某型彈載雷達(dá)測(cè)角系統(tǒng)誤差模型辨識(shí)方法

王文君，段曉君，朱炬波，張強(qiáng)

(1.國(guó)防科學(xué)技術(shù)大學(xué) 理學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙410073;2.第二炮兵裝備研究院 第三研究所，北京100085)

0 引言

系統(tǒng)誤差廣泛存在于儀器測(cè)量之中，同隨機(jī)誤差一同構(gòu)成測(cè)量誤差的主體［1］，二者的不同在于系統(tǒng)誤差一般具有時(shí)域平緩、頻率較低、能量較高的特征，而隨機(jī)誤差具有時(shí)域震蕩劇烈、頻率較高、能量較低的特征。由于系統(tǒng)誤差具有上述特征，很可能導(dǎo)致測(cè)量值偏離真實(shí)值，在實(shí)際的定位與導(dǎo)航應(yīng)用中產(chǎn)生較大負(fù)面影響。為了補(bǔ)償系統(tǒng)誤差，抵消其不良影響，通常要辨識(shí)系統(tǒng)誤差模型并估計(jì)模型的參數(shù)。

系統(tǒng)誤差具有隨時(shí)間漂移的特性，經(jīng)典的方法是采用關(guān)于時(shí)間t 的多項(xiàng)式或者多項(xiàng)式樣條函數(shù)模型［1-2］逼近系統(tǒng)誤差。針對(duì)連續(xù)波雷達(dá)的系統(tǒng)誤差，文獻(xiàn)［3 -4］提供了較好的模型和估計(jì)方法。文獻(xiàn)［5］從數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)特征出發(fā)，基于相關(guān)性給出了描述系統(tǒng)誤差的時(shí)間序列模型。以上方法是利用已有的數(shù)學(xué)模型或者簡(jiǎn)單的樣條多項(xiàng)式逼近測(cè)角誤差，大多缺少明確的物理含義，無(wú)法滿足系統(tǒng)誤差補(bǔ)償及預(yù)測(cè)的根本需求。一種更適當(dāng)?shù)淖龇ㄊ欠治鰷y(cè)量的物理機(jī)理，結(jié)合與測(cè)量密切相關(guān)的可觀測(cè)物理量，以其作為自變量，設(shè)計(jì)相應(yīng)的基函數(shù)逼近系統(tǒng)誤差。

本文針對(duì)彈載雷達(dá)測(cè)角系統(tǒng)誤差模型的辨識(shí)問(wèn)題［6］，分析影響系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的物理量，提出了一種數(shù)理結(jié)合的系統(tǒng)誤差模型辨識(shí)方法。從實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的計(jì)算結(jié)果來(lái)看，利用該方法提煉出的模型能夠較好的描述測(cè)角系統(tǒng)誤差，且該方法具有一定的普適性，可應(yīng)用于類似裝備系統(tǒng)誤差模型辨識(shí)問(wèn)題。

1 彈載雷達(dá)測(cè)角及系統(tǒng)誤差模型構(gòu)造

1.1 彈載雷達(dá)測(cè)角誤差分析

影響彈載雷達(dá)測(cè)角誤差的因素，總體可分為目標(biāo)因素、環(huán)境因素和雷達(dá)自身因素3 大類［7-8］。對(duì)于測(cè)角誤差的分析和研究，目前已有的文獻(xiàn)大多集中在雷達(dá)自身因素，例如文獻(xiàn)［9］研究了通道不一致導(dǎo)致幅相不一致引起的測(cè)角誤差;文獻(xiàn)［10］分析了距離量化誤差帶來(lái)的測(cè)角誤差;文獻(xiàn)［11］提出了一種從硬件上增加脈沖調(diào)制電路和調(diào)整中放、視放帶寬的改進(jìn)方法。少部分文獻(xiàn)分析了由于目標(biāo)和環(huán)境因素導(dǎo)致的測(cè)角誤差，例如由于角閃爍現(xiàn)象導(dǎo)致的測(cè)角誤差［12］，文獻(xiàn)［13］從統(tǒng)計(jì)意義上給出了測(cè)角誤差仿真公式及參數(shù)的確定方法。

