考慮幾何非線性的新型索拱橋拱軸線優(yōu)化

胡常福，鄭 恒，任偉新，3，上官興

（1.中南大學(xué) 土木工程學(xué)院，長(zhǎng)沙410075；2.華東交通大學(xué) 土木建筑學(xué)院，南昌330013；3.合肥工業(yè)大學(xué) 土木與水利工程學(xué)院，合肥230009）

拱橋是有推力結(jié)構(gòu)，跨越能力大，同時(shí)施工特別困難。桁式組合拱橋［1］將桁架懸臂施工引入拱橋，解決了施工難題，并使成橋結(jié)構(gòu)與施工臨時(shí)結(jié)構(gòu)統(tǒng)一，取得了較好的效果。陳天本等［2］提出桁式組合拱橋的革新方案，使用斜拉索替代預(yù)應(yīng)力混凝土拉桿，使用鋼管混凝土替代鋼筋混凝土箱型拱圈。由于柔性斜拉索的調(diào)索功能，使得該橋型結(jié)構(gòu)受力形式發(fā)生變化，得以成為新的拱橋結(jié)構(gòu)［3］，并被命名為索拱橋［4］。由于該橋型結(jié)構(gòu)輕盈受力合理，閆瑾等［5］提出了跨徑600m的索拱橋方案，表明了該橋型具備向超大跨徑發(fā)展的可能。

拱軸線是拱橋設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)，如何尋找合理拱軸線使得主拱圈內(nèi)力最小，是大跨徑拱橋設(shè)計(jì)的基本問題之一。在索拱橋中，由于斜拉索的存在，使得主拱圈受力較普通上承式拱橋復(fù)雜，主拱圈承擔(dān)的荷載與圓弧線、拋物線、懸鏈線、懸索線［6］及組合線型［7］對(duì)應(yīng)的荷載均不同，難以找到一個(gè)解析的拱軸線與其壓力線相重合，故尋找拱軸線最優(yōu)化是切實(shí)可行的方法。林陽(yáng)子等［8］在半拱有限元模型基礎(chǔ)上使用迭代的方法，以求得最優(yōu)拱軸線，取得較好的效果；由于其使用無(wú)鉸拱有限元模型，迭代中容易出現(xiàn)不收斂的現(xiàn)象。周尚猛等［9］使用三次樣條曲線逼近主拱圈壓力線，采用優(yōu)化主拱圈加權(quán)彎曲應(yīng)變能的方法，尋找最優(yōu)拱軸線。栗懷廣等［10］將拱軸線離散為多個(gè)直線段，采用從拱頂逐段計(jì)算的方法得到壓力線。宋業(yè)存［11］提出一種橢變曲線用在拱結(jié)構(gòu)上，在相同的荷載作用下與其他拱軸線相比具有更小的位移。這些研究均將拱結(jié)構(gòu)視為線性受力體系，而就其力學(xué)本質(zhì)而言拱結(jié)構(gòu)是非線性受力體系［12－14］。對(duì)于大跨徑索拱橋而言，不僅具有較強(qiáng)的幾何非線性，而且主拱圈內(nèi)力巨大，在這種情況下如何獲得最優(yōu)拱軸線，是索拱橋向大跨徑發(fā)展必須考慮的基本問題。

為探索在考慮幾何非線性受力情況下新型索拱橋的拱軸線優(yōu)化方法，筆者基于主拱圈豎坐標(biāo)與水平推力的正交性，提出在主拱圈為兩鉸拱的索拱橋有限元模型基礎(chǔ)上，進(jìn)行考慮幾何非線性受力的拱軸線迭代優(yōu)化方法。以跨徑600m的索拱橋作為算例，驗(yàn)證該方法的有效性及各參數(shù)對(duì)迭代優(yōu)化結(jié)果的影響。

