斐波那契數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)分解式中因子19的指數(shù)

嚴(yán)婉琳

（華南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，廣東 廣州 510631）

斐波那契數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)分解式中因子19的指數(shù)

嚴(yán)婉琳

（華南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，廣東 廣州 510631）

研究和探討斐波那契數(shù)Fn標(biāo)準(zhǔn)分解式中因子19的指數(shù)與其下標(biāo)n之間的內(nèi)在聯(lián)系，同時(shí)證明，斐波那契數(shù)Fn下標(biāo)n的分解式中因數(shù)18的指數(shù)與19的指數(shù)，將一起決定Fn標(biāo)準(zhǔn)分解式中因子19的指數(shù)。

斐波那契數(shù)；標(biāo)準(zhǔn)分解式；因子；指數(shù)；同余

1 引言

斐波那契數(shù)列，又稱為黃金分割數(shù)列，在現(xiàn)代物理等領(lǐng)域，斐波那契數(shù)列有著廣泛的實(shí)際應(yīng)用。多年來，學(xué)者們都對(duì)斐波那契數(shù)投以關(guān)注的目光。

定義1.1[2-3]斐波那契數(shù)列是指遞推關(guān)系Fn=Fn－1+Fn－2（n≥2）所確定的數(shù)列{Fn}n≥2，這里的初始條件是F0=0，F(xiàn)1=1，并且Fn稱為斐波那契數(shù)。

在查找關(guān)于斐波那契數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)分解式中因子的指數(shù)相關(guān)文獻(xiàn)的過程中，文獻(xiàn)[4-10]已經(jīng)研究了關(guān)于斐波那契數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)分解式中因子2，3，5，7，11，13，17的指數(shù)，文獻(xiàn)[11，12]則證明了斐波那契數(shù)的整除特征和整除性。此外，文獻(xiàn)[13]不僅提出了一個(gè)關(guān)于一般奇素因子p在Fd（p）標(biāo)準(zhǔn)分解式中的指數(shù)的猜測(cè)，還研究了對(duì)一般奇素因子p與d（p）=min{w：p/Fw}的整除關(guān)系。本文則是在研究上述相關(guān)文獻(xiàn)之后，得出了斐波那契數(shù)Fn下標(biāo)n的分解式中因數(shù)18的指數(shù)與19的指數(shù)將決定Fn標(biāo)準(zhǔn)分解式中因子19的指數(shù)的結(jié)論。

引理1.1 如果m|n，則有Fm|Fn，這里假設(shè)m，n為正整數(shù)，記號(hào)“a|b”表示a整除b

引理1.2 假設(shè)m，n為正整數(shù)，則有Fm+n=FmnFn-1+ Fm+1Fn.

引理1.3 19|Fn?18|n，這里假設(shè)n為正整數(shù)。

根據(jù)斐波那契數(shù)的定義及相關(guān)數(shù)論知識(shí)，逐一計(jì)算Fn（0≤n≤17）關(guān)于模19的最小非負(fù)剩余，可得到以下結(jié)果：F0≡0（mod19），F(xiàn)1≡1（mod19），F(xiàn)2≡F1+F0≡1（mod19），F(xiàn)3≡F1+F2≡2（mod19），…若 設(shè) Fn≡m（mod19），則可得表1。

表1 關(guān)于模19的最小非負(fù)剩余

因此可以得知，在斐波那契數(shù)列之中，F(xiàn)n關(guān)于模19的最小非負(fù)剩余的周期是18，并且Fn≡0（mod19）當(dāng)且僅當(dāng)n≡0（mod18），即19|Fn?18|n

引理1.4 設(shè)m為正整數(shù)，F(xiàn)18m+1≡F18m－1（mod19）

證明 由引理1.3及斐波那契數(shù)的定義知道，F(xiàn)18m≡F18m+1－F18m－1≡0（mod19），故引理1.4成立。

引理1.5 設(shè)m為非負(fù)整數(shù)，i是通過模18的最小非負(fù)剩余系，則F18m+i≡Fi（mod19）

證明 當(dāng)i=0時(shí)，由18|18m及0|18可知F18m≡F0（mod19），所以結(jié)論成立；當(dāng)i≠0時(shí)，由引理1.2及引理1.3可知，F(xiàn)18m+i=F18mFi－1+F18m+1Fi≡F18m+1Fi≡Fi（mod19）.

