數(shù)學概念的教學也應從問題開始

尤善培

思維起始于問題，數(shù)學教學是數(shù)學思維活動的教學，而思維活動又集中表現(xiàn)為提出問題和解決問題的活動。美國數(shù)學家哈爾莫斯說：“問題是數(shù)學的心臟?！币虼?，沒有問題就沒有思維，沒有好的問題，就沒有優(yōu)質的思維。因而數(shù)學教學就要從問題開始，以問題的提出為載體，以問題的解決為中心，以問題的評價為引領，引發(fā)和調控學生的思維活動，激發(fā)深度思維，來揭示知識的發(fā)生過程和方法的形成過程。在這樣的思維活動中，體驗數(shù)學，增長知識，走進數(shù)學之幽境。

1.數(shù)學概念教學也應從問題開始。

數(shù)學教學應該從問題開始，問題是思維的啟發(fā)器。如果沒有問題，就至少沒有專注的深入的思維。數(shù)學概念本身就是數(shù)學思維活動的產(chǎn)物，是思維活動的結果，因此，數(shù)學概念的教學也應從問題開始。

著名數(shù)學特級教師張乃達先生提出了改進數(shù)學概念教學的模式。這個模式也被稱為概念的問題教學模式，用框圖示意如下：

其要點是：在采用概念的同化或概念的形成的學習模式之前，增加以下環(huán)節(jié)。

（1）通過解決初始問題的思維活動或審美活動，讓學生產(chǎn)生建立新概念的意識（念頭）。

（2）在給概念下定義之前，首先讓學生建立起與新概念相關的框架或觀念（即從整體上把握概念）。

（3）初始問題是能導致數(shù)學新概念產(chǎn)生的問題，可分為應用性和結構性兩類。其中應用性初始問題具有較好的情境性，而結構性初始問題則具有更好的結構性，更有利于意義建構的展開，前者引發(fā)的是解決問題的求真活動，后者引發(fā)的是數(shù)學的審美活動。

2.問題模式下的對數(shù)概念教學。

（1）教材簡析

①對數(shù)是一種數(shù)，是怎樣產(chǎn)生的？是什么因素促使我們建立對數(shù)概念的？對數(shù)又是一種運算，能解決什么問題？其解決問題的魅力又體現(xiàn)在哪里？logaN的來龍去脈體現(xiàn)了什么樣的數(shù)學思想？

②蘇格蘭數(shù)學家納皮爾首先發(fā)明了“對數(shù)”。恩格斯給予了很高的評價，他把“笛卡爾的坐標、納皮爾的對數(shù)、牛頓和萊布尼茲創(chuàng)立的微積分”共同稱為“十七世紀數(shù)學的三大發(fā)明”。

③對數(shù)函數(shù)是重要的初等函數(shù)。對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)（底數(shù)大于1）、冪函數(shù)（指數(shù)為正整數(shù)）都是增函數(shù)，其中對數(shù)函數(shù)增長得最慢。

④對數(shù)的基本知識。

對數(shù)是一個數(shù)，ab=N？圳b=logaN，這是問題產(chǎn)生的原點，是同一個問題的兩種不同表達方式。注意特殊的對數(shù)lgN和lnN（其中，lim=e）的重要價值。

對數(shù)是一種運算，理解a=N的實質。

對數(shù)運算的實質是簡化計算，正如法國數(shù)學家拉普拉斯所說：“由于對數(shù)的發(fā)現(xiàn)，天文學家的壽命延長了許多倍。”

（2）教學過程

創(chuàng)設情境，導入新課。

某種放射性物質不斷變化為其它物質，每經(jīng)過一年，這種物質剩留的質量是原來的84%（設該物質的最初質量為1）。

【問題1】你能就此情境提出數(shù)學問題嗎？

學生嘗試著回答：

①5年后，該種物質的剩留量是多少？（y=0.845）

②經(jīng)過多少年這種物質的剩留量是原來的一半？

師：概括起來講，大家可以提出如下的三類問題。

設ab=N，①已知a和b，求N；②已知b和N，求a；③已知a和N，求b。

【評價】“問題1”是一個課題性問題，即提出了一個研究課題，為學生思維活動提供了動力，同時為學生的思維活動留有較大的空間，也具有較大的難度，往往學生不能全面回答，其實我們也不一定指望學生全面回答。但三類問題中，由于只有問題③是新的問題，是從審美的愿望出發(fā)，促使學生產(chǎn)生一舉攻克的強烈愿望。學生從審美和完善知識結構的角度初步產(chǎn)生引入新概念（對數(shù)）的意識。