本文定義測(cè)角誤差E(t)為t 時(shí)刻彈載雷達(dá)測(cè)量得到的目標(biāo)角度與目標(biāo)真實(shí)角度的差別［14］，其中目標(biāo)的真實(shí)角度可以通過(guò)安裝在平臺(tái)上的全球定位系統(tǒng)(GPS)、姿態(tài)信息和目標(biāo)上的GPS 共同測(cè)算得到。一般情況下E(t)可以看成為一個(gè)隨機(jī)過(guò)程(或離散時(shí)間序列)，且通常能夠分解為系統(tǒng)趨勢(shì)與隨機(jī)噪聲之和的形式，如圖1所示。

圖1 雷達(dá)測(cè)角誤差的系統(tǒng)項(xiàng)和隨機(jī)項(xiàng)Fig.1 Systemic and random terms of radar measurement error

故此E(t)可以分解為

式中:s(X)為測(cè)角系統(tǒng)誤差;X 為描述系統(tǒng)誤差模型的自變量集合;ε(t)為測(cè)角隨機(jī)誤差模型。一般的，可以近似認(rèn)為隨機(jī)誤差ε(t)服從高斯白噪聲的假設(shè)。接下來(lái)構(gòu)建誤差的系統(tǒng)誤差模型s(X，t)，確定自變量集合X 的構(gòu)成及模型s(·)的形式。

1.2 系統(tǒng)誤差模型的自變量提煉

自變量提煉是指在已知的平臺(tái)狀態(tài)和目標(biāo)狀態(tài)中選擇與系統(tǒng)誤差密切相關(guān)的可觀測(cè)因素，一般可分為基于數(shù)據(jù)和基于物理兩大類方法?；跀?shù)據(jù)的方法即純粹從數(shù)據(jù)出發(fā)，利用相關(guān)性分析確定哪些自變量與系統(tǒng)誤差關(guān)系最大;而基于物理的方法則首先分析系統(tǒng)誤差產(chǎn)生機(jī)理，推斷與系統(tǒng)誤差關(guān)系密切的物理量。

1.2.1 基于數(shù)據(jù)相關(guān)性的自變量提煉

考慮可觀測(cè)的平臺(tái)狀態(tài)和目標(biāo)狀態(tài)的相關(guān)因素作為待選自變量(一個(gè)自變量指一個(gè)時(shí)間序列)，記為xi(i=1，2，…，m).計(jì)算自變量序列與測(cè)角誤差序列的相關(guān)性，記

根據(jù)計(jì)算結(jié)果，取相關(guān)性較大的若干個(gè)因素構(gòu)成自變量矩陣

式中:ψM為平臺(tái)偏航姿態(tài)角;ψMS為平臺(tái)目標(biāo)視線俯仰角;α 為平臺(tái)目標(biāo)視線方位角;r 為平臺(tái)目標(biāo)距離;xS為x 方向目標(biāo)位置坐標(biāo);zS為z 方向目標(biāo)位置坐標(biāo);φM為平臺(tái)俯仰姿態(tài)角;φS為目標(biāo)俯仰姿態(tài)角。

1.2.2 基于物理機(jī)理的自變量提煉

根據(jù)雷達(dá)測(cè)角機(jī)理可知，方位角測(cè)量誤差是雷達(dá)測(cè)量得到的角偏差eR與GPS 測(cè)量得到的角偏差eG之差。從大量的測(cè)量數(shù)據(jù)中可看出:eR的數(shù)據(jù)序列表現(xiàn)為零均值、方差時(shí)變的隨機(jī)序列，數(shù)據(jù)主體基本沒(méi)有趨勢(shì)特征;而eG的數(shù)據(jù)序列表現(xiàn)出明顯的無(wú)規(guī)律趨勢(shì)，并且數(shù)據(jù)含有一定的噪聲。故此可認(rèn)為測(cè)量誤差的系統(tǒng)趨勢(shì)是由eG的測(cè)量數(shù)據(jù)帶來(lái)的，而eG是方位視線與導(dǎo)引頭光軸的夾角，進(jìn)一步可將下列因素引入到自變量矩陣中:

圖2 船體在雷達(dá)視線上的投影Fig.2 Ship projection on radar line of sight

目標(biāo)在視線上的投影長(zhǎng)度對(duì)視在中心的位置有至關(guān)重要的影響，且ΔL≈Lsin，故將、sin αJ、cos αJ信息引入自變量矩陣。

1.3 表示基函數(shù)的過(guò)完備化

根據(jù)數(shù)據(jù)相關(guān)性和物理機(jī)理確定入選的自變量序列，實(shí)際上構(gòu)成了可以表示系統(tǒng)誤差的基函數(shù)。其中入選的自變量序列，也就是基函數(shù)，是由多項(xiàng)式、三角函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等多種形式構(gòu)成。記由基函數(shù)構(gòu)成的誤差空間為

考慮到誤差序列的強(qiáng)非線性，單純由入選的自變量低階項(xiàng)難以足夠精確地表示測(cè)角誤差，故通常考慮高階項(xiàng)和交叉項(xiàng)即可較好地表示測(cè)角誤差。測(cè)角系統(tǒng)誤差序列屬于由這些自變量及其高階項(xiàng)張成的空間，即

1.4 系統(tǒng)誤差模型的構(gòu)造

測(cè)角誤差系統(tǒng)模型可以表示如下:

式中:X?{1，x1，x2，…，xm}.考慮到f(X，t)可以進(jìn)行泰勒展開(kāi)，故此可以利用MSQ空間中的自變量展開(kāi)得測(cè)角誤差系統(tǒng)模型

式中:β0、β1i、βhi和βhki分別為常數(shù)項(xiàng)、一次項(xiàng)、高次項(xiàng)和交叉項(xiàng)的待估參數(shù)。上式可以簡(jiǎn)記為

2 系統(tǒng)誤差模型的優(yōu)化

由于測(cè)角誤差空間MSQ是過(guò)完備的，故還需對(duì)初選自變量進(jìn)行必要的剔除來(lái)優(yōu)化表示。

2.1 基于Cp準(zhǔn)則剔除算法

按照自變量對(duì)于回歸擬合的貢獻(xiàn)排序，貢獻(xiàn)微小且剔除以后不會(huì)對(duì)結(jié)果造成較大影響的，應(yīng)該予以剔除。

記X = (X1，…，Xn)，β = (β1，…，βn)'，βP=(β1，…，βp)'，XP= (X1，…，Xp)，XR= (Xp+1，…，Xn)，βR=(βp+1，…，βn)'.

稱

與

為全模型與最優(yōu)選模型［15］。其中n 為模型自變量數(shù)，m 為數(shù)據(jù)采樣數(shù)，即模型中方程數(shù)目，m 遠(yuǎn)大于n.Cp準(zhǔn)則的目的是從全模型中選取出優(yōu)選模型，如果進(jìn)行自變量選擇的目的是使Xβ 的估計(jì)最優(yōu)，則根據(jù)文獻(xiàn)［2］從全模型中按照以下準(zhǔn)則確定最優(yōu)選模型:

逐個(gè)剔除多余的自變量的算法如下:

1)令集合P ={1，2，…，n}表示模型自變量的序號(hào)，令p=n;

5)結(jié)束。集合P 即優(yōu)選模型自變量序號(hào)集合。

2.2 基于能量的剔除算法

測(cè)角誤差的構(gòu)成從物理機(jī)理上而言應(yīng)該是由更小的分量疊合而成，因此不應(yīng)該出現(xiàn)某一自變量的擬合結(jié)果超過(guò)誤差本身的量級(jí)，故將超過(guò)誤差本身量級(jí)的自變量剔除。

