基于壓縮感知的圓陣自適應(yīng)數(shù)字波束形成算法

王 建 盛衛(wèi)星 韓玉兵 馬曉峰

（南京理工大學(xué)電子工程與光電技術(shù)學(xué)院，江蘇 南京210094）

引 言

陣列天線(xiàn)的口徑越大，波束越窄，增益越高，但所需的陣元數(shù)也越多，設(shè)備量也越大.大型陣列，特別是數(shù)字波束形成天線(xiàn)或固態(tài)有源相控陣天線(xiàn)，每個(gè)天線(xiàn)單元都有一個(gè)對(duì)應(yīng)的T／R組件，因而陣列的陣面造價(jià)十分昂貴，是雷達(dá)耗資的主要部分.稀布陣技術(shù)可以以較少的陣列單元構(gòu)造高方向性天線(xiàn)陣，降低制造成本，可以簡(jiǎn)化大規(guī)模天線(xiàn)陣的饋電網(wǎng)絡(luò)復(fù)雜度，因此，稀布陣在大型陣列的設(shè)計(jì)中得到了較廣泛的應(yīng)用.但是陣列的周期性變稀會(huì)使方向圖出現(xiàn)非常高的旁瓣或者柵瓣，為了獲得盡量低的旁瓣電平，為了消除柵瓣，人們進(jìn)行了大量的研究.

經(jīng)過(guò)五十幾年的研究，人們提出了很多有效的降低稀布陣旁瓣的方法，最常見(jiàn)的有：遺傳算法［1］、粒子群算法［2］、蟻群算法［3］和模擬退火算法［4］等.這類(lèi)算法雖然方法簡(jiǎn)單，但是隨著陣列的增大，計(jì)算量會(huì)明顯增大.文獻(xiàn)［5］采用普通陣列與稀布陣相結(jié)合的方法，來(lái)降低波束旁瓣，該方法實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單，但是減少的陣元數(shù)有限.最近，有作者提出通過(guò)凸優(yōu)化的方法［6-7］來(lái)選擇合成期望方向圖所需的最少陣元數(shù)及其位置.文獻(xiàn)［8-9］是一種基于貝葉斯壓縮感知（Compressed Sensing，CS）算法的稀布陣方法.但是這些算法都是只針對(duì)靜態(tài)方向圖進(jìn)行優(yōu)化布陣，當(dāng)波束掃描或者進(jìn)行自適應(yīng)干擾抑制時(shí)，很難保證波束的性能.

2004年，由Donoho與Candés等人提出的CS理論［10-11］是一個(gè)充分利用信號(hào)稀疏性或可壓縮性的全新信號(hào)采集、編解碼理論.該理論指出，只要信號(hào)是稀疏的或可壓縮的（即在某個(gè)變換域上是稀疏的），就可以用一個(gè)與變換基不相關(guān)的采樣矩陣將變換所得的高維信號(hào)投影到一個(gè)低維空間上，通過(guò)求解一個(gè)優(yōu)化問(wèn)題，從這些少量的投影中以高概率重構(gòu)出原信號(hào).CS理論突破了傳統(tǒng)的奈奎斯特采樣定理的束縛，實(shí)現(xiàn)了對(duì)未知信號(hào)的邊感知邊壓縮.在一定條件下，只需采樣遠(yuǎn)小于奈奎斯特采樣定理所要求的數(shù)據(jù)，就可以通過(guò)重構(gòu)算法精確地恢復(fù)出原信號(hào).由于采樣數(shù)據(jù)少，恢復(fù)數(shù)據(jù)精確，該技術(shù)已被廣泛應(yīng)用于數(shù)據(jù)采集、醫(yī)學(xué)成像、雷達(dá)［12-14］和通信等領(lǐng)域.

通過(guò)對(duì)CS理論以及數(shù)字波束形成（Digital Beam Forming，DBF）技術(shù)的研究，提出了一種雙基地系統(tǒng)的圓形DBF接收面陣下的基于CS的自適應(yīng)數(shù)字波束形成算法.該方法適用于DBF接收陣的應(yīng)用場(chǎng)合.由于發(fā)射能量的空間合成和發(fā)射方向圖等原因，該方法尚不能適用于發(fā)射波束形成.該方法減少的陣元數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于其他方法減少的陣元數(shù)，而且所形成的波束性能與滿(mǎn)陣時(shí)候波束性能幾乎相同，具有波束旁瓣低、指向誤差小、干擾方向零陷深，而且沒(méi)有柵瓣等優(yōu)點(diǎn).該文提出的基于CS的數(shù)字波束形成算法利用目標(biāo)在空域的稀疏性，根據(jù)CS理論，用壓縮采樣矩陣對(duì)空域稀疏信號(hào)進(jìn)行壓縮采樣，用正交匹配追蹤算法（Orthogonal Matching Pursuit，OMP）［15］重構(gòu)出滿(mǎn)陣時(shí)的通道數(shù)據(jù)，最后，用重構(gòu)的數(shù)據(jù)計(jì)算陣列的自適應(yīng)權(quán)系數(shù)，形成需要的波束圖.該波束在將主瓣對(duì)準(zhǔn)期望信號(hào)方向的同時(shí)，在干擾信號(hào)方向形成零陷，從而有效地抑制干擾.

