鋼筋混凝土受彎構(gòu)件變形凝聚法分析

周建民，潘邢華，陳 碩，張 帆

（同濟(jì)大學(xué) 土木工程學(xué)院，上海 200092）

鋼筋混凝土受彎構(gòu)件變形凝聚法分析

周建民，潘邢華，陳 碩，張 帆

（同濟(jì)大學(xué) 土木工程學(xué)院，上海 200092）

傳統(tǒng)鋼筋混凝土非線性分析大多采用以連續(xù)介質(zhì)力學(xué)為基礎(chǔ)的非線性有限元方法，側(cè)重?cái)?shù)學(xué)模型的描述，難以體現(xiàn)開裂截面局部轉(zhuǎn)角和塑性鉸等宏觀變形特征。從物理模型的觀點(diǎn)出發(fā)，提出能夠反映宏觀變形特征的變形凝聚法。在一維彈性問題分析的基礎(chǔ)上，提出鋼筋混凝土受彎構(gòu)件基于變形凝聚概念的三階段分析方法，按平均裂縫間距劃分單元，與物理模型相吻合，且計(jì)算效率高。編制程序?qū)ν瑵?jì)大學(xué)預(yù)應(yīng)力研究所近期完成的高強(qiáng)鋼筋混凝土受彎構(gòu)件系列試驗(yàn)進(jìn)行了模擬，試驗(yàn)結(jié)果與程序計(jì)算結(jié)果吻合良好，表明該新方法是合理可行的。

鋼筋混凝土受彎構(gòu)件；變形凝聚法；宏觀變形特征；物理模型；非線性分析

鋼筋混凝土受彎構(gòu)件在荷載作用下的受力過程是漸進(jìn)的破壞過程，其力學(xué)行為由連續(xù)介質(zhì)向非連續(xù)介質(zhì)轉(zhuǎn)化。帶裂縫工作階段，構(gòu)件的彎曲變形主要集中在各裂縫局部區(qū)域，即開裂截面的局部轉(zhuǎn)角；破壞階段，構(gòu)件的彎曲變形主要集中于主裂縫局部區(qū)域（塑性鉸）。局部化變形或破壞機(jī)制源于混凝土材料的非均勻性。傳統(tǒng)鋼筋混凝土構(gòu)件或結(jié)構(gòu)非線性分析方法大多建立在以連續(xù)介質(zhì)力學(xué)為基礎(chǔ)的非線性有限元方法上［1－3］。構(gòu)成鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)的有限元模型主要有3種方式：整體式、組合式和分離式。整體式模型把鋼筋彌散于整個(gè)單元中，把單元視為連續(xù)介質(zhì)材料；組合式模型以截面分層條帶模型為代表，在構(gòu)件分析中采用分段曲率積分法，結(jié)構(gòu)分析中采用桿系有限元分析方法；分離式模型把結(jié)構(gòu)離散為混凝土單元、鋼筋單元和聯(lián)結(jié)單元，進(jìn)行二維平面或三維實(shí)體有限元分析。

傳統(tǒng)有限元方法是連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的范疇，側(cè)重?cái)?shù)學(xué)模型的描述，單元之間用節(jié)點(diǎn)連接，認(rèn)為結(jié)構(gòu)的位移是連續(xù)的，變形則分布在單元內(nèi)部，某種程度上忽視了混凝土結(jié)構(gòu)的宏觀變形特征，在反映開裂截面的集中轉(zhuǎn)角和裂縫間距等概念上是有很大困難的。從宏觀試驗(yàn)現(xiàn)象抽象出物理模型，推導(dǎo)彈性問題變形凝聚法（Deformation Condensation Method，DCM）分析的原理，進(jìn)而對(duì)鋼筋混凝土受彎構(gòu)件的非線性分析作一些嘗試與探索。