類比歸納，形成概念。

【問題2】如果2b=3，b唯一存在嗎？

生：這樣的b是唯一存在的。

師：請說明理由。

生：考察函數(shù)y=2x的值域（0，+∞），因為21=2<3，22=4>3，有理由作出猜想：這樣的b是唯一存在的，應該介于1和2之間?，F(xiàn)在看看是否可以，事實上2=<3，表明

【評價】這樣“猜測——驗證——逼近”的思維方法非常重要。

當然，更多的學生是從圖象上發(fā)現(xiàn)b是唯一存在的。作出函數(shù)y=2x的圖象，觀察y=3與y=2x圖象的交點情況，不難發(fā)現(xiàn)b不僅是存在的，而且是唯一的。

教師繼續(xù)追問，要求學生說明理由，學生則表現(xiàn)出“欲言又止”“說也說不清楚”。

這時，引入新的概念（對數(shù)）已經(jīng)是水到渠成了。怎樣引進呢？

【問題3】如果a2=2，你會求正數(shù)a嗎？

沒有學習過根式時，不知道a是什么值，引進根式后，我們就知道這個正數(shù)就是，而且是唯一存在的，還有明顯的幾何意義（邊長為1的正方形對角線的長）。引進根式后，正數(shù)a就可以用符號表示了。

【評價】“問題3”是一個具體的導向性問題，學生經(jīng)歷過用符號語言表示新的數(shù)學對象的過程，通過這樣的類比，會產(chǎn)生柳暗花明的效果。其實，研究的關鍵時刻引進一個符號，是數(shù)學家們常用的方法。

這時，對數(shù)概念已呼之欲出了。怎樣定義對數(shù)呢？

【問題4】如果ab=N，那么怎樣表示呢？

一般地，如果a（a>0，a≠1）的b次冪等于N，即ab=N，則稱b是以a為底N的對數(shù)，記為logaN= b。

顯然，ab=N？圳b=logaN。

【評價】“問題4”是一個產(chǎn)生對數(shù)概念的問題，教師進一步指出對數(shù)式和指數(shù)式的相互關系。

適度模仿，感知概念。

2b=2？圯b=log22=1；

2b=3？圯b=log23；

2b=4？圯b=log24=2；

0.84b=？圯b=log0.84；

……

我們可以欣賞下面的圖示，立刻就會發(fā)現(xiàn)很和諧，結構很完美，從而發(fā)出新的概念（對數(shù)）“得來全不費功夫”的感嘆。

學生舉例，理解概念。

loga1=0；logaa=1；logaab=b；a=N。

進一步理解指數(shù)式和對數(shù)式的互相轉化，充分歸納，適度演繹，為對數(shù)求值提供了新的方法。

互化演練，感悟概念。

【問題5】將下列指數(shù)式改寫成對數(shù)式：

①42=16；②4=2；③10=0.01；④8.8=1；⑤=5.13。

【問題6】將下列對數(shù)式化成指數(shù)式：

①log33=1；②log27=-3；③log5=-3；

④log3=-2；⑤log10a=-1.699；

⑥loge3=b，e=2.71828…。

師：介紹特殊的對數(shù)，常用對數(shù)：log10a=lga；自然對數(shù)：logea=lna。

【評價】“問題5”和“問題6”的“互化演練”可以加深對對數(shù)概念的理解，兩個特殊對數(shù)的介紹，讓學生感到“事出有因”和“名正言順”。

（3）教學簡評

這樣的教學，學生經(jīng)歷了提出問題的“惑”境到解決問題的“悟”境，實際上也就是建構概念和理解概念的過程，經(jīng)歷了扣人心弦的數(shù)學思維活動過程，感受到數(shù)學思想方法的熏陶，其內心深處受到了數(shù)學思想的浸潤和數(shù)學文化的哺育。

這樣的教學中，學生感受到對數(shù)產(chǎn)生的必要和合理，由特殊到一般，通過類比、符號化思想，領會了對數(shù)的實質，加強了對新概念的理解。

3.問題評價應促進深度思維。

德國教育家第斯多惠說：“教學的藝術不在于傳授本領，而在于激勵、喚醒和鼓舞?！痹诮虒W的過程中，依據(jù)問題的思維度和問題的功能作出適時的評價，通過調整、控制學生的后繼思維行為，取得較為理想的效果，更是一種激勵學生深度思維、促進問題解決的重要手段。

解決問題的活動是一項目標明確、受解題主體控制的有目的的活動。因此，在這個過程中，必須有意識地對問題進行評價，促進深度思維，對思維活動進行調節(jié)和控制，即監(jiān)控。