1 索拱橋幾何非線性拱軸優(yōu)化原理

1.1 索拱橋的幾何非線性構(gòu)成

由于索拱橋中使用斜拉索將主拱圈與上弦連接，具有拱結(jié)構(gòu)與斜拉索結(jié)構(gòu)所特有的幾何非線性特點(diǎn)，具體表現(xiàn)為：在外荷載作用下索拱橋主拱圈產(chǎn)生較大的軸向力，與主拱圈的切向位移相互作用產(chǎn)生附加彎矩是索拱橋幾何非線性的因素之一；索拱橋橋面系與主拱圈之間通過斜向拉索連接，由于斜拉索本身的垂度效應(yīng)［15－16］，使得索拱橋成為非線性系統(tǒng)；斜拉索的另一個(gè)作用是使橋面系承擔(dān)部分軸向力，進(jìn)而在橋面系中出現(xiàn)附加彎矩，也是造成幾何非線性的因素之一；在大跨徑索拱橋中，恒載作用下結(jié)構(gòu)撓度達(dá)到米的量級(jí)，產(chǎn)生大變形效應(yīng)，引起構(gòu)件幾何外形變化。在這些因素綜合作用下，構(gòu)成了索拱橋幾何非線性的力學(xué)本質(zhì)。

1.2 考慮幾何非線性的索拱橋拱軸線迭代優(yōu)化

文獻(xiàn)［8］基于主拱圈縱坐標(biāo)與水平推力的正交性，提出在無(wú)鉸拱半拱模型基礎(chǔ)上，進(jìn)行如式（1）所示的拱軸線迭代。

式中：Yi＋1，j為第i＋1次迭代后主拱圈j節(jié)點(diǎn)的豎坐標(biāo)；Yi，j為第i次迭代后主拱圈j節(jié)點(diǎn)的豎坐標(biāo)；n為調(diào)整系數(shù)，其大小滿足0＜n≤1；Mi，j為第i次迭代后主拱圈j節(jié)點(diǎn)的彎矩；Hi，j為第i次迭代后主拱圈j節(jié)點(diǎn)等效水平力。該迭代公式概念清晰計(jì)算簡(jiǎn)明，但在實(shí)際使用時(shí)容易出現(xiàn)不收斂現(xiàn)象。其本質(zhì)原因是其在無(wú)鉸拱模型上迭代，拱腳彎矩始終不能為零，隨著迭代次數(shù)的增加拱腳坐標(biāo)偏離越來(lái)越大，進(jìn)而造成迭代不能收斂。為解決此問題，林陽(yáng)子等［8］采用強(qiáng)制拱腳坐標(biāo)不變、調(diào)整系數(shù)n的大小與設(shè)置多個(gè)迭代停止條件等方法，但效果一般。

考慮幾何非線性后的索拱橋主拱圈彎矩較線性受力大，更容易出現(xiàn)迭代不收斂現(xiàn)象。為解決迭代過程的收斂性問題，可以在主拱圈為兩鉸拱的索拱橋有限元模型基礎(chǔ)上，進(jìn)行迭代以消除拱軸線與壓力線偏離彎矩。因兩鉸拱的拱腳彎矩為零，使得收斂更加容易，不需要設(shè)置特殊的強(qiáng)制收斂條件。該方法的主要步驟如下：

1）選取一個(gè)初始拱軸線，建立索拱橋的兩鉸拱有限元模型，進(jìn)行幾何非線性計(jì)算，提取主拱圈內(nèi)力。

2）根據(jù)式（2），迭代調(diào)整主拱圈的豎坐標(biāo)。

3）將調(diào)整后的拱軸線，代入步驟1）的有限元模型中，計(jì)算幾何非線性下的結(jié)構(gòu)內(nèi)力。

4）根據(jù)式（2），判斷是否滿足如式（3）所示的迭代停止條件，否則重復(fù)步驟2）至4）。

式中：Ui、Ui＋1為第i、i＋1次迭代中考慮非線性后主拱圈彎曲應(yīng)變能；MNi，j、MNi＋1，j為第i、i＋1次迭代后主拱圈第j節(jié)點(diǎn)的彎矩；Ej、Ij、lj分別為主拱圈第j單元的彈性模量、抗彎慣性矩和單元長(zhǎng)度；m為主拱圈單元數(shù)；ε為事先設(shè)定的無(wú)窮小量。