需要說明的是，變形凝聚法在彈性問題分析中的力學(xué)概念與剛體 彈簧模型是相似的，但基本原理推導(dǎo)途徑不同。剛體彈簧模型（Rigid Body Spring Model，RBSM）最早由日本東京大學(xué)Kawai教授在1976年提出［4］。在剛體 彈簧模型的研究與應(yīng)用方面，國內(nèi)外一些學(xué)者也做了不少工作。Kawai等［5－6］進(jìn)行了平面問題和結(jié)構(gòu)的地震響應(yīng)分析。Hamadi等［8］將RBSM用于分析預(yù)制預(yù)應(yīng)力混凝土梁的受力性能。錢令希等［8－10］從數(shù)學(xué)的角度出發(fā)給出了剛體 彈簧模型的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和有限元列式，證明了其解的存在及唯一性，并據(jù)此編制了靜力分析、熱應(yīng)力分析及安定性分析程序，取得了較好的計(jì)算結(jié)果。張建海等［11］采用剛體彈簧元分析邊坡、壩基、壩肩等結(jié)構(gòu)物在地震波作用下的動(dòng)力穩(wěn)定性。卓家壽等［12］從力學(xué)和數(shù)學(xué)兩個(gè)角度闡明了剛體彈簧元法的機(jī)理，導(dǎo)出了界面應(yīng)力的一般公式，根據(jù)哈密頓原理，推導(dǎo)了剛體彈簧元分析結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)的計(jì)算公式。王懷亮等［13］把剛體彈簧元法應(yīng)用于全級(jí)配混凝土本構(gòu)行為研究，將混凝土細(xì)觀上看成是由骨料、硬化水泥砂漿及其兩者之間的粘結(jié)帶組成的三相非均勻復(fù)合材料，通過數(shù)值模擬，研究全級(jí)配混凝土的破壞過程及其宏觀力學(xué)響應(yīng)特性。

1 變形凝聚法的基本原理

1.1 基本概念

從物理模型的觀點(diǎn)出發(fā)，把結(jié)構(gòu)離散為若干剛性單元，以單元形心處的剛體位移為基本未知量，變形全部集中在單元之間的交界面上，進(jìn)而對(duì)離散后的非連續(xù)力學(xué)系統(tǒng)進(jìn)行求解。變形凝聚法最終形成整體剛度矩陣的帶寬和體積均小于傳統(tǒng)有限元方法，計(jì)算量比傳統(tǒng)有限元小。從固體力學(xué)的三大基本方程（平衡方程、幾何方程和物理方程）出發(fā)推證一維彈性問題變形凝聚法分析的基本原理，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行鋼筋混凝土受彎構(gòu)件的非線性分析。

1.2 一維彈性問題的分析方法

1.2.1 基本假定 1）單元變形凝聚到兩邊交界面上，單元視為剛體；2）以單元形心處的剛體位移作為基本未知量；3）小變形假設(shè)，不考慮幾何非線性。

1.2.2 單元?jiǎng)澐?以簡(jiǎn)支梁為例，闡述一維彈性問題的單元?jiǎng)澐址椒?。如圖1所示，一根簡(jiǎn)支梁長度為L，等間距劃分為A、B、C和D 共4個(gè)剛性單元。2、3和4交界面為單元與單元之間的交界面，

該類交界面凝聚其左右單元一半的變形；1和5交界面為單元與邊界之間的交界面，該類交界面凝聚邊界單元一半的變形和支座變形。

圖1 單元?jiǎng)澐质疽鈭D

1.2.3 單元分析 1）單元平衡方程 單元交界面內(nèi)力與單元形心外力的關(guān)系由單元平衡靜力方程表示。如圖2所示，對(duì)單元取隔離體分析。單元形心外力的符號(hào)規(guī)定：彎矩順時(shí)針轉(zhuǎn)為正，水平力沿X軸正向?yàn)檎?，豎向力沿Y軸正方向?yàn)檎?；單元交界面?nèi)力的符號(hào)規(guī)定：彎矩使單元底部受拉為正，剪力使單元順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正，軸力使單元受拉為正。由平衡條件可以列出單元靜力平衡方程