（1）定向。即確定思考的方向，在具體解決問題的思維活動中，就是要選擇一個“好”的思路，提出一個總的解決方案。

（2）控制。即對思維過程的監(jiān)控與控制，它表現(xiàn)為對思維過程（思路、方案）的價值進行評估，并對關鍵部位進行確定和控制。

（3）調節(jié)。即對思維過程的價值所作出的反應，表現(xiàn)為思路的堅持、調整、修正或放棄。

上述三個環(huán)節(jié)，貫穿于整個解決問題的思維過程之中。實際上不僅在思維的開始，而且在整個過程的每一個分叉點上都要定向，并隨之進行控制和調節(jié)，只有對問題的思維過程作出有效的監(jiān)控，才能保證思維活動的順利進行。

在本課例中，對數(shù)概念的生成是在問題情境中引發(fā)的。問題情境引導學生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題，感知實際的需要，感受到數(shù)學知識是為解決問題和完善知識結構的需要而生成的。對數(shù)概念的感悟是在觀察中發(fā)現(xiàn)的，而在教學中，對數(shù)概念的建構是在類比中發(fā)現(xiàn)的，概念的深化是在互動中實現(xiàn)的。學生通過深度的思維活動，構建了對數(shù)概念，體現(xiàn)了學習的主體性，而教師則是通過一系列具有內部邏輯聯(lián)系的問題為學生提供了思維活動的方向，起到了很好的控制和調節(jié)作用。這些問題的作用還表現(xiàn)在：承前啟后的情境應用；自然而然的概念生成；貫穿始終的思想滲透。

（作者單位：江蘇省揚州市邗江區(qū)教育局）

2b=3？圯b=log23；

2b=4？圯b=log24=2；

0.84b=？圯b=log0.84；

……

我們可以欣賞下面的圖示，立刻就會發(fā)現(xiàn)很和諧，結構很完美，從而發(fā)出新的概念（對數(shù)）“得來全不費功夫”的感嘆。

學生舉例，理解概念。

loga1=0；logaa=1；logaab=b；a=N。

進一步理解指數(shù)式和對數(shù)式的互相轉化，充分歸納，適度演繹，為對數(shù)求值提供了新的方法。

互化演練，感悟概念。

【問題5】將下列指數(shù)式改寫成對數(shù)式：

①42=16；②4=2；③10=0.01；④8.8=1；⑤=5.13。

【問題6】將下列對數(shù)式化成指數(shù)式：

①log33=1；②log27=-3；③log5=-3；

④log3=-2；⑤log10a=-1.699；

⑥loge3=b，e=2.71828…。

師：介紹特殊的對數(shù)，常用對數(shù)：log10a=lga；自然對數(shù)：logea=lna。

【評價】“問題5”和“問題6”的“互化演練”可以加深對對數(shù)概念的理解，兩個特殊對數(shù)的介紹，讓學生感到“事出有因”和“名正言順”。

（3）教學簡評

這樣的教學，學生經(jīng)歷了提出問題的“惑”境到解決問題的“悟”境，實際上也就是建構概念和理解概念的過程，經(jīng)歷了扣人心弦的數(shù)學思維活動過程，感受到數(shù)學思想方法的熏陶，其內心深處受到了數(shù)學思想的浸潤和數(shù)學文化的哺育。

這樣的教學中，學生感受到對數(shù)產(chǎn)生的必要和合理，由特殊到一般，通過類比、符號化思想，領會了對數(shù)的實質，加強了對新概念的理解。

3.問題評價應促進深度思維。

德國教育家第斯多惠說：“教學的藝術不在于傳授本領，而在于激勵、喚醒和鼓舞。”在教學的過程中，依據(jù)問題的思維度和問題的功能作出適時的評價，通過調整、控制學生的后繼思維行為，取得較為理想的效果，更是一種激勵學生深度思維、促進問題解決的重要手段。

解決問題的活動是一項目標明確、受解題主體控制的有目的的活動。因此，在這個過程中，必須有意識地對問題進行評價，促進深度思維，對思維活動進行調節(jié)和控制，即監(jiān)控。

（1）定向。即確定思考的方向，在具體解決問題的思維活動中，就是要選擇一個“好”的思路，提出一個總的解決方案。

（2）控制。即對思維過程的監(jiān)控與控制，它表現(xiàn)為對思維過程（思路、方案）的價值進行評估，并對關鍵部位進行確定和控制。

（3）調節(jié)。即對思維過程的價值所作出的反應，表現(xiàn)為思路的堅持、調整、修正或放棄。

上述三個環(huán)節(jié)，貫穿于整個解決問題的思維過程之中。實際上不僅在思維的開始，而且在整個過程的每一個分叉點上都要定向，并隨之進行控制和調節(jié)，只有對問題的思維過程作出有效的監(jiān)控，才能保證思維活動的順利進行。

