砌體墻板的平面外性能

倪玉雙，楊偉軍，梁建國，蔣耀華

（1.長(zhǎng)沙理工大學(xué) 土木與建筑學(xué)院，長(zhǎng)沙410114；2.中機(jī)國際工程設(shè)計(jì)研究院有限責(zé)任公司，長(zhǎng)沙410007）

砌體墻是由塊體、豎向灰縫、水平灰縫組成的一種各向異性材料，混合結(jié)構(gòu)房屋中，墻體除了承受墻體平面內(nèi)的豎向荷載外還承受垂直于墻面的平面外荷載，包括風(fēng)載和水平地震作用等。它本質(zhì)上相當(dāng)于四邊有支撐的豎向平板，該平板受到垂直于它表面的荷載，墻體向外彎曲時(shí)，在墻體內(nèi)引起壓應(yīng)力和拉應(yīng)力，朝向荷載的墻面受壓，而另一面受拉。所以將由塊體和砂漿組成的砌體墻進(jìn)行勻質(zhì)化后即可以采用板的理論來進(jìn)行研究。

砌體勻質(zhì)化理論是源于復(fù)合材料力學(xué)的新興砌體研究理論，勻質(zhì)化方法即按照連續(xù)體假設(shè)，綜合考慮塊體和砂漿的共同表現(xiàn)，將其幾何和材料信息融入到一個(gè)等效體中，再將等效體應(yīng)用到整個(gè)結(jié)構(gòu)中的方法。一些學(xué)者驗(yàn)證了這一方法推導(dǎo)砌體結(jié)構(gòu)平面內(nèi)力學(xué)性能的可行性［1－9］。中國對(duì)砌體墻板平面外抗風(fēng)與抗震性能的研究很少，而實(shí)際地震時(shí)砌體墻經(jīng)常發(fā)生平面外破壞。國外一些學(xué)者對(duì)砌體平面外受力性能做過一些研究。但是結(jié)合砌體勻質(zhì)化方法的研究不多。Mistler等［10］研究了砌體墻平面內(nèi)、平面外宏觀力學(xué)性能。Louren?o等［11］分析了在平面外荷載的作用下，墻體尺寸（墻寬和墻高）對(duì)砌體結(jié)構(gòu)的影響。Gilbert等［12］進(jìn)行了無筋砌體墻在平面外低周反復(fù)荷載作用下的力學(xué)研究。建立了新的力學(xué)分析模型，對(duì)墻體的總的位移進(jìn)行動(dòng)力特性迭代分析，確定了墻體的破壞形式。Lam等［13］提出了一種采用單自由度分析模型研究無筋砌體墻在水平地震荷載作用下的平面外性能的方法。Gabriele等［14］用勻質(zhì)化方法對(duì)平面外荷載作用下的砌體墻進(jìn)行了極限承載力分析。

本文運(yùn)用砌體勻質(zhì)化理論，結(jié)合板的理論對(duì)砌體墻板的平面外性能進(jìn)行研究，且本文用薄板理論和中厚板理論兩種理論來研究勻質(zhì)化砌體墻的平面外力學(xué)性能，以研究?jī)煞N理論對(duì)不同厚度墻體的適用性，完善砌體分析理論。

1 砌體墻板的勻質(zhì)化

圖1 砌體墻板的勻質(zhì)化單元

2 克?；舴虬澹↘irchhoff彈性薄板）

2.1 勻質(zhì)化模型

薄板的小撓度彎曲理論，以3個(gè)計(jì)算假定為基礎(chǔ)，它的基本內(nèi)容最早由克?；舴颍↘irchhoff）提出，因此也稱為克?；舴蚣俣ǎ疚姆Q彈性薄板為克?；舴虬?。