記t 時(shí)刻，某一自變量項(xiàng)xi對(duì)于測(cè)角誤差E(t)的貢獻(xiàn)度定義為

則某自變量對(duì)于測(cè)角誤差的貢獻(xiàn)度為

顯然自變量的貢獻(xiàn)度越接近于1，說(shuō)明自變量越起到主要作用。如果貢獻(xiàn)度遠(yuǎn)大于1，說(shuō)明該自變量對(duì)應(yīng)回歸結(jié)果的能量量級(jí)遠(yuǎn)超過(guò)目標(biāo)函數(shù)的量級(jí)，不符合測(cè)量誤差構(gòu)成的物理機(jī)理，故將其剔除。綜上，基于能量的剔除算法的流程可以總結(jié)為:

1)采用全體模型進(jìn)行回歸;

3)再次進(jìn)行回歸計(jì)算，返回2);

2.3 模型優(yōu)化流程

根據(jù)數(shù)據(jù)相關(guān)性和物理機(jī)理選擇自變量之后，就可以根據(jù)最小二乘方法對(duì)模型的參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。但通常此時(shí)的自變量選取不當(dāng)會(huì)導(dǎo)致擬合殘差過(guò)大，不滿足ε(t)服從高斯白噪聲假設(shè)。故此，本文提出了“選取→完備化→剔除→參數(shù)估計(jì)→假設(shè)檢驗(yàn)”交替進(jìn)行的循環(huán)算法，其流程可用圖3表示。

圖3 模型優(yōu)化流程Fig.3 Optimization process of model

如圖3所示，在初選自變量時(shí)盡量包含所有與測(cè)角誤差相關(guān)的因素，而后剔除自變量的同時(shí)觀察擬合殘差，如果擬合殘差通過(guò)了高斯白噪聲的檢驗(yàn)，則不需要擴(kuò)展基函數(shù);如果沒(méi)通過(guò)則可以考慮進(jìn)行基函數(shù)的完備化，直到使擬合殘差通過(guò)高斯白噪聲的檢驗(yàn)，得到測(cè)角誤差的系統(tǒng)模型。

3 某型彈載雷達(dá)數(shù)據(jù)計(jì)算與分析

本節(jié)針對(duì)雷達(dá)實(shí)際測(cè)角誤差進(jìn)行分析，首先對(duì)雷達(dá)測(cè)角數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，僅僅保留數(shù)據(jù)特征，故本文也不考慮具體的測(cè)角精度;其次，利用前文的方法，辨識(shí)測(cè)角誤差的系統(tǒng)模型，并進(jìn)行相應(yīng)的優(yōu)化;最后，利用擬合殘差檢驗(yàn)的方法對(duì)系統(tǒng)模型辨識(shí)進(jìn)行評(píng)判，如果擬合殘差通過(guò)檢驗(yàn)，則表明系統(tǒng)模型辨識(shí)結(jié)果較好。

3.1 測(cè)角誤差實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的處理

對(duì)雷達(dá)實(shí)測(cè)測(cè)角誤差進(jìn)行適當(dāng)?shù)奶幚恚玫綔y(cè)角誤差數(shù)據(jù)如圖4所示。

圖4 測(cè)角誤差數(shù)據(jù)Fig.4 Angle measurement error data

3.2 模型的辨識(shí)與優(yōu)化結(jié)果

首先選擇和擴(kuò)展自變量，接著先后利用Cp準(zhǔn)則和能量濾波剔除自變量，然后結(jié)合參數(shù)估計(jì)與3 次樣條回歸擬合，得到如下結(jié)果:

圖5(a)顯示的是測(cè)角誤差數(shù)據(jù)和僅僅采用相關(guān)性選擇出來(lái)的自變量進(jìn)行回歸擬合得到的擬合曲線，圖5(b)顯示的是擬合殘差?？梢?jiàn)，僅僅采用相關(guān)性選取的自變量不能夠完全刻畫(huà)誤差的特征，故此擬合殘差存在較大的波動(dòng)。

