探討遞推數(shù)列求通項問題

紀(jì)宏偉

（如皋高等師范學(xué)校，江蘇 如皋 226500）

探討遞推數(shù)列求通項問題

紀(jì)宏偉

（如皋高等師范學(xué)校，江蘇 如皋 226500）

利用數(shù)列的遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項公式是數(shù)列單元的常見問題，也是近幾年高考、?？嫉臒狳c問題.本文介紹遞推數(shù)列求通項問題解題策略，并結(jié)合高考題和競賽題驗證其具有重要應(yīng)用價值.

數(shù)列；遞推式；通項公式

引言

在高考或自主考試中，數(shù)列題是壓軸題或較難題的題型之一，當(dāng)它作為壓軸題或較難題時，往往結(jié)合考查數(shù)學(xué)思想或數(shù)學(xué)思想方法，并將函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、方程、不等式等高中數(shù)學(xué)的主干內(nèi)容融為一體，呈現(xiàn)出綜合性強、知識交叉多、題型變化復(fù)雜、思想方法以及能力要求較高的特點.縱覽近年來的高考和自主招生試題發(fā)現(xiàn)，數(shù)列問題如作為壓軸題或較難題出現(xiàn)，一般都會具有這么兩個特點：（1）命題者通常都會設(shè)計一個循序漸進式的“臺階”，第一問為第二問做鋪墊，第三問又與前兩問有關(guān)聯(lián)，而通常，第一問或第二問一般都是求通項或求和之類問題，至于第三問是什么，有可能是參數(shù)取值范圍，也有可能是求證不等式，等等，當(dāng)然，這一問很有難度，目的在于對考生加以區(qū)分，但其解題的基礎(chǔ)還是前面的臺階;（2）從試題題型模式和基本思路上，具有三式（遞推式、通項式、前n項和式）互推形成的“循環(huán)推理鏈”的特點，可用下圖來表示：

圖1 關(guān)系圖

1 基本遞推式和相應(yīng)方法

1.1 迭加法類型

例2在數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=-an+n2，求an.

1.2 迭代法類型

例3設(shè){an}是正項數(shù)列，a1=1，(n+1)a2n+1-na2n+an+1an=0，求{an}通項.

1.3 待定系數(shù)法類型

形如an+1=λan+μ（λ，μ是常數(shù)且λ≠1，μ≠0）類型，可令a+x=λ(a+x)，其中(λ-1)x=μ，x=，從n+1n而構(gòu)造出一個公比為λ的等比數(shù)列{a+}.n

例4已知a1=2，an+1=3an-2，求an.

解 因an+1-1=3(an-1)，{an-1}是一個公比為3的等比數(shù)列，a1-1=1，所以an-1=(a1-1)·3n-1，即an=3n-1+1.

1.4 特征根法類型

例5數(shù)列{an}中，a1=0，a2=1，an+1=an+6an-1，求an.

1.5 不動點法類型

遞推數(shù)列求通項公式的基本類型用結(jié)構(gòu)圖表述如圖2所示.

2 可化為基本遞推式的處理策略

2.1 兩邊同時取倒數(shù)

圖2 結(jié)構(gòu)圖

2.2 兩邊同時取對數(shù)

對于某些根式內(nèi)是乘積形式的無理遞推式，可考慮兩邊取對數(shù)的方法將原式化為熟悉的線性遞推式.

2.3 兩邊同時除以某一因式

有時通過兩邊同除因式的方法，再加以簡單換元，就能將原式轉(zhuǎn)化為前面所述的基本類型.

3.4 兩邊同時添項或常數(shù)

3.5 綜合應(yīng)用

高考、數(shù)學(xué)競賽中所給的數(shù)列的遞推關(guān)系式一般都是非基本類型，往往需要策略技巧的綜合應(yīng)用，才可轉(zhuǎn)化為基本類型的結(jié)構(gòu)和模式.

例題11（2010全國大綱卷理科數(shù)學(xué)壓軸題）已知數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=C-(n=1,2,3…)，（1）設(shè)C=，bn=，求數(shù)列 {bn}的通項式；（2）求使an〈an+1〈3成立的C的取值范圍.

[1]虞 濤.高中課本中的數(shù)學(xué)基本解題方法[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2008.

[2]范端喜.自主招生數(shù)學(xué)考典[M].北京：北京大學(xué)出版社，2013.

[3]雷 波.用不動點法解函數(shù)、數(shù)列等相關(guān)問題[J].中等數(shù)學(xué)，2008，（10）.

責(zé)任編輯：張隆輝

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1672-2094(2014)05-0154-03

2014-06-25

江蘇省“青藍工程”優(yōu)秀青年骨干教師培養(yǎng)項目(2014),江蘇省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃課題“基于概念圖的數(shù)學(xué)教學(xué)優(yōu)化策略研究”階段性成果（B-b/2013/01/042）.

紀(jì)宏偉（1977-），男，江蘇通州人，如皋高等師范學(xué)校數(shù)理系講師，碩士.研究方向：數(shù)學(xué)教育、泛函分析、信息技術(shù).