5）提取迭代終止后有限元模型的主拱圈坐標(biāo)，并使用高次拋物線擬合成光滑曲線。

6）將擬合后的高次拋物線，代入具有實(shí)際約束的無(wú)鉸拱索拱橋有限元模型，此時(shí)即可得到考慮非線性拱軸線優(yōu)化后的最終結(jié)構(gòu)內(nèi)力。

2 索拱橋算例驗(yàn)證

2.1 跨徑600m索拱橋方案

選用一跨徑600m的索拱橋方案［5］作為算例，用以驗(yàn)證該方法在解決大跨徑索拱橋拱軸線迭代優(yōu)化收斂性問題中的有效性。該方案設(shè)計(jì)如圖1所示，其主拱圈采用大直徑品型鋼管，立柱為內(nèi)含加勁肋的空鋼管，上弦為波形鋼腹板工字鋼組成的縱橫梁體系，行車道板為四鋼混凝土（波形鋼、鋼纖維、鋼絲網(wǎng)、鋼筋混凝土）連續(xù)橋面板，斜拉索為φj21.8平行鋼絲束組成。

圖1 跨徑600m索拱橋方案

2.2 有限元模型

鑒于有限元軟件ANSYS強(qiáng)大的后處理功能，選用該軟件平臺(tái)作為分析計(jì)算的基本工具。其中以鐵木辛哥梁理論為基礎(chǔ)的beam188非線性梁?jiǎn)卧?，考慮了大變形效應(yīng)、大扭轉(zhuǎn)效應(yīng)與剪切變形效應(yīng)，適合作為索拱橋的主拱圈、立柱與縱梁的單元類型選擇，當(dāng)單元?jiǎng)澐肿銐蛐r(shí)能精確分析索拱橋的各種附加彎矩與大變形效應(yīng)；其中的link10非線性桿單元，能夠很好地模擬斜拉索只受拉的力學(xué)行為，適合作為索拱橋斜拉索的單元類型選擇，當(dāng)單元?jiǎng)澐肿銐蛐r(shí)能精確計(jì)算索的垂度效應(yīng)?；诖耍⒖鐝?00m索拱橋的非線性有限元模型，其中包括600個(gè)主拱圈單元（每節(jié)間主拱圈劃分為10個(gè)beam188單元）、924個(gè)縱梁?jiǎn)卧抗?jié)間縱梁劃分為10個(gè)beam188單元）、180個(gè)立柱單元（每個(gè)立柱劃分為5個(gè)beam188單元）及140個(gè)拉索單元（每個(gè)拉索劃分為5個(gè)link10單元），且以等效溫差法及ANSYS二次開發(fā)技術(shù)［17］模擬斜拉索不同索力對(duì)結(jié)構(gòu)的力學(xué)效應(yīng)。主拱圈與縱梁截面如圖2所示，其他構(gòu)件截面見文獻(xiàn)［5］，斜拉索索力見表1。拱腳、1?！?＃立柱座為固結(jié)約束，0＃與5＃僅設(shè)置為豎向約束以考慮此處的伸縮縫效應(yīng)。模型的初始拱軸線為m＝1.543懸鏈線，荷載為構(gòu)件自重及作用在縱梁的橋面系自重，大小為63kN／m。有限元模型求解時(shí)，打開大變形開關(guān)與p－Δ效應(yīng)開關(guān)即可考慮全部幾何非線性，使用弧長(zhǎng)法進(jìn)行求解即能得到考慮全部幾何非線性情況下的索拱橋內(nèi)力與位移；單元大小的參數(shù)分析結(jié)果表明，該非線性有限元模型能較好地兼顧結(jié)果精度與模型計(jì)算效率。

