定要注意明確條件，合理進行分類討論.

（2） 字母參數(shù)不確定的場合

以字母或參數(shù)為載體，使數(shù)學(xué)問題模糊化，是高考中考查分類討論數(shù)學(xué)思想最常見的命題方式.

例2 [2013年高考數(shù)學(xué)浙江卷（文科）第21題] 已知a∈R，函數(shù)f（x）=2x3-3（a+1）x2+6ax，若a>1，求f（x）在閉區(qū)間[0，2a]上的最小值.

解析： f′（x）=6x2-6（a+1）x+6a=6[x2-（a+1）x+a]=6（x-1）（x-a）.

①當(dāng)a>1時，2a=2a>2，所以當(dāng)x∈（0，1）∪（a，2a）時， f′（x）=6（x-1）（x-a）>0，函數(shù) f（x）遞增；當(dāng)x∈（1，a）時，f′（x）<0，函數(shù)f（x）遞減.所以f（x）min=min{f（a），f（0）}.

因為f（a）-f（0）=3a2-a3=a2（3-a），所以當(dāng)13時，f（a）

②當(dāng)a<-1時，2a=-2a>2，所以當(dāng)x∈（0，1）時， f′（x）<0，函數(shù) f（x）遞減；當(dāng)x∈（1，-2a）時， f′（x）>0，函數(shù) f（x）遞增.所以f（x）min=f（1）=3a-1.

綜上所述：當(dāng)a<-1時，f（x）min=3a-1；當(dāng)13時，f（x）min=a2（3-a）.

點評： 首先，例2中的字母變量a影響了函數(shù)f（x）的單調(diào)性；其次，當(dāng)a>1時，a又影響了f（a）與f（0）的大小比較，因而需要進行兩次分類討論.

（3） 圖形位置變化的場合

在幾何問題中，有些圖形的位置是變化的、不確定的，如果不作全面考慮分類討論，往往會遺漏致錯.

例3 點P到圖形C上每一個點的距離的最小值稱為點P到圖形C的距離，那么平面內(nèi)到定圓O的距離與到定點A的距離相等的點P的軌跡不可能是

（A） 圓 （B） 橢圓

（C） 雙曲線的一支 （D） 直線

解析： 定點A與圓O的位置關(guān)系不確定，所以需進行分類討論.

如圖1所示，當(dāng)點A在圓外時，聯(lián)結(jié)圓心O與點P，線段OP交圓O于點M，由題意可知PA=PM，PO-PA=PO-PM=r （r為圓O的半徑）且r

如圖2所示，當(dāng)點A在圓周上時，點P的軌跡只能為射線OA.

如圖3所示，當(dāng)點A在圓內(nèi)且不為圓心時，聯(lián)結(jié)圓心O與點P，延長線段OP交圓O于點M，由題意可知 PA=PM，PO+PA=PO+PM=r且r>OA，由定義可知點P的軌跡是以O(shè)，A為焦點的橢圓.

如圖4所示，當(dāng)點A為圓心時，點P的軌跡顯然是以O(shè)為圓心、半徑為的圓.故選D.

點評： 以上分類是由點A和圓O的位置關(guān)系不確定引起的.諸如這樣由圖形的位置或形狀變化導(dǎo)致的分類討論還有：二次函數(shù)對稱軸位置引發(fā)的關(guān)于最值的討論；角的終邊位置引起的三角函數(shù)值的討論；立體幾何圖形中點或線與面的位置關(guān)系（如位于面的同側(cè)或異側(cè)）引發(fā)的討論，等等.

（4） 問題情景描述模糊的場合

例4 [2013年高考數(shù)學(xué)遼寧卷（理科）第9題] 已知點O（0，0），A（0，b），B（a，a3）.若△ABO為直角三角形，則必有

（A） b=a3 （B） b=a3+

（C） （b-a3）b-a3-=0 （D） b-a3+b-a3-=0

解析： 要想獲得a，b之間的數(shù)量關(guān)系，就要從△ABO為直角三角形著手，利用直角三角形三邊關(guān)系求解.因為題中并未說明△ABO三個角中哪一個是直角，所以需進行分類討論.

若角O為直角，因為點A的坐標為（0，b），所以點B必在x軸上，a3=0，得a=0，此時A，B，O三點不能構(gòu)成三角形；

若角A為直角，則b=a3；

若角B為直角，則KOB·KAB=·=-1，化簡得b-a3-=0.綜上可知選C.

點評：有些高考題對題目條件作了模糊處理，如題目中提及等腰三角形，但沒有明確哪個是底哪個是腰，這時就要在三角形三邊關(guān)系的前提下分類討論.在例4中，只有注意到題目直角的不確定性，并對其進行分類討論，才能正確解答問題.

（5） 排列組合問題條件復(fù)雜的場合

例5 [2013年高考數(shù)學(xué)浙江卷（理科）第14題] 將A，B，C，D，E，F(xiàn)六個字母排成一排，且A，B均在C的同側(cè)，則不同的排法共有 種（用數(shù)字作答）.

解析： 按字母C的具體位置分類求解：

第一類，字母C在左邊第一個位置，有種排法；

第二類，字母C在左邊第二個位置，有種排法；

第三類，字母C在左邊第三個位置，有+種排法；

由對稱性可知共有2×（+++）=480種排法.

點評： 排列組合問題中經(jīng)常包含多個限制條件，很難直接解答.而利用分類討論思想，將其轉(zhuǎn)化為一個個小問題，使排列組合情況具體化清晰化，問題就變得容易解決.

【練一練】

設(shè)a≤2，求y=（x-2）x在[a，2]上的最大值和最小值.

【參考答案】

解： 如圖5所示，當(dāng)x≤0時，y=-x2+2x；當(dāng)0

當(dāng)y=-1時，x=1或x=1-.由圖5可得，當(dāng)a≤1-或1≤a<2時，ymin=（a-2）a；當(dāng)1-