假設(shè)用N＝ （Nαβ） 表示勻質(zhì)化板的宏觀膜內(nèi)力場(chǎng)，E＝ （Eαβ） 為對(duì)應(yīng)的平面內(nèi)應(yīng)變場(chǎng)，Eαβ＝（U，＋U，），M＝ （M）為勻質(zhì)化板的宏觀平αββααβ面外彎曲應(yīng)力場(chǎng)，χ＝ （χαβ） 為對(duì)應(yīng)的平面外應(yīng)變場(chǎng)，Mαβ＝Dαβγδχγδ，U＝ （Ui）為位移場(chǎng)，其中，Ei3＝0，χα，β＝－U3，αβ，χi3＝0。

則克希霍夫板的勻質(zhì)化關(guān)系式可表達(dá)［15］為式（1）。

式中：第1項(xiàng)為平衡條件，表示在基本組元Y上無體積力；第2項(xiàng)和第3項(xiàng)為平面應(yīng)力的本構(gòu)方程，它描述了各項(xiàng)材料復(fù)合后在組元中的性質(zhì)，其中g(shù)rads（uper）表示周期性位移的梯度的對(duì)稱部分；第4、5項(xiàng)為基本組元的邊界條件。

2.2 跨中撓度的計(jì)算

對(duì)于正交各向異性體，其物理方程為［16］

式中：aij是彈性常數(shù)，它們表示單位應(yīng)力分量引起的形變分量。式中獨(dú)立的彈性常數(shù)只有9個(gè)，正應(yīng)變只與正應(yīng)力有關(guān)，剪應(yīng)變只與相應(yīng)的剪應(yīng)力有關(guān)。

正交各向異性薄板在橫向荷載的作用下的彈性曲面微分方程為［16］

對(duì)于由塊體和砂漿組成的砌體墻，勻質(zhì)化后即可用式（3）進(jìn)行分析。式（3）中的平面外抗彎剛度可用勻質(zhì)化后的分量［15，17］代入，則可將彈性力學(xué)中經(jīng)典的彈性曲面微分方程進(jìn)行變形，即式（3）可變形為式（4）所示形式，U表示撓度。

以四邊簡(jiǎn)支的矩形薄板為例來計(jì)算勻質(zhì)化后的砌體墻板的跨中撓度，其他邊界條件的砌體墻板也可采用類似的方法進(jìn)行，只需要改變相應(yīng)的邊界條件即可。

四邊簡(jiǎn)支板的邊界條件為

當(dāng)x1＝0或x1＝L時(shí)，

當(dāng)x2＝0或x2＝H 時(shí)，

則撓度表示成式（7）所示的形式。

式中：Smn是待求系數(shù)；m和n都是任意正整數(shù)；L、H分別是板在x1、x2方向的尺寸。

荷載可表示成式（8）所示級(jí)數(shù)形式

則

將公式（7）代入微分方程（4）可得

其中

當(dāng)板橫向受均布荷載時(shí)，即q （x1，x2）＝q，則有

3 瑞斯納板（Reissner中厚板）

3.1 勻質(zhì)化模型

經(jīng)典的薄板理論由于采用了克?；舴蚣僭O(shè)，在進(jìn)行變形幾何分析時(shí)，忽略了橫向剪切變形（γzx，γzy） 對(duì)板撓曲的影響，但在建立平衡方程時(shí)，卻考慮了橫向剪力 （Qx，Qy）。

為了探討橫向剪切變形對(duì)板撓曲的影響。20世紀(jì)三、四十年代以來，以瑞斯納為代表的一批學(xué)者提出了考慮剪切變形的板的理論。一般稱為中等厚度板（中厚板）理論（瑞斯納理論）。在瑞斯納理論中，引入2個(gè)變量U（板的撓度）和Φ（x，y）（瑞斯納稱之為應(yīng)力函數(shù)也稱為x方向轉(zhuǎn)角分量φx和y方向轉(zhuǎn)角分量φy），它們分別滿足一個(gè)4階方程及一個(gè)2階方程，總階數(shù)為6階，可以在每一邊界給出3個(gè)邊界條件，而不是經(jīng)典理論的2個(gè)條件［18］。