在本課例中，對數(shù)概念的生成是在問題情境中引發(fā)的。問題情境引導學生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題，感知實際的需要，感受到數(shù)學知識是為解決問題和完善知識結構的需要而生成的。對數(shù)概念的感悟是在觀察中發(fā)現(xiàn)的，而在教學中，對數(shù)概念的建構是在類比中發(fā)現(xiàn)的，概念的深化是在互動中實現(xiàn)的。學生通過深度的思維活動，構建了對數(shù)概念，體現(xiàn)了學習的主體性，而教師則是通過一系列具有內部邏輯聯(lián)系的問題為學生提供了思維活動的方向，起到了很好的控制和調節(jié)作用。這些問題的作用還表現(xiàn)在：承前啟后的情境應用；自然而然的概念生成；貫穿始終的思想滲透。

（作者單位：江蘇省揚州市邗江區(qū)教育局）

2b=3？圯b=log23；

2b=4？圯b=log24=2；

0.84b=？圯b=log0.84；

……

我們可以欣賞下面的圖示，立刻就會發(fā)現(xiàn)很和諧，結構很完美，從而發(fā)出新的概念（對數(shù)）“得來全不費功夫”的感嘆。

學生舉例，理解概念。

loga1=0；logaa=1；logaab=b；a=N。

進一步理解指數(shù)式和對數(shù)式的互相轉化，充分歸納，適度演繹，為對數(shù)求值提供了新的方法。

互化演練，感悟概念。

【問題5】將下列指數(shù)式改寫成對數(shù)式：

①42=16；②4=2；③10=0.01；④8.8=1；⑤=5.13。

【問題6】將下列對數(shù)式化成指數(shù)式：

①log33=1；②log27=-3；③log5=-3；

④log3=-2；⑤log10a=-1.699；

⑥loge3=b，e=2.71828…。

師：介紹特殊的對數(shù)，常用對數(shù)：log10a=lga；自然對數(shù)：logea=lna。

【評價】“問題5”和“問題6”的“互化演練”可以加深對對數(shù)概念的理解，兩個特殊對數(shù)的介紹，讓學生感到“事出有因”和“名正言順”。

（3）教學簡評

這樣的教學，學生經(jīng)歷了提出問題的“惑”境到解決問題的“悟”境，實際上也就是建構概念和理解概念的過程，經(jīng)歷了扣人心弦的數(shù)學思維活動過程，感受到數(shù)學思想方法的熏陶，其內心深處受到了數(shù)學思想的浸潤和數(shù)學文化的哺育。

這樣的教學中，學生感受到對數(shù)產(chǎn)生的必要和合理，由特殊到一般，通過類比、符號化思想，領會了對數(shù)的實質，加強了對新概念的理解。

3.問題評價應促進深度思維。

德國教育家第斯多惠說：“教學的藝術不在于傳授本領，而在于激勵、喚醒和鼓舞。”在教學的過程中，依據(jù)問題的思維度和問題的功能作出適時的評價，通過調整、控制學生的后繼思維行為，取得較為理想的效果，更是一種激勵學生深度思維、促進問題解決的重要手段。

解決問題的活動是一項目標明確、受解題主體控制的有目的的活動。因此，在這個過程中，必須有意識地對問題進行評價，促進深度思維，對思維活動進行調節(jié)和控制，即監(jiān)控。

（1）定向。即確定思考的方向，在具體解決問題的思維活動中，就是要選擇一個“好”的思路，提出一個總的解決方案。

（2）控制。即對思維過程的監(jiān)控與控制，它表現(xiàn)為對思維過程（思路、方案）的價值進行評估，并對關鍵部位進行確定和控制。

（3）調節(jié)。即對思維過程的價值所作出的反應，表現(xiàn)為思路的堅持、調整、修正或放棄。

上述三個環(huán)節(jié)，貫穿于整個解決問題的思維過程之中。實際上不僅在思維的開始，而且在整個過程的每一個分叉點上都要定向，并隨之進行控制和調節(jié)，只有對問題的思維過程作出有效的監(jiān)控，才能保證思維活動的順利進行。

在本課例中，對數(shù)概念的生成是在問題情境中引發(fā)的。問題情境引導學生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題，感知實際的需要，感受到數(shù)學知識是為解決問題和完善知識結構的需要而生成的。對數(shù)概念的感悟是在觀察中發(fā)現(xiàn)的，而在教學中，對數(shù)概念的建構是在類比中發(fā)現(xiàn)的，概念的深化是在互動中實現(xiàn)的。學生通過深度的思維活動，構建了對數(shù)概念，體現(xiàn)了學習的主體性，而教師則是通過一系列具有內部邏輯聯(lián)系的問題為學生提供了思維活動的方向，起到了很好的控制和調節(jié)作用。這些問題的作用還表現(xiàn)在：承前啟后的情境應用；自然而然的概念生成；貫穿始終的思想滲透。

（作者單位：江蘇省揚州市邗江區(qū)教育局）