鏈?zhǔn)交剞D(zhuǎn)彈倉的自適應(yīng)魯棒控制

鄒權(quán)，錢林方，徐亞棟，蔣清山，劉艷輝

(1.南京理工大學(xué) 機械工程學(xué)院，江蘇 南京210094;2.齊齊哈爾北方機器有限公司，黑龍江 齊齊哈爾161000)

0 引言

鏈?zhǔn)交剞D(zhuǎn)彈倉由各彈筒串聯(lián)而成，其作用是存儲彈丸并根據(jù)指令把指定彈丸轉(zhuǎn)送至彈倉取彈口。如果彈倉定位精度較差，將會給取彈帶來困難，甚至無法可靠取出彈丸，彈倉的定位精度對取彈可靠性有較大的影響。

隨著彈倉中彈丸數(shù)量的變化，彈倉的轉(zhuǎn)動慣量、庫倫摩擦力矩等將會發(fā)生較大的變化，滿載時彈倉的轉(zhuǎn)動慣量約為空載時的2 倍，庫倫摩擦力矩約為空載時的5 倍。即使在彈丸數(shù)量不變的情況下，彈倉的轉(zhuǎn)動慣量也會隨其角位置的變化而變化［1］，摩擦力矩也會隨潤滑條件、工作環(huán)境等的變化而變化。此外，彈倉采用鏈傳動結(jié)構(gòu)，多邊形效應(yīng)以及輪齒嚙合沖擊將會產(chǎn)生附加擾動力矩，且鏈輪齒數(shù)越少，附加擾動力矩越大。文獻［1］對鏈?zhǔn)交剞D(zhuǎn)彈倉的動力學(xué)方程進行了線性化，提出了一種最優(yōu)保性能控制算法，使用MATLAB 的LMI 工具箱獲得了定常狀態(tài)反饋控制律。文獻［2］根據(jù)滿意控制理論，通過狀態(tài)反饋配置閉環(huán)系統(tǒng)極點，使用MATLB 的NCD 工具箱對控制器參數(shù)進行優(yōu)化，實現(xiàn)了旋轉(zhuǎn)彈倉的魯棒控制。當(dāng)彈倉參數(shù)發(fā)生較大變化時，采用線性定常狀態(tài)反饋的控制性能可能會有所下降。

目前，處理模型不確定性的方法有H∞最優(yōu)控制［3］、擾動觀測器［4］、滑?？刂疲?］等。自適應(yīng)魯棒控制［6-7］(ARC)綜合了自適應(yīng)控制技術(shù)和魯棒控制技術(shù)的優(yōu)點，通過參數(shù)在線估計補償系統(tǒng)參數(shù)變化的影響，同時采用魯棒控制技術(shù)處理非線性不確定性的影響，能夠獲得期望的動態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能。文獻［8］針對一類具有參數(shù)時變以及非線性不確定性的直線電機位置伺服控制系統(tǒng)，考慮了高頻未建模動態(tài)的影響，設(shè)計了ARC 控制器，獲得了漸進跟蹤性能。文獻［9］針對一類直流力矩電機控制系統(tǒng)，考慮了庫倫摩擦和黏性摩擦的影響，通過參數(shù)在線估計補償了非線性摩擦，改善了控制性能。文獻［10］針對一類參數(shù)大范圍變化的直線電機控制系統(tǒng)，考慮了非線性摩擦的影響，針對不同情況分別設(shè)計了ARC 控制器，獲得了較好的控制效果。文獻［11］針對一類非線性不確定多輸入多輸出(MIMO)系統(tǒng)，設(shè)計了一種具有積分型滑模面的滑?？刂破鳎瑴p小了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。

本文受文獻［10 -11］的啟發(fā)，提出了一種具有積分型滑模面的自適應(yīng)魯棒控制算法(ARC-ISS)。在常規(guī)ARC 的基礎(chǔ)上引入了積分型滑模面，減小了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。常規(guī)ARC 采用定常魯棒反饋增益，反饋增益大，系統(tǒng)響應(yīng)快，但容易引起振蕩;反之，反饋增益小，系統(tǒng)穩(wěn)定性好，但響應(yīng)較慢。為了改善系統(tǒng)的控制性能，當(dāng)誤差較大時，應(yīng)采用較大的反饋增益以快速減小誤差;當(dāng)誤差較小時，應(yīng)采用較小的反饋增益以防止產(chǎn)生超調(diào)并抑制振蕩。本文在常規(guī)定常魯棒反饋增益的基礎(chǔ)上提出了一種非線性魯棒反饋增益，改善了系統(tǒng)的動態(tài)性能以及穩(wěn)態(tài)性能，獲得了較好的控制效果。