在瑞斯納理論中，引入2個(gè)變量U和Φ，即3個(gè)位移分量和兩個(gè)轉(zhuǎn)角分量，可表示為UR＝（（x1，x2） ）和Φ ＝ （φα（x1，x2） ），與位移和轉(zhuǎn)角分量相關(guān)的應(yīng)變張量可表示為

宏觀平面外彎曲應(yīng)力M＝Mαβ（x1，x2），

剪力Q＝Qα（x1，x2），平面內(nèi)彈性模量與平面外抗彎剛度同克?；舴虬?。

即瑞斯納板的勻質(zhì)化化模型相對(duì)于克?；舴虬宥?，只是增加了剪應(yīng)力和剪應(yīng)變。

3.2 跨中撓度的計(jì)算

對(duì)于瑞斯納板，有如下關(guān)系式成立

剪切模量用F＝ （Fαβ） 表示，則有如式（15）、（16）所示關(guān)系式存在。

同時(shí)，考慮板的平衡關(guān)系，有

采用與克?；舴虬孱愃频慕Y(jié)合彈性力學(xué)中經(jīng)典方程的推導(dǎo)方法，可將式（14）～（16）聯(lián)合χαβ＝（φ，＋φ，）代入式（17）和（18）可得式（19）～αββα

（21）。

為便于和彈性薄板進(jìn)行比較，此處仍以四邊簡(jiǎn)支板為例進(jìn)行說明，即其邊界條件為

當(dāng)x1＝0或x1＝L時(shí)，

當(dāng)x2＝0或x2＝H時(shí)，

則滿足平衡方程和邊界條件的函數(shù)如下：

將這些函數(shù)代入微分方程組，可得

其中：

最后可解得

其中，det （gij）是gij的行列式，由式（24）即可估算板的撓度。其中平面外抗彎剛度取值同克?；舴虬濉?/p>

4 算例

為驗(yàn)證兩種板理論計(jì)算的勻質(zhì)化砌體墻板的跨中撓度的準(zhǔn)確性，現(xiàn)將計(jì)算值與試驗(yàn)值進(jìn)行比較。目前中國尚無墻體受平面外荷載的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，其他國家的試驗(yàn)也屈指可數(shù)，Lourenco［19］做過幾組試驗(yàn)，比較結(jié)果見表1。墻體均為四邊簡(jiǎn)支受平面外均布荷載，高均為2 800mm，厚度均為150mm，寬分別為3 400mm（WI）、5 000mm（WII）和5 800mm（WIII），每組墻體3塊，試驗(yàn)值為3塊墻體的平均值。計(jì)算所取材料參數(shù)見原文獻(xiàn)。

從表1可以看出，兩種理論計(jì)算值與試驗(yàn)值吻合均較好，且中厚板理論的計(jì)算值更接近試驗(yàn)值，對(duì)于WI組試驗(yàn)墻體，計(jì)算值較其他兩組試驗(yàn)墻體更接近于試驗(yàn)值，且隨著WI組到WIII組墻體即高寬比減小時(shí)，兩種理論計(jì)算值的誤差也越來越小。因?yàn)閷?shí)驗(yàn)墻體只有9片，故結(jié)果有其局限性，為進(jìn)一步探討2種理論的適用性，進(jìn)行下面詳細(xì)的理論分析。

表1 計(jì)算值與試驗(yàn)值的比較

5 兩種板理論下的跨中撓度計(jì)算比較

5.1 不同高寬比下兩種理論計(jì)算的勻質(zhì)化砌體墻板的跨中撓度

以由240mm×115mm×53mm的塊體砌筑而成，承受q＝0.01MPa橫向荷載的墻體為例，邊界條件及荷載形式如圖2所示。利用Matlab軟件來計(jì)算兩種板理論下勻質(zhì)化砌體墻板的跨中撓度。計(jì)算中砂漿的彈性模量為2 200MPa，泊松比為0.25。研究?jī)煞N板理論計(jì)算的跨中撓度誤差的規(guī)律時(shí)，從兩個(gè)方面來加以討論：一是固定墻體高度H ＝3 000mm，計(jì)算不同高寬比下每種厚度的墻體的跨中撓度；第二是計(jì)算相同高寬比下不同厚度墻體的跨中撓度，最后通過計(jì)算結(jié)果總結(jié)規(guī)律。

