交換半環(huán)上上三角矩陣半環(huán)的自同構(gòu)

黃惠玲

（福建船政交通職業(yè)學(xué)院公共教學(xué)部，福建福州350007）

交換半環(huán)上上三角矩陣半環(huán)的自同構(gòu)

黃惠玲

（福建船政交通職業(yè)學(xué)院公共教學(xué)部，福建福州350007）

設(shè)R為任意含單位元的半環(huán)，Tn（R）為半環(huán)R上的上三角矩陣半環(huán)。利用矩陣的一些性質(zhì)，得出了半環(huán)Tn（R）上的任一半環(huán)自同構(gòu)Φ的一些結(jié)論，即（1）當(dāng)n＝1時(shí)，Φ為半環(huán)Tn（R）的一個(gè)半環(huán)自同構(gòu)。（2）當(dāng)n≥2時(shí)，存在半環(huán)Tn（R）的內(nèi)自同構(gòu)φz，半環(huán)自同構(gòu)μg使Φ＝φzμg。

半環(huán)；矩陣半環(huán)；自同構(gòu)

1 引言和預(yù)備知識(shí)

設(shè)R是含有恒等元1的半環(huán)。Tn（R）是R上的n階上三角矩陣構(gòu)成的矩陣半環(huán)。當(dāng)R是一個(gè)交換環(huán)時(shí)，謝樂(lè)平，曹佑安研究了上三角矩陣環(huán)的自同構(gòu)［1］。本文在上述基礎(chǔ)上進(jìn)一步討論交換半環(huán)中的情況，所得結(jié)果推廣了文［1］的結(jié)論。

關(guān)于半環(huán)、半環(huán)上的自同構(gòu)，半環(huán)R上的反元等基本概念可參見(jiàn)文獻(xiàn)［2］、［3］或［4］。

定義1設(shè)R是半環(huán)，R上所有n階方陣組成的集合關(guān)于矩陣的加法和乘法構(gòu)成一個(gè)半環(huán)，稱為半環(huán)R上的矩陣半環(huán)。記為Mn（R）。

設(shè)R*是R的單位組成的群。Tn（R）表示半環(huán)R上所有上三角矩陣組成之集，則不難驗(yàn)證Tn（R）為Mn（R）的的子半環(huán)，稱為半環(huán)R上的上三角矩陣半環(huán)。

設(shè)Epq表示第p行第q列交叉處的元素為1，而其余元素全為0的n階方陣。E是n階單位矩陣。為了方便起見(jiàn)，我們約定在一個(gè)矩陣的表達(dá)式∑aij中，下標(biāo)i可以小于1，j可以大于n，并且如果i＜1或j＞n，那么系數(shù)aij規(guī)定為0。

AutTn（R）表示半環(huán)Tn（R）的自同構(gòu)群。設(shè)Mr，且r≥n時(shí)，Mr＝0。設(shè)Φ是半環(huán)Tn（R）的任一自同構(gòu)，并且設(shè)

定義2 設(shè)X為Tn（R）中任意的可逆矩陣。半環(huán)Tn（R）的自同構(gòu)φX：YXYX－1稱為內(nèi)自同構(gòu)。

定義3設(shè)g是半環(huán)R的一個(gè)自同構(gòu)。映射μg：Tn（R）→Tn（R），j是 半環(huán)Tn（R）的一個(gè)自同構(gòu)，稱為半環(huán)自同構(gòu)。

本文中若無(wú)特別聲明，半環(huán)R均指含有恒等元1的交換半環(huán)。

2 主要結(jié)果

引理1對(duì)任意1≤r≤n－1，有Φ（Mr）＝Mr。

證明先證Φ（Mr）?Mr。

因?yàn)?a∈R，當(dāng)m－l≥r時(shí)，我們有

則Φ（aElm）的第（i，j）—位置（這里j－i＜r）的元素是

這里整數(shù)S1，S2，…Sm－l＋1位于［i，j］之中。因?yàn)閖－i＜r，所以［i，j］中只含有r個(gè)不同的整數(shù)。又因?yàn)閙－l≥r，則m－l＋1≥r＋1，因此必存在t（1≤t≤m－l）使得St＝St＋1。

因此我們有C（k）StSt＋1（d）＝C（k）StSt（d）＝0，這里當(dāng)t＝1時(shí)，d＝a；當(dāng)t＞1時(shí)，d＝1。

因此Φ（Mr）?Mr，又因?yàn)棣凳强赡娴?，所以Φ（Mr）＝Mr。證畢。

引理2設(shè)Φ是半環(huán)Tn（R）的任一自同構(gòu)，且

則當(dāng)n≥2時(shí)，有

證明由引理1，我們有Φ（Mn－1）＝Mn－1，因此存在a∈R使得Φ（aE1n）＝E1n。

因?yàn)镋12·E23…Ek－1，k·Ek，k＋1…En－2，n－1· aEn－1，n＝aE1n，兩邊用Φ作用可得

同理，因?yàn)閍E12E23…Ek－1，kEk，kEk，k＋1…En－2，n－1En－1，n＝aE1n，兩邊用Φ作用可得∈R*，因此結(jié)論（2）成立。

引理3設(shè)Φ是半環(huán)Tn（R）任一自同構(gòu)，且Φ（Ekk）＝Eij（k＝1，2，…，n），那么

（1）當(dāng)i＞k或j＜k時(shí)，b（k）ij＝0，即

證明（1）設(shè)q＝j(luò)－i，則因?yàn)閕＞k或j＜k，當(dāng)q＝0，即i＝j(luò)時(shí)，由引理2的（1）可得＝0，結(jié)論成立。