圖6(a)和圖6(b)分別顯示的是基于物理機(jī)理選擇自變量后的擬合效果和擬合殘差，顯然考慮加入物理機(jī)理因素的模型能夠更為準(zhǔn)確地刻畫(huà)測(cè)角誤差的特征。

圖5 僅采用相關(guān)性選取自變量得到的結(jié)果Fig.5 Results obtained by using independent variables which are selected only according to correlation coefficient

圖7(a)和圖7(b)顯示經(jīng)過(guò)對(duì)基函數(shù)進(jìn)行過(guò)完備化，接著利用Cp準(zhǔn)則和基于能量的剔除算法剔除自變量后的回歸擬合結(jié)果，擬合殘差更加趨于白噪聲。若圖7(b)中的擬合殘差通過(guò)了白噪聲的假設(shè)檢驗(yàn)，則說(shuō)明系統(tǒng)模型較為準(zhǔn)確。

3.3 擬合殘差的假設(shè)檢驗(yàn)

接下來(lái)，利用χ2檢驗(yàn)法對(duì)圖7(b)中的殘差數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn)，得到的計(jì)算表如表1所示。表1中，n表示樣本容量，fi表示落在區(qū)間Ai的樣本數(shù)，^pi表示樣本在對(duì)應(yīng)區(qū)間的出現(xiàn)頻率。

表1 χ2檢驗(yàn)計(jì)算表Tab.1 χ2 inspection table

圖6 輔以物理機(jī)理選擇的自變量后的結(jié)果Fig.6 Results obtained by using independent variables which are selected according to both correlation coefficient and physical mechanism

圖7 優(yōu)化后的結(jié)果:剩余24 項(xiàng)Fig.7 Results via optimization:24 terms are left

χ2=1 014.2 -1 000 =14.2，查表得χ20.01(5)=15.086 ＞14.2，故在水平0.01 下認(rèn)為殘差數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布，其均值為0，均方差為0.009.

4 結(jié)論

本文基于測(cè)量物理機(jī)理和誤差數(shù)據(jù)特征選取自變量構(gòu)造誤差表示的基函數(shù)，構(gòu)建了系統(tǒng)誤差模型。在優(yōu)選自變量的過(guò)程中介紹了Cp準(zhǔn)則剔除算法，提出基于能量的自變量剔除方法，得到優(yōu)選的模型。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，模型較好地吻合實(shí)測(cè)測(cè)角誤差。本文提供的模型辨識(shí)方法也可應(yīng)用到一般裝備的測(cè)量誤差系統(tǒng)模型提煉和辨識(shí)中。

References)

［1］ 王正明，易東云.彈道跟蹤數(shù)據(jù)的校準(zhǔn)與評(píng)估［M］.長(zhǎng)沙:國(guó)防科技大學(xué)出版社，1999:328 -384.WANG Zheng-ming，YI Dong-yun.The calibration and evaluation of trajectory tracking data［M］.Changsha:National University of Defense Technology Press，1999:328 -384.(in Chinese)

［2］ 周海銀，王正明.控制系統(tǒng)誤差估計(jì)及在反饋控制中的應(yīng)用［J］.彈道學(xué)報(bào)，2000，12(4):7 -11.ZHOU Hai-yin，WANG Zheng-ming.The method of controller system error estimation and its application in feedback controller［J］.Journal of Ballistics，2000，12(4):7 -11.(in Chinese)

［3］ 王正明.連續(xù)波雷達(dá)常值系統(tǒng)誤差的估計(jì)［J］.中國(guó)空間科學(xué)技術(shù)，1996(1):11 -17.WANG Zheng-ming.Estimation of constant systematic errors of continue wave radar system［J］.Chinese Space Science and Technology，1996(1):11 -17.(in Chinese)

［4］ Rekkas C M，Kyriakopulos K，Krikelis N J.An algorithm for the estimation of systematic errors in radar measurements［J］.International Journal of Systems Science，1994，25(6):1105 -1112.