1 算法原理

1.1 信號(hào)模型

現(xiàn)在考慮一個(gè)陣列半徑為R的圓形的天線(xiàn)面陣，滿(mǎn)陣時(shí)陣元分布如圖1所示，陣元按等邊三角形均勻分布在圓形陣面內(nèi)，相鄰陣元之間的距離為λ／2（λ為雷達(dá)的工作波長(zhǎng)）.為了方便計(jì)算，現(xiàn)將圓陣按一定順序拉成一個(gè)線(xiàn)陣，即將所有陣元（N個(gè)）按從左到右從上到下的順序依次排列并編號(hào)，記第i個(gè)陣元的坐標(biāo)為（xi，yi）.

圖1 滿(mǎn)陣及稀布陣時(shí)陣元位置分布

現(xiàn)有K個(gè)遠(yuǎn)場(chǎng)回波信號(hào)入射到天線(xiàn)陣面上，其復(fù)幅度為sk（t），入射方向用uv坐標(biāo)表示為（uk，vk）＝［sin（θk）cos（φk），sin（θk）sin（φk）］，k＝1，2，…，K，其中（θk，φk）分別為俯仰角與方位角，為了書(shū)寫(xiě)方便，記ωij＝（ui，vj）.假設(shè)K個(gè)回波信號(hào)中有一個(gè)為期望信號(hào)，其余K-1個(gè)為干擾信號(hào).陣列天線(xiàn)各陣元的接收信號(hào)用一個(gè)N維的向量X（t）表示，X（t）＝［x1（t），x2（t），…，xN（t）］T.先 不 考 慮 接 收 機(jī) 噪聲，則有

式中，α（ωkk）為陣列在ωkk＝（uk，vk）（k＝1，2，…，K）方向的方向性矢量

對(duì)uv方向分別進(jìn)行Γ等分，將整個(gè)空域Γ2等分，得到ωij＝（ui，vj），其中i，j＝1，2，…，Γ，用這Γ2個(gè)方向性矢量構(gòu)建變換矩陣H

式中，hi＝［α（ωi1），α（ωi2）…，α（ωiΓ）］.

將陣列接收信號(hào)向量X（t）寫(xiě)成用變換矩陣H表示的矩陣形式，有

式中，S（t）為陣元接收信號(hào)向量X（t）在變換矩陣H上的投影系數(shù)向量.不失一般性，ωkk（k＝1，2，…，K）為ωij＝（ui，vj）（i，j＝1，2，…，Γ）中之一.則投影系數(shù)向量S（t）有類(lèi)似于S（t）＝［0，0，…，s1（t），0，…，0，…，sK（t），0，…，0］的形式.即向量S（t）中只有少數(shù)幾個(gè)元素是非零的，其余均為零元素，也即S（t）是稀疏的.因此，根據(jù)CS理論，陣列接收信號(hào)向量X（t）可以在壓縮采樣之后通過(guò)重構(gòu)算法精確恢復(fù)出來(lái).

考慮接收機(jī)噪聲時(shí)，式（4）所表示的陣列接收信號(hào)向量X（t）可改寫(xiě)成

式中，V（t）＝［v1（t），v2（t），…，vN（t）］T為由各個(gè)陣元通道的高斯白噪聲組成的向量.

1.2 壓縮采樣與重構(gòu)

壓縮采樣不是直接測(cè)量X（t），而是設(shè)計(jì)一個(gè)與變換矩陣H不相關(guān)的M×N（M?N）維采樣矩陣Φ，測(cè)量X（t）在Φ上的投影向量Y（t），即

式（6）中采樣矩陣Φ表示天線(xiàn)對(duì)空域信號(hào)的壓縮采樣方式，這里選擇行隨機(jī)抽取矩陣，可由N×N的單位陣隨機(jī)抽取M行得到，也即在原陣列的N個(gè)陣元中隨機(jī)選取M個(gè)陣元進(jìn)行空間采樣即可.