圖2 墻體的邊界條件和荷載形式

表2表示不同高寬比下各厚度墻體的撓度值，從表2及圖3中的分析結(jié)果可以看出，120、180、240及370mm的勻質(zhì)化砌體墻用薄板理論和中厚板理論算得的跨中撓度值隨高寬比增大而變化的趨勢(shì)基本相同，且在固定墻高為3 000mm時(shí)，都在高寬比為1.4處誤差值高出50%，在高寬比為2時(shí)，誤差較大，從而可以得出，在利用板理論計(jì)算勻質(zhì)化砌體墻的跨中撓度時(shí)，具體采用何種理論要依據(jù)墻體的尺寸而定，當(dāng)兩種理論計(jì)算值誤差較小時(shí)，可用簡(jiǎn)化的薄板理論，但是誤差較大時(shí)，需用較精準(zhǔn)的中厚板理論，中厚板理論更接近墻體的實(shí)際力學(xué)模型。

圖3 不同高寬比下各厚度墻體的撓度誤差值

表2 不同高寬比下各厚度墻體的撓度值

5.2 相同高寬比下兩種理論計(jì)算的墻體撓度

計(jì)算相同高寬比下不同厚度墻體的跨中撓度時(shí)，仍然以由240mm×115mm×53mm的塊體砌筑而成，承受q＝0.01MPa橫向荷載的墻體為例，墻體邊界條件和荷載形式如圖2。砂漿的彈性模量和泊松比及其它相關(guān)參數(shù)同前。

5.2.1 高寬比0.5 由表3中數(shù)據(jù)和圖4中曲線走勢(shì)可以看出，高寬比為0.5時(shí)，兩種理論計(jì)算的4種厚度墻體的撓度誤差值的變化趨勢(shì)基本一致，隨著厚度與寬度或者說厚度與高度比值的增加而減小。且誤差均比較小，在10%以內(nèi)，所以，此時(shí)，可用簡(jiǎn)化的薄板理論來代替中厚板理論計(jì)算勻質(zhì)化砌體墻的跨中撓度。

表3 高寬比0.5時(shí)不同厚度墻體的撓度值

圖4 高寬比0.5時(shí)不同厚度墻體的撓度誤差值

5.2.2 高寬比0.75 由表4中數(shù)據(jù)和圖5中曲線走勢(shì)可以看出，高寬比為0.75時(shí)，兩種理論計(jì)算的4種厚度墻體的撓度誤差值的變化趨勢(shì)基本一致，隨著厚度與寬度或者說厚度與高度比值的增加而減小。且誤差均比較小，在20%以內(nèi)，所以，此時(shí)，可用簡(jiǎn)化的薄板理論來代替中厚板理論計(jì)算勻質(zhì)化砌體墻的跨中撓度。

表4 高寬比0.75時(shí)不同厚度墻體的撓度值

圖5 高寬比0.75時(shí)不同厚度墻體的撓度誤差值

5.2.3 高寬比1.0 由表5中數(shù)據(jù)和圖6中曲線走勢(shì)可以看出，高寬比為1.0時(shí)，兩種理論計(jì)算的4種厚度墻體的撓度誤差值的變化趨勢(shì)基本一致，隨著厚度與寬度或者說厚度與高度比值的增加而減小，誤差均在30%以內(nèi)。