［5］ Kojro Z，Riede A，Schubert M，et al.Systematic and statistical errors in correlation estimators obtained from various digital correlators［J］.Review of Scientific Instruments，1999，70(12):4487 -4496.

［6］ 杜琳琳，潘旭東，陳曾平.末制導(dǎo)雷達(dá)對(duì)艦船目標(biāo)成像轉(zhuǎn)角分析［J］.系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，2011，33(2):301 -304.DU Lin-lin，PAN Xu-dong，CHEN Zeng-ping.Analysis of rotation angles in ship target imaging based on missile-borne radar［J］.Systems Engineering and Electronics，2011，33(2):301 -304.(in Chinese)

［7］ 秦玉亮.彈載SAR 制導(dǎo)技術(shù)研究［D］.長(zhǎng)沙:國(guó)防科學(xué)技術(shù)大學(xué)，2008.QIN Yu-liang.Missile guidance using missile-borne SAR［D］.Changsha:National University of Defense Technology，2008.(in Chinese)

［8］ 王德純，丁家會(huì)，程望東，等.精密跟蹤測(cè)量雷達(dá)技術(shù)［M］.北京:電子工業(yè)出版社，2006:90 -132.WANG De-chun，DING Jia-hui，CHENG Wang-dong，et al.Technology of precise tracking radar［M］.Beijing:Publishing House of Electronics Industry，2006:90 -132.(in Chinese)

［9］ 雷武成.單脈沖雷達(dá)幅-相不一致的影響和分析［J］.電子對(duì)抗，2003，89(2):15 -20.LEI Wu-cheng.Analysis of amplitude-phase non-consistency in monopulse radar［J］.Electronic Warfare，2003，89(2):15 -20.(in Chinese)

［10］ 陳伯孝，張守宏.稀布陣綜合脈沖孔徑雷達(dá)基于單脈沖測(cè)角方法的研究［J］.現(xiàn)代雷達(dá)，1996(10):12 -19.CHEN Bo-xiao，ZHANG Shou-hong.Astudy of angle measurement with monopulse for sparse-array synthetic impulse and aperture radar［J］.Modern Radar，1996(10):12 -19.(in Chinese)

［11］ 張艷花，朱喜霞，王鑒，等.噪聲干擾源角跟蹤技術(shù)的研究［J］.中北大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2009，30(3):268 -273.ZHANG Yan-hua，ZHU Xi-xia，WANG Jian，et al.Study on angular tracking technology in tracking noise jammer［J］.Journal of North University of China:Natural Science Edition，2009，30(3):268 -273.(in Chinese)

［12］ 王克讓，張勁東，朱翔，等.MIMO 雷達(dá)對(duì)角閃爍抑制性能［J］.南京理工大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2010，34(4):513 -517.WANG Ke-rang，ZHANG Jin-dong，ZHU Xiang，et al.Performances of suppressing angle glint in MIMO radar［J］.Journal of Nanjing University of Science and Technology:Natural Science，2010，34(4):513 -517.(in Chinese)

［13］ 宋貴寶.雷達(dá)測(cè)定目標(biāo)角誤差仿真［J］.系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，1999，21(5):51 -54.SONG Gui-bao.Simulation to angle error of target measured by radar［J］.Systems Engineering and Electronics，1999，21(5):51 -54.(in Chinese)

［14］ 王正明，易東云.測(cè)量數(shù)據(jù)建模與參數(shù)估計(jì)［M］.長(zhǎng)沙:國(guó)防科技大學(xué)出版社，1996.WANG Zheng-ming，YI Dong-yun.Measurement data modeling and parameter estimation［M］.Changsha:National University of Defense Technology Press，1996.(in Chinese)

［15］ 王正明，選擇最優(yōu)回歸模型的快速算法［J］.宇航學(xué)報(bào)，1992(2):14 -20.WANG Zheng-ming.Fast algorithms to select the optimal regression model［J］.Journal of Astronautics，1992(2):14 -20.(in Chinese)