式（6）中的矩陣P＝ΦH是一個(gè)M×Γ2的矩陣，稱(chēng)為觀(guān)測(cè)矩陣.理論研究表明［11，16］，當(dāng)觀(guān)測(cè)矩陣P滿(mǎn)足限制等容性（Restricted Isometry Property，RIP）條件時(shí)，便可通過(guò)求解投影系數(shù)向量S（t），由壓縮采樣向量Y（t）精確地重構(gòu)滿(mǎn)陣時(shí)的陣元接收信號(hào)向量X（t）.因此，在壓縮采樣中，采樣矩陣Φ的設(shè)計(jì)非常重要.目前，用得比較多的采樣矩陣有［17］：Hadamard矩陣、高斯隨機(jī)矩陣、稀疏隨機(jī)矩陣和部分傅里葉矩陣等，這里P＝ΦH滿(mǎn)足RIP條件.

從滿(mǎn)陣的N個(gè)陣元中隨機(jī)抽取M個(gè)陣元作為壓縮采樣陣元.抽取的方法如下：先產(chǎn)生N個(gè)在［0，1］區(qū)間內(nèi)均勻分布的隨機(jī)數(shù)，按照產(chǎn)生的先后次序記下這N個(gè)隨機(jī)數(shù)的序號(hào)，再將N個(gè)隨機(jī)數(shù)按從小到大的次序排列，取其中前M個(gè)隨機(jī)數(shù)所對(duì)應(yīng)的原來(lái)的序號(hào)作為計(jì)劃抽取的壓縮采樣陣元的序號(hào).

將M個(gè)壓縮采樣陣元的輸出（壓縮采樣向量）用向量Y（t）＝［y1（t），y2（t），…，yM（t）］T表示.

取回波信號(hào)在時(shí)域的L次快拍，將壓縮采樣值Y（t）寫(xiě)成一個(gè)M×L維的矩陣，滿(mǎn)陣接收信號(hào)向量X（t）寫(xiě)成一個(gè)N×L維的矩陣，將式（6）改寫(xiě)成多次快拍的形式得

得到M個(gè)陣元的壓縮采樣值YM×L后，采用OMP算法［15，18］估計(jì)投影系數(shù)向量SΓ2×L，然后根據(jù)式（8）重構(gòu)滿(mǎn)陣接收信號(hào)向量XN×L為

1.3 自適應(yīng)數(shù)字波束形成

整個(gè)陣列的回波數(shù)據(jù)用CS方法重構(gòu)得到之后，用得到的數(shù)據(jù)計(jì)算自適應(yīng)權(quán)系數(shù)，形成自適應(yīng)數(shù)字波束，將天線(xiàn)主瓣對(duì)準(zhǔn)期望信號(hào)方向，在干擾的來(lái)波方向形成天線(xiàn)波束的零陷，從而在探測(cè)目標(biāo)的同時(shí)抑制干擾.這里采用的自適應(yīng)數(shù)字波束形成算法為基于迭代的線(xiàn)性約束的最小方差估計(jì)（Linearly Constrained Minimum Variance，LCMV）算法.

LCMV算法是通過(guò)求解如下的線(xiàn)性約束方程，使陣列輸出功率最小，從而求得最佳權(quán)系數(shù)w［19］為

這里只約束了期望信號(hào)方向，式（9）中y（t）＝wHx（t）是DBF處理之后的輸出信號(hào)，R是陣列輸出信號(hào)的協(xié)方差矩陣，α（ωs）是期望方向的方向性矢量，w是權(quán)矢量.求解式（9）可得最佳權(quán)系數(shù)為

式（10）中的最佳權(quán)重系數(shù)可以通過(guò)下邊的迭代公式計(jì)算［20］

式中：μ是迭代步長(zhǎng)；k是迭代次數(shù)；A＝I-α（ωs）［αH（ωs）α（ωs）］-1αH（ωs）；F＝α（ωs）［αH（ωs）α（ωs）］-1.

在用式（8）重構(gòu)得到滿(mǎn)陣接收信號(hào)向量X（t）之后，代人式（11）就可以通過(guò)迭代方式自適應(yīng)計(jì)算陣列權(quán)重系數(shù)向量.當(dāng)滿(mǎn)足‖｜w（k＋1）‖-‖w（k）‖｜＜ε時(shí)（ε是一個(gè)預(yù)先設(shè)定的誤差系數(shù)），迭代結(jié)束，就可以得到LCMV準(zhǔn)則下的最佳權(quán)重系數(shù).