表1 索拱橋索力表

圖2 跨徑600m索拱橋構(gòu)件截面詳圖 （單位：cm）

2.3 幾何非線性分析

為考察跨徑600m索拱橋在恒載作用下的幾何非線性現(xiàn)象，在上述有限元模型基礎(chǔ)上，分別計(jì)算僅考慮線性受力與考慮全部幾何非線性兩個(gè)工況下結(jié)構(gòu)的內(nèi)力位移。其中，考慮幾何非線性工況為打開大變形開關(guān)與p－Δ效應(yīng)開關(guān)，使用弧長(zhǎng)法求解結(jié)構(gòu)在自重及橋面系荷載作用下的內(nèi)力與位移；考慮線性受力工況時(shí)，關(guān)閉所有大變形選項(xiàng)且斜拉索設(shè)置為一個(gè)桿單元，計(jì)算結(jié)構(gòu)在自重及橋面系荷載作用下的內(nèi)力與位移。兩個(gè)工況下主拱圈內(nèi)力位移的比較，如圖3、圖4與表2所示。

圖3 拱頂荷載位移曲線比較

圖4 主拱圈內(nèi)力圖比較

表2 主拱圈內(nèi)力比較表

由圖3可以看出，在構(gòu)件自重、橋面系自重及初始索力的共同作用下，跨徑600m索拱橋中存在較明顯的幾何非線性現(xiàn)象，考慮幾何非線性計(jì)算的拱頂位移比僅考慮線性的結(jié)果大50%左右，且有繼續(xù)增大的趨勢(shì)。由圖4可以看出，不論在主拱圈的負(fù)彎矩區(qū)（拱腳與拱頂）還是正彎矩區(qū)（四分點(diǎn)區(qū)域），考慮非線性后的主拱圈內(nèi)力峰值均比僅考慮線性的峰值更大；由表2可以看出，考慮幾何非線性后，主拱圈最大正彎矩比僅考慮線性大137.76%，最大負(fù)彎矩大166.67%，主拱圈彎曲應(yīng)變能大224.36%。綜合以上分析可知，僅考慮線性與考慮幾何非線性結(jié)果存在較大差別，按照幾何非線性內(nèi)力結(jié)果對(duì)主拱圈進(jìn)行拱軸線優(yōu)化更符合超大跨徑索拱橋工程實(shí)際。

2.4 考慮非線性受力的拱軸線迭代優(yōu)化

為探索該方法在索拱橋考慮非線性受力拱軸線優(yōu)化中的適用性，在上述有限元模型的基礎(chǔ)上，分別計(jì)算僅考慮線性受力迭代優(yōu)化與考慮全部非線性受力迭代優(yōu)化兩個(gè)工況下索拱橋主拱圈內(nèi)力。在兩個(gè)迭代優(yōu)化工況中，均在主拱圈為兩鉸拱的有限元模型基礎(chǔ)上，用式（2）進(jìn)行迭代，不使用調(diào)整系數(shù)，迭代停止條件ε設(shè)置為0.01；其中考慮全部非線性工況，打開大變形與p－Δ效應(yīng)開關(guān)并使用弧長(zhǎng)法求解，僅考慮線性受力工況關(guān)閉所有大變形選項(xiàng)且斜拉索為一個(gè)桿單元。兩個(gè)迭代優(yōu)化工況的主拱圈內(nèi)力結(jié)果比較，如圖5與表3所示。

圖5 兩種迭代方法比較圖

表3 兩種迭代方法主拱圈內(nèi)力比較表

由圖5可以看出，考慮非線性迭代的主拱圈最大正彎矩出現(xiàn)在第一節(jié)間，考慮線性迭代的最大正彎矩出現(xiàn)在拱腳，前者明顯小于后者；非線性迭代與線性迭代的主拱圈最大負(fù)彎矩均出現(xiàn)在四分點(diǎn)區(qū)域，前者也小于后者；由表3可以看出，與線性迭代相比，非線性迭代后主拱圈最大正彎矩約小35%，最大負(fù)彎矩約小17%，主拱圈應(yīng)變能約小23%，表明考慮非線性受力的拱軸線迭代方法比僅考慮線性迭代能得到更小的彎矩極值與彎曲應(yīng)變能結(jié)果。