2）單元幾何方程 單元幾何方程表示單元形心位移與單元交界面位移的關(guān)系。單元的初始位形和發(fā)生剛體位移以后的位形如圖3所示。單元形心位移和單元交界面位移的符號(hào)分別與單元形心外力與單元交界面內(nèi)力的符號(hào)規(guī)定一致。單元幾何方程可以表示為：

圖2 單元平衡示意圖

圖3 單元形心位移＿縫變形關(guān)系示意圖

1.2.4 整體組裝分析 在單元分析的基礎(chǔ)上，進(jìn)行整體組裝，可以得到結(jié)構(gòu)的靜力平衡方程（4）、幾何方程（5）和物理方程（6）。式中：A、G、B分別為結(jié)構(gòu)整體組裝的靜力平衡矩陣、幾何矩陣和交界面柔度矩陣，由二重性定理容易證明G＝AT；S、Δ分別為結(jié)構(gòu)整體組裝的交界面內(nèi)力列陣及交界面變形列陣；P、Z分別為結(jié)構(gòu)整體組裝的形心外力列陣和位移列陣。

需要說明的是，結(jié)構(gòu)的靜力平衡矩陣A是以結(jié)構(gòu)各單元形心外力編號(hào)為行號(hào)，以結(jié)構(gòu)交界面內(nèi)力編號(hào)為列號(hào)組裝而得。結(jié)構(gòu)交界面柔度矩陣B是以結(jié)構(gòu)交界面內(nèi)力編號(hào)為行號(hào)和列號(hào)組裝而得。

聯(lián)立以上三大方程，可得到結(jié)構(gòu)形心外力與位移的關(guān)系，即最終求解的線性方程組（7）。通過修改交界面柔度矩陣B中相應(yīng)元素來處理邊界條件，詳見文獻(xiàn)［14］。

1.2.5 彈性分析程序編制和驗(yàn)證 按照上文闡述的基本原理，運(yùn)用MATLAB軟件編制一維彈性問題分析程序，圖4～5給出了程序的流程圖。采用彈性分析程序?qū)Χ喾N算例進(jìn)行了計(jì)算和并用ANSYS程序驗(yàn)證。算例分析表明該方法計(jì)算量小，收斂速度快。限于篇幅，僅給出簡(jiǎn)支梁算例。簡(jiǎn)支梁跨度10 m，跨中作用豎向集中力P＝10 k N；矩形截面尺寸：寬0.1 m，高0.2 m；材料性質(zhì)：彈性模量E＝2.0×1011N／m2，剪切模量G＝0.4E，矩形截面剪切形狀系數(shù)取1.2。計(jì)算結(jié)果如圖6所示，可以看出，隨著單元?jiǎng)澐謹(jǐn)?shù)目的增加，跨中撓度迅速收斂于ANSYS解，體現(xiàn)出該方法計(jì)算量小，收斂速度快。

圖4 一維彈性問題分析程序流程圖

1.3 鋼筋混凝土受彎構(gòu)件的分析方法

圖5 solveDCM求解子程序

圖6 簡(jiǎn)支梁撓度圖

1.3.1 三階段分析過程及縫柔度系數(shù) 由于混凝土材料的非均勻性，實(shí)際構(gòu)件的裂縫分布規(guī)律（裂縫寬度、裂縫間距等）具有明顯的隨機(jī)性?？紤]到本文目的是計(jì)算構(gòu)件的宏觀累積變形（撓度），而非裂縫寬度等局部變形，我們不考慮裂縫分布規(guī)律隨機(jī)性對(duì)宏觀累計(jì)變形的影響。即同我國混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范采用平均曲率計(jì)算純彎段剛度一樣，按照平均裂縫間距把鋼筋混凝土受彎構(gòu)件劃分成若干剛性單元，單元交界面比擬為“縫”，單元的變形全部集中在縫上發(fā)生。具體分析過程及縫柔度系數(shù)（彎曲柔度系數(shù)）的確定方法闡述如下：