引理1.6 設(shè)m，p為正整數(shù)，則

假設(shè)a，b是整數(shù)，t是非負(fù)整數(shù)，那么記號(hào)at||b，即at|b的含義是b恰好可以被a的t次方整除，但b不可以被at+1整除。

2 相關(guān)證明

定理2.1 假設(shè)p和k都是正整數(shù)，則有F18kp與F18k+1p標(biāo)準(zhǔn)分解式中因子19具有相同的指數(shù)。

證明 由引理1.3可以得到19|F18kp，假設(shè)n=18kp，s（s≥1）且p是一個(gè)正整數(shù)。因?yàn)樵贔18kp標(biāo)準(zhǔn)分解式中，因子19的指數(shù)必定是大于0.要證得定理，可以利用數(shù)學(xué)歸納的方法。

（i）當(dāng)k=1時(shí)，若s是F18kp的標(biāo)準(zhǔn)分解式中因子19的指數(shù)，即19s||F18p，下證19s||F182p.

由于18p|182p，由引理1.1知F18p|F182p，從而有F182p≡0（mod19s

）另一方面，令m=18p，則由引理1.6可知，F(xiàn)18×18p≡，進(jìn)而由及2s≥s+1可得

再由引理1.4知，F(xiàn)18m+1≡F18m－1（mod19），從而，并且19不能整除，故19s+1不能整除F182p，所以，即當(dāng)k=1時(shí)，F(xiàn)18kp與F18k+1p標(biāo)準(zhǔn)分解式中因子19具有相同的指數(shù)。

（ii）假設(shè)k≥1時(shí)，F(xiàn)18kp與F18k+1p標(biāo)準(zhǔn)分解式中因子19具有相同的指數(shù)s（s≥1）。

此后需要證明在k+1的情形下，結(jié)論也是成立的，即證明F18k+1p與F18k+2p的標(biāo)準(zhǔn)分解式因子19的指數(shù)也為s.

因?yàn)?8k+1p|18k+2p，由引理1.1得到F18k+1p|F18k+2p從而有F18k+2p≡0（mod19s）另一方面，令m=18k+1p，則由引理1.6知

再由引理1.4知F18k+1p+1≡F18k+1p－1（mod19），從而

定理2.2 假設(shè)p為一個(gè)不含18和19的正整數(shù)，則1是F18p的標(biāo)準(zhǔn)分解式中因子19的指數(shù)。

證明 已知18|18p，由引理1.1有F18|F18p，從而有F18p≡0（mod19），下證F18p不能被192整除。不妨設(shè)p= 19m+r，1≤r≤18，則

借助計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)可得到192||F18×19，從而F18p≡F18×19m+1F18r（mod192）

又192不能整除F18r（1≤r≤18），且19不能整除F18×19m+1，從而192不能整除F18×19m+1F18r，即192不可以整除F18p，因此得到19||F18p，所以1是F18p的標(biāo)準(zhǔn)分解式中因子19的指數(shù)。

下面定理2.3的證明，可以使用上述方法。

定理2.3 假設(shè)p為一個(gè)不含18和19的正整數(shù)，則2為F18×19p的標(biāo)準(zhǔn)分解式中因子19的指數(shù)。

定理2.4 假設(shè)n=18×19sp，同時(shí)假設(shè)s是任意一個(gè)非負(fù)的整數(shù)并且p是不含18和19的一個(gè)正整數(shù)，則s+1是F18×19sp標(biāo)準(zhǔn)分解式中因子19的指數(shù)。

證明 為了證明對(duì)于因子19的指數(shù)在n的分解式中應(yīng)用，可以利用數(shù)學(xué)歸納方法來證明。

（i）s=0時(shí)，n=18p，從定理2.2知，s+1=1是F18p標(biāo)準(zhǔn)分解式中因子19的指數(shù)，所以s=0時(shí)，結(jié)論顯然成立。

（ii）s=1時(shí)，n=18×19p，從定理2.2可以得知，s+1=2是F18×19p標(biāo)準(zhǔn)分解式中因子19的指數(shù)，因此s=1時(shí)，結(jié)論也顯然成立。

（iii）首先作出假設(shè)，即這個(gè)命題對(duì)于s≥1都顯然成立，即F18×19sp的標(biāo)準(zhǔn)分解式中因子19的指數(shù)為s+1，下證F18×19s+1p的標(biāo)準(zhǔn)分解式中因子19的指數(shù)為s+2，即