1 數(shù)學(xué)建模及問題描述

鏈?zhǔn)交剞D(zhuǎn)彈倉由工作在力矩控制模式下的永磁直流無刷電機驅(qū)動，忽略電流環(huán)動態(tài)，不考慮永磁直流無刷電機內(nèi)部的工作方式，鏈?zhǔn)交剞D(zhuǎn)彈倉的動力學(xué)方程可以寫為

式中:q 為彈倉主動鏈輪的角位移;u 為控制輸入力矩;J 為系統(tǒng)等效轉(zhuǎn)動慣量;B 為系統(tǒng)等效黏性摩擦系數(shù);Δ 為不確定之和，包括高頻未建模動態(tài)、建模誤差、未知外部擾動以及其他難以建模的動態(tài)等;Tf()為非線性摩擦，一種工程上常用的非線性摩擦模型［8，10］可以表示為

式中:Tc為庫倫摩擦力矩;Ts為最大靜摩擦力矩;和ξ 為描述Stribeck 效應(yīng)的參數(shù);sgn(·)為符號函數(shù)，可以表示為

假設(shè)參考輸入信號yd有界，且滿足1 階導(dǎo)數(shù)和2 階導(dǎo)數(shù)均連續(xù)且有界，則本文研究的問題可看作:設(shè)計有界的控制輸入u，使得鏈?zhǔn)交剞D(zhuǎn)彈倉的輸出角位移y 能夠跟蹤參考輸入信號yd，并且跟蹤誤差盡量小。

2 模型變換及基本假設(shè)

由(2)式可知，非線性摩擦在x2=0 處不連續(xù)，而永磁直流無刷電機不能輸出不連續(xù)力矩，因此無法使用(2)式補償非線性摩擦。為了解決上述問題，可以采用連續(xù)函數(shù)(x2)逼近(2)式［9-10］，(x2)定義為

式中:Af＞0為未知參數(shù);Sf(x2)=2arctan(100x2)/π. 定義等效擾動則(3)式中的第2 個式子可寫為

假設(shè)等效擾動d 的標(biāo)稱值為dn，定義未知參數(shù)向量集合

則由(3)式、(5)式和(6)式可得線性化模型:

考慮到實際系統(tǒng)中J、B、Af、d 均有界，且其邊界一般可知或可測，因此有如下假設(shè):

假設(shè)1:未知參數(shù)集合θ 有界且其邊界已知，即存在已知常數(shù)θimin、θimax，使得

式 中:θimin= ［θ1min，θ2min，θ3min，θ4min］T;θimax=［θ1max，θ2max，θ3max，θ4max］T;不失一般性，θ1min＞0，θ2min＞0，θ3min＞0.

式中:‖·‖表示·的歐幾里德范數(shù)。

式中:Γ 為待定的正定對角矩陣;τ 為任意的自適應(yīng)律;Proj^θ(θi)=［Proj^θ(θ1)…Proj^θ(θ4)］T為向量不連續(xù)投影算子［8，10］，其定義為

對于任意的自適應(yīng)律τ，不連續(xù)投影算子(11)式具有以下性質(zhì)［6-7］:

3 控制器設(shè)計

定義如下的積分型滑模面

式中:e=y-yd為位置誤差;λ ＞0 為待設(shè)計的控制器參數(shù)。由(13)式可知從滑模函數(shù)p 到位置輸出誤差e 的傳遞函數(shù)為

(14)式是一個穩(wěn)定的傳遞函數(shù)，因此只要p 趨近于0，則e 也趨近于0，且其動態(tài)性能可由λ 調(diào)整。由(7)式和(13)式可得

考慮如下的ARC-ISS 控制律:

式中:ua為自適應(yīng)模型補償項;us為待設(shè)計的魯棒控制項。把(16)式代入(15)式可得

魯棒控制律us由兩部分組成，可以表示為

式中:us1為魯棒鎮(zhèn)定項;ks1＞0，α ＞0 為待設(shè)計的控制器參數(shù)。由(19)式可知，非線性魯棒反饋增益ks1(1 +α|p|)與滑模函數(shù)p 有關(guān)，當(dāng)p 遠(yuǎn)離零點時，反饋增益增大以使p 快速減小;當(dāng)p 接近零點時，反饋增益減小以避免劇烈的振蕩，因此能夠改善系統(tǒng)的動態(tài)系能。us2為魯棒反饋項，用于消除模型不確定性的影響，滿足以下條件:

式中:ε ＞0 為任意大的常數(shù)。一種滿足(20)式的us2［6，10］可選為

式中:h = (‖φT‖‖θmax-θmin‖)2+ ‖δd‖2. 把(21)式代入到(20)式，可得

取如下的Lyapunov 函數(shù)

注意到(17)式～(19)式和(22)式，(23)式對時間求導(dǎo)可得

式中:γ=2ks1(1 +α|p|)/θ1max. 因為γ≥2ks1/θ1max，所以當(dāng)滑模函數(shù)p 遠(yuǎn)離0 時，采用(19)式的非線性魯棒反饋增益將比常規(guī)ARC 具有更快的收斂速度;同時當(dāng)滑模函數(shù)p 接近于0 時，(19)式所示的非線性魯棒反饋增益約等于常規(guī)ARC 中的反饋增益ks1，避免了由于反饋增益過大而引起的振蕩。由(24)式可知，V1有界，且其邊界滿足

由于V1和θ1有界，由(23)式可知p 有界;由(19)式可知us1也有界;因為參考信號及其導(dǎo)數(shù)有界且未知參數(shù)的估計值有界，由(16)式和(21)式可知ua和us2有界，所以控制輸入u 有界;因此系統(tǒng)所有信號有界。由(25)式可知，當(dāng)控制律取為(16)式，并且us由(18)式、(19)式以及(21)式給出時，對于任意的自適應(yīng)律(10)式，系統(tǒng)所有信號有界，且以指數(shù)速率收斂于0 的某個鄰域內(nèi)，收斂速度不小于γ，穩(wěn)態(tài)誤差的上界可由設(shè)計參數(shù)ks1、α 和ε 預(yù)先設(shè)定。

取如下的Lyapunov 函數(shù)

假設(shè)未知參數(shù)θi(i =1，2，3，4)是常數(shù)或慢時變的，即≈0(i =1，2，3，4)。注意到(20)式、(27)式對時間求導(dǎo)得

如果自適應(yīng)律取為

把(29)式代入(28)式，可得

由(30)式可知，當(dāng)自適應(yīng)律取為(29)式時，由(7)式、(16)式、(18)式、(19)式以及(21)式構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

4 仿真分析

某鏈?zhǔn)交剞D(zhuǎn)彈倉由永磁直流無刷電機驅(qū)動，位置誤差要求小于0.4°，控制系統(tǒng)采樣周期1 ms. 電機力矩常數(shù)為0.057 N·m/A，電機轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動慣量為1.54× 10-4kg·m2;減速裝置等效轉(zhuǎn)動 慣量為0.36×10-4kg·m2，傳動比為219.4;彈丸質(zhì)量為48 kg，彈筒質(zhì)量為10 kg，滿載時彈丸數(shù)量為20 個，主動鏈輪節(jié)圓半徑為95 mm. 由以上參數(shù)可得未知參數(shù)集合的邊界為θTmin=［10.5，1，50，-100］T，θTmax=［20，30，250，100］T，未知參數(shù)初始值取為(0)=［15，20，50，0］T. 非線性摩擦模型(2)式中的參數(shù)取為s=0.1°/s，ξ=2. 由(25)式可知，系統(tǒng)動態(tài)誤差與初始狀態(tài)有關(guān)，為了減小動態(tài)誤差，有必要對參考信號進行規(guī)劃以滿足:x1(0)= yd(0)，x2(0)=本文中采用點到點(PTP)運動軌跡規(guī)劃，期望位移120°，最大速度66.67°/s，最大加速度333.34°/s2. 由于彈倉中彈丸數(shù)量的情況較多，本文僅考慮3 種特殊情況，即:空載(彈倉不裝彈丸)，半載(彈倉裝載10 發(fā)彈丸且連續(xù)排列)，滿載(彈倉裝載20 發(fā)彈丸)。為了驗證本文提出的ARC-ISS 算法的有效性，針對上述3 種特殊情況分別對常規(guī)ARC 以及ARC-ISS 進行了仿真測試。常規(guī)ARC 控制器采用PD 型滑模面，即滑模函數(shù)取為p=+λe，控制器參數(shù)設(shè)置為:λ=10，ks1=1，α=0，ε=10 000，γ1=0.2，γ2=1，γ3=20，γ4=10;ARCISS算法采用積分型滑模函數(shù)(13)式，控制器參數(shù)設(shè)置為:α=5，其余參數(shù)同常規(guī)ARC.