1）彈性階段：構(gòu)件尚未開裂，縫為虛縫，凝聚單元彈性變形，虛縫彈性柔度系數(shù)為：

式中：φcr，Lcr，Mcr分別為開裂曲率、平均裂縫間距，開裂彎矩。平均裂縫間距Lcr可按國家現(xiàn)行混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范計(jì)算，Lcr＝1.9c＋0.08deq／ρte，具體參數(shù)含義詳見文獻(xiàn)［20］。

2）帶裂縫工作階段：構(gòu)件裂縫出齊后，隨著荷載增加，裂縫寬度逐漸增大。裂縫作為薄弱區(qū)域集中了顯著的轉(zhuǎn)角變形，體現(xiàn)了變形局部集中的特點(diǎn)。本文分析中實(shí)質(zhì)需要的是縫內(nèi)力與縫變形之間的關(guān)系，對(duì)于彎曲變形而言即M-θ關(guān)系，近期澳大利亞學(xué)者對(duì)此也有類似的認(rèn)識(shí)和研究［15－18］。直接尋求開裂截面（實(shí)縫）的M-θ非線性關(guān)系是困難的，開裂截面的轉(zhuǎn)角是客觀存在的現(xiàn)象，而開裂截面的曲率是虛擬的。本文對(duì)傳統(tǒng)彎矩曲率M-φ關(guān)系進(jìn)行適當(dāng)處理來討論這一問題。

如圖7所示，對(duì)截面開裂后的曲率進(jìn)行分解，同時(shí)考慮對(duì)實(shí)縫塑性曲率及單元曲率分布不均勻性進(jìn)行修正，實(shí)縫轉(zhuǎn)角可表示為：

3）破壞階段：當(dāng)實(shí)縫彎矩大于屈服彎矩時(shí)，塑性鉸產(chǎn)生，構(gòu)件大部分非彈性變形集中在純彎段塑性鉸局部區(qū)域。純彎段塑性鉸的出現(xiàn)位置是隨機(jī)的，本文假定塑性鉸出現(xiàn)在構(gòu)件中間縫處。塑性鉸柔度系數(shù)為：

式中：khinge為塑性鉸塑性柔度修正系數(shù)；fe、fp分別為虛縫彈性柔度系數(shù)和塑性鉸塑性柔度系數(shù)。

圖7 曲率分解及單元曲率分布示意圖

1.3.2 相關(guān)系數(shù)的取值方法 實(shí)縫塑性柔度綜合修正系數(shù)反映單元虛擬曲率分布形狀，亦即受拉剛化（Tension Stiffening）效應(yīng)。該系數(shù)受很多因素影響，主要有配筋率，鋼筋工作應(yīng)力，鋼筋與混凝土的粘結(jié)滑移特性等。從理論上推導(dǎo)修正系數(shù)的計(jì)算公式是困難的。從簡(jiǎn)單實(shí)用的角度出發(fā)，對(duì)課題組以往試驗(yàn)梁、板在帶裂縫工作階段各荷載工況下跨中撓度試驗(yàn)值與程序計(jì)算值的比值統(tǒng)計(jì)分析，計(jì)算不同修正系數(shù)取值下，比值的均值，標(biāo)準(zhǔn)差和變異系數(shù)，從而選取最優(yōu)的修正系數(shù)。經(jīng)計(jì)算分析，實(shí)縫塑性柔度綜合修正系數(shù)對(duì)板類構(gòu)件取0. 8；對(duì)梁構(gòu)件取1.0。梁與板同為受彎構(gòu)件，修正系數(shù)的差異主要是由于鋼筋受拉剛化效應(yīng)不同造成的。鋼筋應(yīng)變不均勻系數(shù)ψ反映裂縫間混凝土參與受拉的程度。根據(jù)板的實(shí)測(cè)撓度和平均裂縫寬度反推得到不均勻系數(shù)實(shí)測(cè)值ψT，由公式ψ＝1.1－0.65ftk／（ρteσsk）得到不均勻系數(shù)計(jì)算值ψC，兩者對(duì)比如圖8所示。經(jīng)統(tǒng)計(jì)分析，ψT／ψC的均值為0.83，變異系數(shù)0.22。ψ計(jì)算公式主要是由梁的試驗(yàn)結(jié)果得到的，而板的鋼筋應(yīng)變不均勻系數(shù)實(shí)測(cè)值小于該公式計(jì)算值，這表明該公式低估了板中鋼筋的受拉剛化效應(yīng)。事實(shí)上，板配筋率比梁低且鋼筋直徑小，鋼筋在板中的受拉剛化作用比梁中更顯著，相關(guān)規(guī)程［19］也考慮到這一點(diǎn)，對(duì)板類受彎構(gòu)件的ψ計(jì)算公式進(jìn)行了調(diào)整。上述分析表明，板中鋼筋的受拉剛化效應(yīng)比在梁中更為顯著，從而也證實(shí)了梁與板塑性柔度綜合修正系數(shù)取值的合理性。對(duì)于塑性鉸塑性柔度修正系數(shù)，類似的，本文根據(jù)破壞階段的試驗(yàn)數(shù)據(jù)分析取為3，能較好的預(yù)測(cè)該階段的構(gòu)件荷載與變形響應(yīng)。

