最小勢(shì)能原理在關(guān)鍵層撓度計(jì)算中的應(yīng)用

張忠厚，左 彪，黃厚旭

(1.遼寧工程技術(shù)大學(xué)理學(xué)院，遼寧阜新 123000;2.遼寧工程技術(shù)大學(xué)力學(xué)與工程學(xué)院，遼寧阜新 123000;3.遼寧工程技術(shù)大學(xué)土木與交通學(xué)院，遼寧阜新 123000)

0 引言

錢鳴高提出了采場(chǎng)上覆巖層活動(dòng)的關(guān)鍵層理論并用彈性組合梁模型確定了當(dāng)較軟巖層與堅(jiān)硬關(guān)鍵層協(xié)調(diào)變形時(shí)關(guān)鍵層上的等效荷載［1］，李文秀等用彈性薄板法建立了開采時(shí)地表下沉的預(yù)測(cè)力學(xué)模型［2］，劉開云等利用彈性薄板法分析了采空區(qū)上覆巖層的組合運(yùn)動(dòng)特征并對(duì)關(guān)鍵層的位置進(jìn)行了計(jì)算分析［3］。利用彈性板理論研究頂板撓曲變形已經(jīng)取得了許多有價(jià)值的成果［3-6］。但在頂板撓度計(jì)算中已有的研究大多是先建立薄板力學(xué)模型然后求解平衡方程，本文將試圖從另一個(gè)角度求解離層撓度問題。最小勢(shì)能原理表明:在合外力作用下真實(shí)存在的位移場(chǎng)使平衡體系所具有的勢(shì)能最小。將覆巖頂板簡(jiǎn)化為四邊簡(jiǎn)支的彈性薄板然后建立平衡方程求解彈性薄板在上部荷載及自重下的撓度值是目前研究覆巖離層及地表沉陷使用較多的一種方法。在上部荷載及自重作用下四邊簡(jiǎn)支的彈性頂板的撓曲方程符合雙三角級(jí)數(shù)。注漿減沉的力學(xué)機(jī)理是:漿體充填離層空間，固結(jié)后對(duì)關(guān)鍵層提供支撐反力進(jìn)而減小地表沉降。本文將以最小勢(shì)能原理為基礎(chǔ)計(jì)算關(guān)鍵層在注漿前后的最大撓度值，并用求得的結(jié)果評(píng)價(jià)注漿減沉的效果。

1 離層巖板彈性力學(xué)模型建立

在開采形成采空區(qū)后位于采空區(qū)上部的巖石失去下部支撐，在上部荷載及自重作用下將發(fā)生向下的撓曲變形。由于成巖年代、巖石成分及上覆荷載等存在差異，在下沉過程中不同巖板將產(chǎn)生不同的撓度。關(guān)鍵層對(duì)巖體的活動(dòng)起全部的控制作用受關(guān)鍵層控制的各巖層將與關(guān)鍵層協(xié)調(diào)變形且撓曲形式相同。在離層空間上方關(guān)鍵層巖板的懸露面積遠(yuǎn)大于其厚度，而關(guān)鍵層的硬脆性決定了在未破壞范圍內(nèi)關(guān)鍵層將發(fā)生彈性變形且其撓度小于其厚度，因此將關(guān)鍵層巖板簡(jiǎn)化為彈性板是合理的。且根據(jù)已有的研究成果可將關(guān)鍵層巖板簡(jiǎn)化為四邊簡(jiǎn)支的矩形巖板。在應(yīng)用彈性薄板理論分析關(guān)鍵層的離層變形之前先對(duì)關(guān)鍵層做如下假設(shè)［7］:(1)垂直于薄板中平面的法線在變形后仍為垂直彈性曲面的直線且長(zhǎng)度不變;(2)垂直于中平面方向的正應(yīng)力與其他兩個(gè)方向的正應(yīng)力相比可以忽略，即σz=0;(3)板的中平面無伸縮變形。

由彈性薄板理論知，薄板在合外力作用下的平衡方程為:

或表示為:

其中:

其中amn為關(guān)鍵層在彈性限度內(nèi)的最大撓度，m、n分別為巖板在x、y方向撓曲的半波數(shù)，其中m、n=1、2…，a、b分別為巖板在 x、y方向的長(zhǎng)度，q為關(guān)鍵層上的等效均布荷載，D為關(guān)鍵層的抗彎剛度，E為關(guān)鍵層巖板的彈性模量，μ為關(guān)鍵層巖板的泊松比，d為巖板厚度。