5.2.4 高寬比1.25 由表6中數(shù)據(jù)和圖7中曲線走勢(shì)可以看出，高寬比為1.25時(shí)，兩種理論計(jì)算的4種厚度墻體的撓度誤差值的變化趨勢(shì)基本一致，隨著厚度與寬度或者說厚度與高度比值的增加而增加，值得注意的是此時(shí)誤差的變化趨勢(shì)與高寬比不大于1.0的墻體相比，變化趨勢(shì)是相反的，從曲線圖上的曲線走勢(shì)也可以看出來，也就是說我們?cè)诖_定用何種理論計(jì)算勻質(zhì)化砌體墻的跨中撓度時(shí)，不光要看墻體厚度與寬度或是厚度的比值，也要考慮墻體的高寬比。

表5 高寬比1.0時(shí)不同厚度墻體的撓度值

表6 高寬比1.25時(shí)不同厚度墻體的撓度值

圖6 高寬比1.0時(shí)不同厚度墻體的撓度誤差值

圖7 高寬比1.25時(shí)不同厚度墻體的撓度誤差值

5.2.5 高寬比1.5 由表7中數(shù)據(jù)和圖8中曲線走勢(shì)可以看出，高寬比為1.5的墻體，類同高寬比為1.25的墻體，即兩種理論計(jì)算的4種厚度墻體的撓度誤差值的變化趨勢(shì)基本一致，都隨著厚度與寬度或者說厚度與高度比值的增加而增加。

表7 高寬比1.5時(shí)不同厚度墻體的撓度值

圖8 高寬比1.5時(shí)不同厚度墻體的撓度誤差值

6 小 結(jié)

用勻質(zhì)化理論將砌體墻板進(jìn)行勻質(zhì)化后用板的理論來研究砌體墻的平面外力學(xué)性能，得到了如下結(jié)論：

1）通過與試驗(yàn)墻體比較可知，用薄板理論和中厚板理論算得的跨中撓度值與試驗(yàn)值吻合均較好，且中厚板理論計(jì)算值更接近試驗(yàn)值。

2）通過進(jìn)一步的理論分析可知，固定墻高時(shí)，120、180、240、370mm的勻質(zhì)化砌體墻用兩種理論算得的跨中撓度值隨高寬比增大而變化的趨勢(shì)基本相同，且在固定墻高為3 000mm時(shí)，都在高寬比為1.4處誤差值高出50%，在高寬比為2時(shí)，誤差較大，從而可以得出，在利用板理論計(jì)算勻質(zhì)化砌體墻的跨中撓度時(shí)，具體采用何種理論要依據(jù)墻體的尺寸而定，當(dāng)兩種理論計(jì)算值誤差較小時(shí)，可用簡(jiǎn)化的薄板理論，但是誤差較大時(shí)，需用較精準(zhǔn)的中厚板理論。

3）計(jì)算相同高寬比下不同厚度墻體的跨中撓度時(shí)，要注意高寬比不大于1和大于1兩種情況下，兩種板理論計(jì)算的跨中撓度誤差值變化的趨勢(shì)是相反的，即討論兩種板理論計(jì)算的勻質(zhì)化砌體墻的跨中撓度時(shí)，不能單一以某個(gè)指標(biāo)來衡量，要綜合考慮墻體厚度，墻體高寬比等。

4）彈性力學(xué)中的經(jīng)典板理論可用來研究砌體墻板的平面外力學(xué)性能，但是薄板理論不能模擬所有不同尺寸的墻體，中厚板理論更精準(zhǔn)，但是計(jì)算復(fù)雜，故在不確定是否可用簡(jiǎn)化的薄板理論時(shí)，可先用本文的方法比較二者的跨中撓度計(jì)算值，進(jìn)而確定用何種理論研究其他平面外力學(xué)性能指標(biāo)，即在跨中撓度計(jì)算值相差不大的情況下，就可用簡(jiǎn)化的薄板理論，否則，就需要用計(jì)算相對(duì)復(fù)雜的中厚板理論。

［1］Anthoine A.Derivation of the in－plane elastic characteristics of masonry through homogenization theory ［J］.International Journal of Solids and Structures，1995，32（2）：137－163.