圖1～圖3分別為空載、半載、滿載時鏈?zhǔn)交剞D(zhuǎn)彈倉的位置跟蹤誤差，可見常規(guī)ARC 和ARC-ISS 均可以獲得滿意的控制性能;與常規(guī)ARC 相比，ARCISS 不僅減小了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，并且明顯地改善了系統(tǒng)的動態(tài)性能，具有更快的收斂速度以及更好的控制性能。此外還可以看出，系統(tǒng)參數(shù)變化對ARC-ISS 的影響較小，在空載、半載、滿載3 種情況下的位置誤差均小于常規(guī)ARC.

圖1 空載時彈倉位置跟蹤誤差Fig.1 Position tracking errors of shell magazine for empty-loading

圖2 半載時彈倉位置跟蹤誤差Fig.2 Position tracking errors of shell magazine for half-loading

圖3 滿載時彈倉位置跟蹤誤差Fig.3 Position tracking errors of shell magazine for full-loading

圖4～圖7分別為系統(tǒng)未知參數(shù)θ1、θ2、θ3、θ4的估計值，可以看出，在空載、半載、滿載3 種情況下參數(shù)估計值均能保持在有界閉集Ωθ之內(nèi)，保證了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

圖4 θ1的估計值Fig.4 Estimated values of θ1

圖5 θ2的估計值Fig.5 Estimated values of θ2

圖6 θ3的估計值Fig.6 Estimated values of θ3

由仿真結(jié)果可知，與常規(guī)ARC 相比，ARC-ISS采用非線性魯棒反饋增益，當(dāng)誤差較大時，通過引入附加的魯棒反饋項-α|p|p 使誤差快速減小，而當(dāng)誤差趨近于0 時，ARC-ISS 退化為常規(guī)ARC，有效避免了高增益可能引起的振蕩，ARC-ISS 具有更好的控制性能。在常規(guī)ARC 中，需要采用較大的自適應(yīng)速度以便有效地補償模型不確定性，但自適應(yīng)速度過大時，容易引起參數(shù)估計不收斂，而ARC-ISS 采用非線性反饋增益，有效地克服了這一缺點，即使采用較小的自適應(yīng)速度也能夠獲得滿意的控制效果。

圖7 θ4的估計值Fig.7 Estimated values of θ4

5 結(jié)論

在自行火炮彈藥自動裝填系統(tǒng)中，隨著彈丸數(shù)量的變化，鏈?zhǔn)交剞D(zhuǎn)彈倉的轉(zhuǎn)動慣量、摩擦力矩等將會發(fā)生較大的變化;在彈倉高速轉(zhuǎn)動過程中，齒輪與鏈輪嚙合沖擊以及鏈傳動的多邊形效應(yīng)會產(chǎn)生附加擾動力矩;為了解決上述問題，本文提出了一種具有積分型滑模面的自適應(yīng)魯棒控制算法，采用積分型滑模面減小了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)位置誤差;使用非線性增益魯棒反饋技術(shù)，改善了系統(tǒng)的控制性能，大大提高了系統(tǒng)的響應(yīng)速度。由于非線性魯棒反饋增益的作用，即使采用較小的參數(shù)估計速度，也能有效地抑制模型不確定性的影響，明顯地減小了系統(tǒng)動態(tài)跟蹤誤差。針對空載、半載和滿載3 種典型情況進行了仿真實驗，結(jié)果表明ARC-ISS 比常規(guī)ARC 具有更好的控制精度以及更快的響應(yīng)速度。

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