2 實(shí)驗(yàn)仿真結(jié)果

2.1 不同壓縮比下的算法性能比較

CS理論指出，在一定條件下只需采樣少量的數(shù)據(jù)就可以恢復(fù)原始信號(hào)，但不同的壓縮比對(duì)信號(hào)恢復(fù)效果不同，下面給出不同壓縮比下的信號(hào)恢復(fù)情況的分析結(jié)果.

取圓陣半徑R＝6λ，陣元按1.1節(jié)所說(shuō)的方式排列，該圓陣滿(mǎn)陣時(shí)共有N＝1 051個(gè)陣元，面陣口徑D＝12λ，則該圓陣的uv分辨率約為0.08，所以取Γ＝25，將uv分別25等分，從而將整個(gè)空域625等分.按照1.2節(jié)的方法從這N個(gè)陣元中隨機(jī)選取100、200、500、1 000個(gè)陣元，分別比較一個(gè)目標(biāo)兩個(gè)干擾在不同信噪比RSN下信號(hào)恢復(fù)情況，取RSN＝-10～40dB，信干比RSI＝-30dB，單個(gè)快拍依次恢復(fù)數(shù)據(jù).

圖2為不同壓縮比下信號(hào)恢復(fù)誤差隨信噪比的變化曲線(xiàn).由圖2可以看出：信噪比越大恢復(fù)誤差越??；選取的陣元越多，信號(hào)的恢復(fù)誤差也越小.但是陣元越多雷達(dá)的造價(jià)就越昂貴，在信噪比較高時(shí)，100個(gè)陣元恢復(fù)的信號(hào)誤差已可以作為后續(xù)信號(hào)處理，所以折中之后選取100個(gè)陣元.下面對(duì)100個(gè)陣元情況下的波束性能進(jìn)行分析.

2.2 波束性能分析

取上述同樣大小圓形面陣，按照1.2節(jié)的方法從這N個(gè)陣元中隨機(jī)選取M＝100個(gè)陣元，稀疏的陣元分布如圖1所示.取信號(hào)與干擾方向的uv坐標(biāo)分別 為（0.44，0.52），（0.60，-0.58），（-0.36，-0.36），信噪比RSN＝10dB，干噪比RIN＝40dB，單個(gè)快拍依次恢復(fù)數(shù)據(jù).

圖2 不同壓縮比下信號(hào)恢復(fù)誤差

壓縮采樣得到100個(gè)陣元的數(shù)據(jù)之后，先用CS方法恢復(fù)出所有通道的數(shù)據(jù)，然后利用恢復(fù)得到的數(shù)據(jù)用基于迭代的LCMV算法計(jì)算自適應(yīng)權(quán)系數(shù)，形成自適應(yīng)波束圖，將得到的波束圖與稀布陣下直接得到的波束圖及滿(mǎn)陣時(shí)的波束圖進(jìn)行比較.三種情況下的波束圖如圖3所示，由圖3可知，在天線(xiàn)口徑不減小的前提下，當(dāng)陣元數(shù)從1 051減少到100之后，用文中提出的方法所得到的波束圖（圖3（a））旁瓣明顯低于普通稀布陣方法得到的波束圖（圖3（b）），圖3（a）的 波 束 圖 干 擾 方 向 零 陷 分 別 為-94dB和-105dB，該波束的性能與滿(mǎn)陣（1 051陣元）時(shí)的波束性能（圖3（c））幾乎相同.

圖3 基于迭代的LCMV算法得到的波束圖（RSN＝10dB，RIN＝40dB）

圖4給出了不同方法下輸出信干噪比收斂情況.由圖4可知，經(jīng)過(guò)多次迭代之后，輸出信干噪比收斂，當(dāng)輸出信干噪比收斂之后，文中方法的輸出信干噪比略低于滿(mǎn)陣時(shí)候的輸出信干噪比.所以，由以上分析可知，用壓縮感知方法得到的波束性能接近滿(mǎn)陣時(shí)波束性能，輸出信干噪比只是略低于滿(mǎn)陣時(shí)輸出信干噪比，所以該方法適用于基于迭代的LCMV算法.

圖4 不同方法下輸出信干噪比收斂情況

2.3 蒙特卡羅分析

對(duì)于一個(gè)DBF雷達(dá)系統(tǒng)，我們不但關(guān)心波束的指向、旁瓣電平和干擾零陷深度等，還有一項(xiàng)重要指標(biāo)就是輸出信干噪比.文中提出的圓陣下的基于壓縮感知的自適應(yīng)波束形成算法，是通過(guò)重構(gòu)算法恢復(fù)得到滿(mǎn)陣的回波信息，當(dāng)用OMP算法估計(jì)稀疏向量SΓ2×L時(shí)，若RSN較低，則重構(gòu)得到的回波信號(hào)XN×L中有可能丟失期望方向信號(hào)，使得DBF輸出信號(hào)沒(méi)有期望信號(hào).為了表示輸出信號(hào)丟失的程度，定義如式（12）所示的輸出信號(hào)誤差：

式中：YT×1是DBF系統(tǒng)歸一化之后的輸出；ST×1是不含噪聲的歸一化之后期望信號(hào).