［2］Anthoine A.Homogenisation of periodic masonry：plane stress，generalized plane strain of 3Dmodeling［J］.Commun Numer Meth Engng，1997，13（3）：19－26.

［3］王達(dá)詮，武建華.砌體RVE均質(zhì)過程的有限元分析［J］.重慶建筑大學(xué)學(xué)報(bào)，2002，24（4）：35－39.Wang D Q，Wu J H.Finite element analysis of masonry RVE homogenization procedure［J］.Journal of Chongqing Jianzhu University，2002，24（4）：35－39.

［4］Cavalagli N，Cluni F，Gusella V.Strength domain of non－periodic masonry by homogenization in generalized plane state ［J］.European Journal of Mechanics A／Solids，2011，30：113－126.

［5］Quinteros R D，Sergio O，Nallim L G.Nonlinear homogenization techniques to solve masonry structures problems［J］.Composite Structures，2012，94：724－730.

［6］Milani G，Cecchi A.Compatible model for herringbone bond masonry：Linear elastic homogenization，failure surfaces and structural implementation ［J］.International Journal of Solids and Structures，2013，50：3274－3296.

［7］王亭，姜忻良，李茂鋆.歷史風(fēng)貌建筑磚砌體加固試驗(yàn)及模擬計(jì)算分析［J］.工程力學(xué)，2012，29（Sup 1）：92－96 Wang T ，Jiang X L ，Li M Y.reinforcement experiment and simulation analysis on brick masonry of historical buildings［J］.Engineering Mechanics，2012，29，（Sup 1）：92－96.

［8］沈繼美.砌體勻質(zhì)化過程的數(shù)值模擬方法與應(yīng)用研究［D］.長(zhǎng)沙：長(zhǎng)沙理工大學(xué)土木與建筑學(xué)院，2012：44－47.

［9］倪玉雙，楊偉軍，蔣耀華，等.砌體彈性模量取值的研究［J］.四川建筑科學(xué)研究，2013，39（1）：23－26.Ni Y S，Yang W J，Jiang Y H，et al.Analyses of the elastic modulus values of masonry［J］.Building Science Research of Sichuan，2013，39（1）：23－26.

［10］Mistler M，Anthoine A，Butenweg C.In－plane and outof－plane homogenisation of masonry ［J］.Computers and Structures，2007，85：1321－1330.

［11］Louren?o P B，Barros J A O.Size effect on masonry subjected to out－of－plane loading［C］／／Proc.12th Int.Brick／Block Masonry Conf，Madrid spain，2000：25－28.

［12］Gilbert M， Hobbs B， Molyneaux T C K.The performance of unreinforced masonry walls subjected to low－velocity impacts： mechanism analysis ［J］.International Journal of Impact Engineering，2002，253－275.

［13］Lam N T K，Griffit M，Wilson J，et al.Time－h(huán)istory analysis of URM walls in out－of－plane flexure ［J］.Engineering Structures，2003，743－754.

［14］Gabriele M，Paulo L，Antonio T.Homogenization approach for the limit analysis of out－of－plane loaded masonry walls ［J］.Journal of Structural Engineering，2006，132（10），1650－1663.

［15］Cecchi A，Sab K.Out－of－plane model for heterogeneous periodic materials：the case of masonry ［J］.Eur J Mech A／Solids，2002，715－746

［16］徐芝綸.彈性力學(xué)［M］.3版.北京：高等教育出版社，1990.

［17］Cecchi A，Sab K.Corrigendum to a comparison between a 3Ddiscrete model and two homogenised plate models for periodic elastic brickwork［J］.International Journal of Solids and Structures，2006，43（2）：390－392.

［18］曲慶璋，章權(quán)，季求知，等.彈性板理論［M］.北京：人民交通出版社，2000.

［19］Lourenco P B.An anisotropic macro－model for masonry plates and shells：Implementation and validation ［R］.Portugal：Technical University of Minho and Minho University，1997：36－57.