圖8 鋼筋應(yīng)變不均勻系數(shù)實(shí)測(cè)值與計(jì)算值對(duì)比

1.3.3 程序編制 編制鋼筋混凝土受彎構(gòu)件變形凝聚法分析程序，其核心求解子程序與彈性分析程序一致。逐級(jí)施加荷載，采用全量法（割線剛度法）進(jìn)行分析。彎矩轉(zhuǎn)角關(guān)系由截面彎矩曲率關(guān)系間接得到。截面彎矩曲率關(guān)系由截面分層條帶法編制程序計(jì)算，其基本原理可參考相關(guān)文獻(xiàn)，此處不再贅述。鋼筋混凝土受彎構(gòu)件變形凝聚法分析程序框圖如圖9所示。

截面彎矩曲率關(guān)系需要選取合適的材料本構(gòu)關(guān)系?；炷羻屋S受壓本構(gòu)關(guān)系選用文獻(xiàn)［20］附錄C給出的混凝土單軸受壓應(yīng)力應(yīng)變曲線。混凝土單軸受拉本構(gòu)關(guān)系采用文獻(xiàn)［3］中的曲線直線模型。CRB550鋼筋是一種沒有明顯屈服點(diǎn)的硬鋼，采用雙斜線模型。熱軋帶肋鋼筋本構(gòu)關(guān)系采用理想彈塑性本構(gòu)模型。預(yù)應(yīng)力鋼絞線的本構(gòu)關(guān)系采用文獻(xiàn)［14］定義的三折線模型。本構(gòu)關(guān)系中材料力學(xué)性能指標(biāo)均采用實(shí)測(cè)平均值。

圖9 鋼筋混凝土受彎構(gòu)件基于變形凝聚概念的分析程序框圖

2 試驗(yàn)驗(yàn)證

2.1 高強(qiáng)鋼筋混凝土受彎構(gòu)件試驗(yàn)概況

為了驗(yàn)證基于變形凝聚概念的分析方法，本文對(duì)同濟(jì)大學(xué)預(yù)應(yīng)力研究所近期完成的高強(qiáng)鋼筋混凝土受彎構(gòu)件試驗(yàn)進(jìn)行模擬。主要有高強(qiáng)鋼筋混凝土板［21］、高強(qiáng)鋼筋混凝土梁［22］，配高強(qiáng)鋼筋的后張有粘結(jié)預(yù)應(yīng)力混凝土梁［23］等試件類型。各類試件參數(shù)明細(xì)表詳見表1～3。