2 關(guān)鍵層上等效均布荷載q的計(jì)算

將關(guān)鍵層當(dāng)作覆巖撓曲變形的分界點(diǎn)，與關(guān)鍵層協(xié)調(diào)變形的上覆巖層與關(guān)鍵層形成一個(gè)組合梁，依據(jù)巖層的自然分層將采場(chǎng)上覆巖層從下至上分別編號(hào)1、2、3…m … k，k ＞m 對(duì)應(yīng)的厚度分別為 d1、d2、d3… dm… dk，密度分別為 ρ1、ρ2、ρ3…ρm…ρk，并假設(shè)第 m 層為關(guān)鍵層(圖1)。則第m層至第k層將發(fā)生相同撓曲變形并且各層之間緊密接觸這種變形協(xié)調(diào)關(guān)系可表示為:

圖1 覆巖離層力學(xué)模型Fig.1 Mechanical model of cover rock seperation stata

由材料力學(xué)知:

即:

將(8)代入式(6)得:

由式(9)可解得:

式中Mi(i=m…k)為第i層巖板承受的彎矩，Ii第i層巖層的截面慣性矩。由組合梁理論知:

式中Mhe代表組合梁承受的總彎矩。

將式(10)代入式(12)可得:

由于組合梁的彎矩可視為由組合梁上的均布荷載組成，則有:

即:

由qisi=ρisidig得:

式中si為相應(yīng)巖板的有效計(jì)算面積。

將式(16)代入式(15)可得:

3 關(guān)鍵層的最大撓度計(jì)算

3.1 注漿前關(guān)鍵層的最大撓度計(jì)算

由于離層的產(chǎn)生是一個(gè)長(zhǎng)期而緩慢的過程，因此可將關(guān)鍵層視為在合外力作用下的平衡體系.設(shè)在上部荷載及自重作用下關(guān)鍵層產(chǎn)生的最大撓度為amn。

當(dāng)關(guān)鍵層發(fā)生撓曲ω后所具有的彈性勢(shì)能為:

但由于關(guān)鍵層處于四邊簡(jiǎn)支狀態(tài)，因此上式中第二項(xiàng)將不存在，所以此處關(guān)鍵層的勢(shì)能表達(dá)式為:

其中:

將式(20)代入式(19)中，則有:

關(guān)鍵層上等效均布荷載在撓曲方向上做的功為:

關(guān)鍵層巖板所具有的總勢(shì)能為:

將式(21)和(22)代入(23)中，則有:

最小勢(shì)能原理表明:對(duì)于給定的應(yīng)力場(chǎng)平衡體系將發(fā)生讓系統(tǒng)總勢(shì)能最小的實(shí)際位移，則此時(shí)的位移amn應(yīng)滿足:

將式(24)代入式(25)中，則有:

由式(21)可知:

若僅取級(jí)數(shù)的第一項(xiàng)，即m=1，n=1則得關(guān)鍵層的最大撓度為:

3.2 注漿后關(guān)鍵層的最大撓度計(jì)算

在離層空間中充填的粉煤灰漿體在固結(jié)后由于其硬度和彈性模量遠(yuǎn)小于堅(jiān)硬的關(guān)鍵層頂板，因此可將固結(jié)后的漿體視為處于關(guān)鍵層下的彈性墊層。假設(shè)注漿時(shí)關(guān)鍵層只發(fā)生了大小可以忽略的撓曲下沉且注漿量足夠，關(guān)鍵層的下沉和凝固漿體的變形是同步且兩種介質(zhì)之間接觸良好，由Winkler地基假設(shè)知固結(jié)的漿體對(duì)關(guān)鍵層的支撐反力為［7］:

式中F是關(guān)鍵層受到的支撐反力，K是Winkler地基系數(shù)與基礎(chǔ)本身的結(jié)構(gòu)及力學(xué)特性有關(guān)，彈性地基系數(shù)K=(E0/h0)-2，其中E0，h0分別為墊層的彈性模量和厚度。ωz為注漿后關(guān)鍵層的撓度，由于支撐反力方向與ωz的方向相反，故F的值取負(fù)號(hào)。

注漿后關(guān)鍵層仍處緩慢下沉狀態(tài)，但由于變形速率慢，因此可以將撓曲變形過程看作平衡狀態(tài)。當(dāng)關(guān)鍵層發(fā)生最大撓度amnz時(shí)具有的彈性勢(shì)能為:

關(guān)鍵層的撓曲方程可表示為:

由式(21)知:

此時(shí)合外力做功為:

將式(20)和(22)代入式子(33)則有:

注漿后關(guān)鍵層的總勢(shì)能為:

將式(32)和(34)代入(35)中則有:

由平衡體系滿足最小勢(shì)能原理則有:

將式(36)代入式(37)中則有:

經(jīng)整理后得:

因此充填注漿后關(guān)鍵層的撓曲方程可以表示為:

在式(39)中僅取級(jí)數(shù)第一項(xiàng)，當(dāng)m=n=1得:

4 注漿減沉效果分析

4.1 薄板所受最大拉力方向的確定

由于注漿前后巖板的變形都是處于小撓曲變形范圍內(nèi)，因此可認(rèn)為中平面依然保持為平面［7］。則巖板沿x、y方向的應(yīng)力分別為:

式中μ為巖板材料的泊松比且μ＜1，z為受力點(diǎn)距中平面的距離，在中平面上部時(shí)取“+”號(hào)，在中平面下部時(shí)取“-”號(hào)。由于最大拉應(yīng)力出現(xiàn)在關(guān)鍵層最底端，即分別代入式(36)和(37)則得到最大拉應(yīng)力σx、σy的表達(dá)式為:

在式(46)和(47)中當(dāng)改變 a、b的相對(duì)大小時(shí)得:

上式表明四邊簡(jiǎn)支矩形巖板的最大拉應(yīng)力發(fā)生在撓度最大處且沿頂板的短邊方向。

4.2 關(guān)鍵層巖板的極限跨距的計(jì)算

在計(jì)算薄巖板撓度時(shí)應(yīng)保證計(jì)算是在巖板的極限跨距內(nèi)進(jìn)行且滿足，但實(shí)際開采中大多數(shù)情況下離層巖板的a、b值都大于巖板的極限跨距，因此必須對(duì)巖板極限撓度計(jì)算公式予以修正。彈性力學(xué)中將受到外部荷載作用時(shí)薄巖板最大撓度處正好發(fā)生拉裂時(shí)對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)度稱為薄巖板的極限跨距，分別用am、bm表示。薄巖板的極限跨距與巖板自身的力學(xué)性質(zhì)、外觀尺寸以及作用于巖板上的荷載的分布情況等都有關(guān)系，由板的抗拉強(qiáng)度可推導(dǎo)計(jì)算am、bm的公式為:［8］

式中k為薄巖板的形狀系數(shù)，由am、bm的表達(dá)式

可知薄巖板的抗拉強(qiáng)度是影響薄巖板極限跨距的主要因素。

將am、bm代入式(28)和(40)中可得關(guān)鍵層注漿前后的最大撓度分別為:

將式(51)代入式(29)和(41)中可得關(guān)鍵層注漿前后的撓度表達(dá)式為:

工程實(shí)際中常用注漿前后地表最大沉降值的變化作為衡量地表減沉的主要指標(biāo)，考慮注漿是將漿液注入導(dǎo)水裂隙帶之上的離層中，因此離層的下位巖層必須完整沒有破壞，即該巖層不處于冒落帶或斷裂帶范圍之內(nèi)。假設(shè)地表土層對(duì)因巖板撓曲而產(chǎn)生的沉陷的弱化作用可以忽略，關(guān)鍵層的撓曲變形可以最大限度的傳遞到地表，地表的最大沉降值和關(guān)鍵層的最大撓度相等，那么注漿的減沉效果就可以表示為:

將式(51)代入式(53)中可得到離層注漿減沉系數(shù)的計(jì)算公式為:

4.3 實(shí)例計(jì)算

某礦43下02工作面是四采區(qū)開采的第一個(gè)工作面，開采3下煤層。該工作面位于北翼3下回風(fēng)大巷東320m。工作面走向長(zhǎng)800m，斜長(zhǎng)180m，煤層厚度1.98～5.30m，平均4m，含夾矸一層，最厚達(dá)1.2m。煤層傾角3°～15°，平均8°開采深度 556～588m，平均572m，各巖層力學(xué)性質(zhì)見表1。

表1 巖層特性參數(shù)Table 1 Rock characteristic parameters

由上表巖石參數(shù)，通過覆巖關(guān)鍵層位置的快速判別［9］可確定巖層10為關(guān)鍵層。因?yàn)殡x層注漿是將漿液注入導(dǎo)水裂隙帶之上的離層中，所以必須確保離層的下位巖層完整，即下位巖層不發(fā)生破壞，否則該巖層將位于冒落帶或斷裂帶范圍內(nèi)［10］。故關(guān)鍵層的極限跨距尺寸取決于離層下位巖層的極限跨距尺寸。故此實(shí)例中關(guān)鍵層的極限跨距尺寸取決于巖層9，由工作面采礦條件分析知H=572m，a/b=4。將巖層9的相關(guān)參數(shù)代入式(49)后可以得到am=232m，bm=58m由式(17)及表1中數(shù)據(jù)可算得D10=7286.42GPa·m3。