（2）因?yàn)镋kkEk＋1，k＋1＝0，用Φ作用于等式兩邊，比較所得結(jié)果兩邊的（k，k＋1）－位置元素，可得由引理2的（1）可得，所以，即結(jié)論（2）成立。

引理4設(shè)為矩陣Φ（Ekk）的元素。設(shè)

證明設(shè)Y＝

顯然XY對(duì)角線上的元素皆為1，而（i，j）－位置元素（i＜j）為

我們只要證（2.5）式為0即可。

當(dāng)j＝i＋1時(shí)，因?yàn)閐ij＋＝0，（2.5）式即為dij＋＝0。

當(dāng)j＞i＋1時(shí)，不妨設(shè)i＜m＜j，下面證明

因?yàn)镋iiEmm＝0，用Φ作用于等式兩邊，比較所得結(jié)果兩邊的（i，j）－位置元素有

由（2.6）式可知

把上面等式的左邊都加到（2.5）式，并由dij＋可得

引理5設(shè)X為引理4中的矩陣，φX為半環(huán)Tn（R）的內(nèi)自同構(gòu)，那么Φ（Ekk）＝Ekk，k＝1，…，n。

證明首先證明

觀察XΦ（Ekk）的（i，j）－位置元素hij，1≤i≤j≤n，通過(guò)計(jì)算可得hij＝0，i＞k或j＜k。

對(duì)于i＜k且j≥k的情形，因?yàn)閄（Φ（Ekk））2＝XΦ（Ekk），因此hij就是該等式左邊的（i，j）－位置元素，即為

又因?yàn)镋iiEkk＝0，用Φ作用等式兩邊，比較所得結(jié)果兩邊的（i，j）－位置元素，可得

下面證明XΦ（Ekk）X－1＝Ekk。

顯然XΦ（Ekk）X－1的（i，j）－位置元素（i≠k）是0，且（k，k）－位置元素是1，利用引理4XΦ（Ekk）X－1的（k，j）－位置元素，由引理4證明中的（2.6）式可得上式值為0，因此結(jié)論成立。

定理設(shè)R是一個(gè)任意含單位元的交換半環(huán)，Tn（R）表示R上n階上三角矩陣半環(huán)，Φ是半環(huán)Tn（R）的任一個(gè)自同構(gòu)，那么

（1）當(dāng)n＝1時(shí)，Φ為半環(huán)Tn（R）的一個(gè)半環(huán)自同構(gòu)。

（2）當(dāng)n≥2時(shí)，存在半環(huán)Tn（R）的內(nèi)自同構(gòu)φz，半環(huán)自同構(gòu)μg使Φ＝φzμg。

證明（1）當(dāng)n＝1時(shí)，結(jié)果顯然。

（2）由引理5可得

用τ分別作用于等式Ekk·aEkk＝aEkk和等式aEkk·Ekk＝aEkk兩邊，可得

同理，因?yàn)镋kk·aEk，k＋1＝aEk，k＋1，aEk，k＋1· Ek＋1，k＋1＝aEk，k＋1，所以用τ分別作用于上面兩等式的兩邊可得

由（2.10）（2.11）可得（1.12）（1.13）兩式中（1）＝1（1）＝1。

設(shè)gk（a）＝（a），k＝1，…，n。因?yàn)閍Eii· Ei，i＋1＝Ei，i＋1·aEi＋1，i＋1，用τ作用等式兩邊得

不妨設(shè)g（a）＝g1（a）＝…＝gn（a），?a∈R。

因?yàn)镋kk·aEk，k＋1＝aEkkEk，k＋1，用τ作用于等式兩邊得（a）＝g（a），?a∈R，k＝1，…，n－1。因此（2.12）（2.13）兩式為顯然g：R→R是一個(gè)雙射。用τ作用等式（a＋b）Ekk＝aEkk＋bEkk兩邊得

再用τ作用于等式（ab）Ekk＝aEkk·bEkk兩邊得

因此g是半環(huán)R的一個(gè)自同構(gòu)，從而給出Tn（R）的一個(gè)半環(huán)自同構(gòu)μg，顯然Φ平凡地作用在下列矩陣上：

而這些矩陣構(gòu)成半環(huán)Tn（R）的一組生成元。因此是Tn（R）的恒等自同構(gòu)，即Φ＝φzμg。證畢。

［1］謝樂(lè)平，曹佑安.交換環(huán)上上三角矩陣環(huán)的自同構(gòu)［J］.湘潭大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報(bào)，2002，24（4）：1－5.

［2］Jacobson N.Basic Algebra I［M］.New York：W.H.Freeman and Company，1985.

［3］Golan J S.Semirings and their Applications［M］.London：Kluwer Academic Publisher，1999.

［4］陳陪慈.半環(huán)理論與語(yǔ)言和自動(dòng)機(jī)［M］.江西：江西高校出版社，1993.

［責(zé)任編輯 畢 偉］

Automorphism s of the Upper Triangular M atrx Sem iring over Commutative Sem irings

HUANG Hui-ling
（Basic Department，F(xiàn)ujian Chuanzheng Communications College，F(xiàn)uzhou 350007，China）

Let R be a commutative semiring with identily.In this paper，we give some characterizations of the automorphisms of the upper triangularmatrix semiring Tn（R）over commutative semirings.

semiring；matrice semiring；automorphism

O152.3

A

1004－602X（2014）03－0017－04

10.13876/J.cnki.ydnse.2014.03.017

2014-04-14

福建省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（2008J0186）

黃惠玲（1976—），女，福建平和人，福建船政交通職業(yè)學(xué)院講師。