令m=18×19sp，由引理1.2有

由（1）～（5）式可得

當(dāng)s≥1時(shí)，有2（s+1）≥s+3，則由引理1.4及18|m知，F(xiàn)m+1≡Fm－1（mod19）且其最小非負(fù)剩余不是0，代入式（6）得

從而由19s+1得到即

下證19s+3不能整除

首先由式（7）有

要證19s+3不能整除，由，只需證192不能整除.由引理1.4及表1不妨設(shè)Fm+1=19q1+r，F(xiàn)m－1=19q2+r，這里r=1，q1，q2為非負(fù)整數(shù)，從而

因?yàn)?9s+1||Fm=Fm+1-Fm－1=19（q1-q2），所以19s||（q1-q2）.又r+143q1+199q2≡r+10（q1-q2）（mod19）知，19不能整除r+143q1+199q2.且（r，19）=1，則（r17，19）=1，由式（9）知192不能整除

再由式（8）知，19s+3不能整除，故，即在標(biāo)準(zhǔn)分解式中因子19的指數(shù)是s+2=（s+1）+1.

因此定理2.4顯然成立。

結(jié)合上面已經(jīng)得到的定理及其證明，我們可以得到如下結(jié)論，即定理2.5.

定理2.5 假設(shè)n為一個(gè)正整數(shù)，n=18k×19s×p，k，s都是非負(fù)整數(shù)，而p是一個(gè)不含因數(shù)18和19的正整數(shù)，則有

1）當(dāng)k=0的時(shí)候，F(xiàn)n標(biāo)準(zhǔn)分解式中因子19的指數(shù)是0；

2）當(dāng)k≥1的時(shí)候，F(xiàn)n標(biāo)準(zhǔn)分解式中因子19的指數(shù)是s+1.

證明 1）k=0的時(shí)候，由于n不可以被18整除，根據(jù)引理1.3可得知，0是Fn標(biāo)準(zhǔn)分解式中因子19的指數(shù)，因?yàn)?9不可以整除Fn.

2）k≥1時(shí)，由定理2.1知，F(xiàn)18kp標(biāo)準(zhǔn)分解式中因子19的指數(shù)與F18k+1p準(zhǔn)分解式中因子19的指數(shù)是相同的，所以只需要考慮k=1的情形。

根據(jù)定理2.4可以得知，s+1是F18×19sp標(biāo)準(zhǔn)分解式中因子19的指數(shù)。最終，定理2.5得證。

[1]曹汝成.組合數(shù)學(xué)[M].廣州：華南理工大學(xué)出版社，2006：91-98.

[2]潘承洞，潘承彪.初等數(shù)論[M].2版.北京：北京大學(xué)出版社，2003.

[3]吳振奎.斐波那契數(shù)列[M].沈陽：遼寧教育出版社，1987：43-152.

[4]袁明豪.正Fibonacci數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)分解式中因子2的指數(shù)[J].數(shù)學(xué)通訊，2003，（15）：26-27.

[5]袁明豪.正Fibonacci數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)分解式中因子3的指數(shù)[J].荊州師范學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2003，26（2）：12-13.

[6]袁明豪.正Fibonacci數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)分解式中因子5的指數(shù)[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2007，37（7）：166-170.

[7]王念良，張潔.Fibonacci數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)分解式中因子7的指數(shù)[J].商洛學(xué)院學(xué)報(bào)，2007，21（4）：4-7.

[8]林麗榮，尤利華.Fibonacci數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)分解式中素因數(shù)11的指數(shù)[J].甘肅聯(lián)合大學(xué)學(xué)報(bào)，2008，22（6）：4-10.

[9]黃榮輝，尤利華.Fibonacci數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)分解式中素因數(shù)13的指數(shù)[J].江西師范大學(xué)學(xué)報(bào)，2012，36（3）：234-237.

[10]林偉芬，尤利華.Fibonacci數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)分解式中素因數(shù)17的指數(shù)[J].淮陰師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2013，12（3）：213-217.

[11]袁明豪.Fibonacci數(shù)的一組整除特征[J].數(shù)學(xué)通訊，2004，（15）：29-31.

[12]吳佃華，賈小英.Fibonacci數(shù)的整除性[J].廣西師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2007，24（3）：28-29，60.

[13]尤利華，黃榮輝.Fibonacci數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)分解式中諸奇素因數(shù)的指數(shù)[J].廣西師范大學(xué)學(xué)報(bào)，2011，29（3），18-22.

G642.0，O156

A

1674-9324（2014）42-0225-04