表2 粉煤灰在封閉空間中的力學(xué)參數(shù)［11］Table 2 Mechanical parameters of fly ash

將注漿材料粉煤灰作取樣實(shí)驗(yàn)，結(jié)果表明其彈性模量 E處于 0.03～0.05GPa之間，此處取 E=0.04GPa，經(jīng)過計(jì)算上覆巖層相鄰兩巖板間的最大離層空間高度為h0max=1.2m，而實(shí)際注漿范圍可等效為長(zhǎng)和寬分別為800m和200m，面積S=160000m2的矩形，經(jīng)計(jì)算離層空間的大小為 V=68947m3［11］，假設(shè)注采比合適且漿液剛好注滿離層空間，將固結(jié)的注漿體看作一個(gè)矩形的薄板鋪在關(guān)鍵層之下，則薄板厚度等于注漿體的平均厚度為h0=V/S，計(jì)算得到h0=0.43m。取h0=0.43m，E=0.04GPa計(jì)算后可得等效地基系數(shù)為 K=0.025GPa/m，將am=232m，bm=58m，D10=7286.42GPa·m3代入式(54)得離層注漿的減沉率為 η=26.1%，這與注漿減沉的實(shí)際效果相符［12］。

如圖2所示，當(dāng)最接近地表的關(guān)鍵層和此關(guān)鍵層對(duì)應(yīng)的極限跨距為am=232m，bm=58m時(shí)，離層注漿的減沉效果隨注漿體固結(jié)后形成的下臥支撐體的等效地基系數(shù)的增大將逐漸提高。且等效地基系數(shù)K從0增加到0.3時(shí)減沉系數(shù)η快速增長(zhǎng)并超過0.8，因此，當(dāng)?shù)刃У鼗禂?shù)K處于該范圍時(shí)增大K能明顯提高減沉效果;當(dāng)?shù)刃У鼗禂?shù)K大于0.8時(shí)減沉系數(shù)增長(zhǎng)緩慢，此范圍內(nèi)K的增大對(duì)減沉效果的影響不明顯;而下臥支撐體的等效地基系數(shù)K主要與灌注材料的性質(zhì)、級(jí)配、含水率有關(guān)，在其他條件不變的情況下材料的彈性模量越高，地基系數(shù)K越大，材料級(jí)配越均勻密實(shí)，地基系數(shù)K越大，含水率達(dá)到最佳時(shí)，地基系數(shù)K最大。然而實(shí)際減沉效果ηd往往達(dá)不到理想效果η，實(shí)際工程中，由于不同的填充條件和物理環(huán)境，之間為了提高加固效果，獲得更好的減沉效果，注漿前應(yīng)先分析離層動(dòng)態(tài)運(yùn)動(dòng)規(guī)律，合理設(shè)計(jì)布置注漿鉆孔，計(jì)算填充材料的注入量，注漿時(shí)可以適當(dāng)提高注漿壓力(充填材料反力大，也就是充填密實(shí))。漿液比重最好為1.1～1.2t/m3，比重太大，不易輸送灌注，且易堵塞注漿管，比重太小，材料沉縮率大，影響加固減沉效果。

圖2 等效地基系數(shù)K和減沉效果η的關(guān)系曲線Fig.2 The relationship of the equivalent foundation coefficient K and the reduce sink effect η

5 結(jié)論

(1)建立了開采后關(guān)鍵層的力學(xué)模型。將緩慢下沉并最終達(dá)到穩(wěn)定的關(guān)鍵層巖板看作平衡體系，依據(jù)平衡體系具有最小勢(shì)能的原理求出了關(guān)鍵層注漿前后的最大撓度。

(2)頂板發(fā)生撓曲變形時(shí)，在巖板的最大撓度處沿其短邊方向?qū)⒊霈F(xiàn)最大拉應(yīng)力。

(3)將注漿前后關(guān)鍵層最大撓度的變化量間接描述地表的沉陷值，從而建立注漿減沉效果的評(píng)價(jià)模型，得出了注漿減沉評(píng)價(jià)的一般表達(dá)式。

(4)注漿前應(yīng)先分析離層動(dòng)態(tài)運(yùn)動(dòng)規(guī)律，合理設(shè)計(jì)布置注漿鉆孔，計(jì)算填充材料的注入量，注漿時(shí)可以適當(dāng)提高注漿壓力(充填材料反力大，也就是充填密實(shí))。

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