表1 高強(qiáng)鋼筋混凝土板試件參數(shù)明細(xì)表

表2 高強(qiáng)鋼筋混凝土梁試件參數(shù)明細(xì)表

表3 配高強(qiáng)鋼筋的后張有粘結(jié)預(yù)應(yīng)力混凝土梁試件參數(shù)明細(xì)表

2.2 試驗(yàn)結(jié)果與程序計(jì)算結(jié)果對(duì)比

運(yùn)用本文編制程序?qū)ν瑵?jì)大學(xué)預(yù)應(yīng)力研究所完成的高強(qiáng)鋼筋混凝土受彎構(gòu)件試驗(yàn)進(jìn)行計(jì)算模擬。以JL1為例，其平均裂縫間距計(jì)算值141.92 mm。程序計(jì)算中，采用試件長度除以計(jì)算平均裂縫間距，取整后得到單元?jiǎng)澐謹(jǐn)?shù)目為32個(gè)，其余構(gòu)件算例亦類似處理。圖10、11分別給出了JL1的實(shí)際裂縫分布和單元?jiǎng)澐质疽鈭D，可以看出變形凝聚法單元?jiǎng)澐址绞侥茌^好的符合實(shí)際物理模型。采用變形凝聚法計(jì)算得到的荷載撓度曲線，無論是在彈性階段，還是構(gòu)件開裂后的彈塑性階段，均與試驗(yàn)荷載撓度曲線吻合良好。限于篇幅，圖12僅給出部分試件的計(jì)算結(jié)果。

圖10 JL1實(shí)際裂縫分布圖

圖11 JL1單元?jiǎng)澐质疽鈭D

圖12 部分板和梁試件的荷載—位移曲線

3 結(jié) 論

提出了一種概念新穎的方法——變形凝聚法，并嘗試用于鋼筋混凝土受彎構(gòu)件的非線性分析。變形凝聚法思想獨(dú)特，物理概念清晰，結(jié)構(gòu)的作用效應(yīng)（變形和內(nèi)力）計(jì)算比較精確和方便，與傳統(tǒng)有限元相比計(jì)算量更小，能更為客觀地刻畫出宏觀試驗(yàn)現(xiàn)象表現(xiàn)出的物理模型。編制了非線性分析程序，對(duì)鋼筋混凝土受彎構(gòu)件試驗(yàn)進(jìn)行了模擬，試驗(yàn)結(jié)果與程序計(jì)算結(jié)果吻合良好，表明該方法的合理性與準(zhǔn)確性。在構(gòu)件分析層次上進(jìn)行初步探索，對(duì)框架結(jié)構(gòu)及平面問題的分析還有待于今后進(jìn)一步研究。

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（編輯 胡 玲）

Analysis on Reinforced Concrete Flexural Members Using Deformation Condensation Method

Zhou Jianmin，Pan Xinghua，Chen Shuo，Zhang Fan
（School of Civil Engineering，Tongji University，Shanghai 200092，P.R.China）

Traditional nonlinear analysis of RC structures usually adopts nonlinear FEM based on continuum mechanics，and it is hard to reflect macroscopic deformation characteristic，such as local rotation in crack sections and plastic hinge of failure stage.From the perspective of physical model，a new deformation condensation method is developed.The analysis of RC flexural members in the 1-D elastic problem involve three stages based on the concept of deformation condensation.RC flexural members were divided into several elements according to average crack spacing to get numerical model consistent with the physical model with higher computational efficiency tests of RC flexural members reinforced with high strength rebars conducted by Institute of Prestressed Structures in Tongji University，were simulated and the simulation results agreed well with the experimental data indicating that this novel method is applicable.

RC flexural members；deformation condensation method； macroscopic deformation characteristic；physical model；nonlinear analysis

TU313

A

1674-4764（2014）05-0111-08

10.11835／j.issn.1674-4764.2014.05.018

2014-02-09

國家“十二五”科技支撐計(jì)劃課題 （2012BAJ06B01-01）

周建民（1961-），男，教授，博士，主要從事混凝土結(jié)構(gòu)研究，（E-mail）tjzhou2008＠163.com。