2.5 主拱圈有限元模型對(duì)迭代收斂性的影響

為進(jìn)一步探索該方法對(duì)迭代收斂性能的影響，在2.2節(jié)的有限元模型基礎(chǔ)上，分別選取主拱圈為兩鉸拱和無(wú)鉸拱兩種模型，對(duì)初始拱軸線為m＝1.543懸鏈線的索拱橋進(jìn)行非線性拱軸線迭代。兩種迭代方法均使用如式（2）所示的迭代公式，不使用調(diào)整系數(shù)。為充分表現(xiàn)兩種方法的迭代收斂效果，均迭代45次而不設(shè)置特殊的迭代停止條件，并分別提取主拱圈彎曲應(yīng)變能，兩者收斂性能比較如圖6所示。

圖6 兩種主拱圈模型迭代比較圖

由圖6可以看出，當(dāng)?shù)螖?shù)小于10次時(shí)，該方法（兩鉸拱模型）與文獻(xiàn)［8］（無(wú)鉸拱模型）的主拱圈應(yīng)變能隨著迭代次數(shù)的增加均快速下降；當(dāng)?shù)螖?shù)超過10次以后，文獻(xiàn)［8］（無(wú)鉸拱模型）的主拱圈彎曲應(yīng)變能出現(xiàn)略上升趨勢(shì)，表現(xiàn)為迭代不收斂，該方法（兩鉸拱模型）的主拱圈彎曲應(yīng)變能穩(wěn)定地減小，表現(xiàn)出收斂的穩(wěn)定性。計(jì)算結(jié)果表明，使用該方法（兩鉸拱模型）能夠很好地解決迭代收斂性問題。

2.6 不同初始拱軸線下的收斂性能

為檢驗(yàn)該方法在不同初始拱軸線情況下是否具有穩(wěn)定的收斂性能，在2.2節(jié)的有限元模型基礎(chǔ)上，分別選用拱軸系數(shù)為1.000、1.543、2.240及3.500的懸鏈線作為初始拱軸線，作為索拱橋拱軸線的初始值。4種拱軸線中均使用如式（2）所示的迭代公式，即不使用調(diào)整系數(shù)。為充分表現(xiàn)該方法的迭代收斂效果，設(shè)置為45次迭代而不使用迭代停止條件，并分別提取主拱圈彎曲應(yīng)變能，考察其迭代收斂穩(wěn)定性及收斂速度，如圖7所示。

圖7 不同初始拱軸線收斂性能比較圖

由圖7可以看出，隨著迭代次數(shù)的增加，4個(gè)初始拱軸線迭代后主拱圈應(yīng)變能均能穩(wěn)定地減小，顯示了良好的收斂穩(wěn)定性，表明不同初始拱軸線對(duì)該方法的收斂性沒有影響。在收斂速度方面，m＝3.500懸鏈線收斂速度最快，趨于穩(wěn)定的主拱圈應(yīng)變能需要的迭代次數(shù)最多，而m＝1.000的懸鏈線即拋物線收斂速度較慢，趨于穩(wěn)定的主拱圈應(yīng)變能需要的迭代次數(shù)最少。綜合圖7可知，該方法在不同初始值迭代的收斂速度及收斂穩(wěn)定性能方面表現(xiàn)良好。

3 結(jié) 論

基于主拱圈縱坐標(biāo)與節(jié)點(diǎn)水平推力的正交性，提出在主拱圈為兩鉸拱的索拱橋有限元模型基礎(chǔ)上，進(jìn)行考慮幾何非線性的拱軸線迭代優(yōu)化方法，將跨徑600m索拱橋作為算例，驗(yàn)證了該方法的適用性，并通過比較分析討論了該方法的收斂性。

1）在主拱圈為兩鉸拱的索拱橋有限元模型基礎(chǔ)上進(jìn)行拱軸線迭代，能實(shí)現(xiàn)考慮幾何非線性的索拱橋拱軸線優(yōu)化。

2）與僅考慮線性受力相比，考慮非線性迭代后的索拱橋主拱圈彎矩分布更合理，最大正彎矩小35%，最大負(fù)彎矩小17%，主拱圈應(yīng)變能小23%；

3）采用主拱圈為兩鉸拱的有限元模型比無(wú)鉸拱模型收斂性能更好，不同的初始拱軸線均能收斂于的穩(wěn)定結(jié)果。

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