為了驗(yàn)證該方法在不同信噪比、不同干噪比及不同角度時(shí)該算法的正確性，在陣元位置固定不變的前提下，隨機(jī)選取期望信號(hào)方向和干擾信號(hào)方向（干擾在主瓣外），對(duì)下面情況分別做100次蒙特卡羅分析：

情況1：RSN＝-20～30dB，RSI＝-30dB；

情況2：RSN＝10dB，RSI＝-60～-10dB；

圖5（a）是RSI＝-30dB時(shí)，DBF輸出信號(hào)誤差隨RSN變化的曲線(xiàn).從圖5（a）可以看出，當(dāng)RSN較小時(shí)，恢復(fù)信號(hào)的誤差與RSN不在成正比，因?yàn)樾⌒旁氡惹闆r下恢復(fù)的信號(hào)中期望信號(hào)有可能丟失，RSN越小丟失的概率越大.圖5（b）是RSN＝10dB時(shí)，DBF輸出信號(hào)誤差隨RSI變化的曲線(xiàn).從圖5（b）可以看出，當(dāng)期望信號(hào)足夠強(qiáng)時(shí)，不管干擾多大，都能精確恢復(fù)缺失通道信號(hào)，而不丟失期望信號(hào)，且輸出信號(hào)的精度不隨干擾的增大而減小.

圖5 不同情況下輸出信號(hào)誤差

下面用恢復(fù)得到的數(shù)據(jù)計(jì)算自適應(yīng)權(quán)系數(shù)，得到自適應(yīng)數(shù)字波束圖，然后分析波束性能.

圖6為基于迭代的LCMV算法下波束的蒙特卡羅分析結(jié)果，RSI＝-30dB，旁瓣電平和零陷電平都是迭代穩(wěn)定之后得到的.由圖6可知，用恢復(fù)之后的數(shù)據(jù)計(jì)算自適應(yīng)權(quán)系數(shù)，形成的波束圖旁瓣都較低，干擾方向零陷都比較深，波束性能良好，接近滿(mǎn)陣波束性能.

圖6 波束旁瓣電平、干擾方向零陷深度圖

雖然信噪比較低時(shí)波束圖的性能依舊很好，但由于期望信號(hào)太弱，它在變換矩陣上的投影系數(shù)太小，恢復(fù)的時(shí)候可能被噪聲淹沒(méi)，使恢復(fù)信號(hào)誤差較大，甚至可能丟失了期望信號(hào)，使恢復(fù)的數(shù)據(jù)中不包含期望方向信號(hào)，所以此時(shí)的數(shù)據(jù)已經(jīng)不能作為信號(hào)處理的數(shù)據(jù)了，但在信噪比較高時(shí)，即在保證了恢復(fù)的通道數(shù)據(jù)中包含期望方向信號(hào)時(shí)，波束的旁瓣及干擾方向的零陷深度都能得到保證，即波束性能良好，且期望方向信號(hào)依然可以高概率恢復(fù)，所以在信噪比較高時(shí)該方法可行.

3 結(jié) 論

該文提出的圓陣下的基于壓縮感知的數(shù)字波束形成算法，是一種新的稀布陣方法.在不減小天線(xiàn)口徑的前提下，大大減少了實(shí)際陣元數(shù)目，減少了射頻前端數(shù)量.它利用回波信號(hào)在空域的稀疏性，用100個(gè)隨機(jī)分布的陣元接收信號(hào)，用壓縮感知的方法精確恢復(fù)出滿(mǎn)陣（1 051陣元）時(shí)候各通道的數(shù)據(jù)，然后用恢復(fù)的通道數(shù)據(jù)計(jì)算自適應(yīng)權(quán)系數(shù)，形成波束圖，實(shí)驗(yàn)仿真結(jié)果證明了該方法的正確性.仿真結(jié)果表明，用該方法所得到的波束性能良好，與滿(mǎn)陣時(shí)候的波束性能相近，但是該方法有一定適用范圍，即在期望信號(hào)太弱時(shí)，不能精確重構(gòu)期望方向信號(hào)，甚至有可能丟失期望信號(hào)，該方法失效.

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