對稱反循環(huán)矩陣求逆的探討

蔣加清

（臺州學(xué)院 教師教育學(xué)院，浙江 臨海 317000）

對稱反循環(huán)矩陣求逆的探討

蔣加清

（臺州學(xué)院 教師教育學(xué)院，浙江 臨海 317000）

根據(jù)對稱反循環(huán)矩陣的性質(zhì)，利用生成多項(xiàng)式和特征多項(xiàng)式,采用行初等變換的方法,給出了求對稱反循環(huán)矩陣的逆的一種方法,有一定的實(shí)用性。

生成矩陣；對稱反循環(huán)矩陣；次對角陣；生成多項(xiàng)式；可逆；初等行變換。

兩類r—循環(huán)矩陣的研究為不少作者所關(guān)注［1-5］，文獻(xiàn)［4］研究了對稱反循環(huán)矩陣的充要條件，但目前很少看到對稱反循環(huán)矩陣求逆問題.受文［3］的啟發(fā)，本文利用多項(xiàng)式矩陣的初等行變換給出了對稱反循環(huán)矩陣的算法，該算法簡便、實(shí)用.

1 定義與性質(zhì)

g（x）關(guān)于矩陣N的生成矩陣B，稱為反循環(huán)矩陣，

多項(xiàng)式為m（x）=xm+1，則m（N）=0，稱m（x）為矩陣N的最小零化多項(xiàng)式.

其中矩陣M1稱為m階基本對稱反循環(huán)矩陣，簡記為.，

規(guī)定Mm=Rm.可以驗(yàn)證.

性質(zhì)1［4］設(shè)矩陣A∈Cm×m，則矩陣A=SC-1（b0，b1，…，bm-1）的充要條件是.

性質(zhì)2［3］設(shè)矩陣B=C-1（b0，b1，…，bm-1）可逆的充要條件是g（x）與m（x）互素.

性質(zhì)3［2］，

且Ni-1=M1Mi或Mi=M1Ni-1（i=1，2，…，n）.

對稱循環(huán)矩陣與對稱反循環(huán)矩陣有以下矩陣關(guān)系.

2 主要結(jié)果

定理1若矩陣A是對稱反循環(huán)矩陣，則矩陣A-1也是對稱反循環(huán)矩陣.

因此對稱反循環(huán)矩陣的逆矩陣是對稱反循環(huán)矩陣.

定理2矩陣A=SC-1（b0，b1，…，bm-1）可逆的充分必要條件是互素.

而M1可逆，所以A可逆的充分必要條件是f（N）可逆.而f（N）的生成多項(xiàng)式是，根據(jù)性質(zhì)2，所以A可逆的充分必要條件是f（x）與m（x）互素.

定理3矩陣A=SC-1（b0，b1，…，bm-1）可逆，則，其中.

證明：因?yàn)锳×M1=f（N），而f（N）的生成多項(xiàng)式是，根據(jù)定理2，所以A可逆的充分必要條件是f（x）與m（x）互素.從而存在多項(xiàng)式u（x）、v（x）∈P［x］，使得f（x）u（x）+m（x）v（x）=1.取x=N，則有f（N）u（N）+m（N）v（N）=Em.又因?yàn)閙（N）=0，所以f（N）u（N）=Em，即，其中.

根據(jù)定理3，求A-1=M1×u（N），只要求u（x），文獻(xiàn)［6］用輾轉(zhuǎn)相除法求u（x），計(jì)算量較大.本文通過多項(xiàng)式矩陣的初等行變換求u（x），方法簡便.

推論1若矩陣A=SC-1（b0，b1，…，bm-1）可逆，其中，作多項(xiàng)式矩陣Q（x）=，對它進(jìn)行一系列初等行變換化為，則SC-1（c0，c1，…，cm-1），其中.

得出對稱反循環(huán)矩陣求逆算法步驟如下：

3 應(yīng)用舉例

因?yàn)閐（x）=1，所以矩陣A可逆.

［1］沈光星.關(guān)于r—循環(huán)系統(tǒng)的計(jì)算復(fù)雜性［J］.數(shù)學(xué)研究與評論，1992，12（4）：595-598.

［2］董建新，周建軍，曹永和.對稱r—循環(huán)矩陣的結(jié)構(gòu)及其特征值［J］，華中師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），1997，31（2）：129-132.

［3］蔣加清.r—循環(huán)矩陣求逆的一種新算法 ［J］.高等數(shù)學(xué)研究，2012，15（1）：62-65.

［4］何承源.對稱反循環(huán)矩陣的充要條件［J］.四川師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），1997，20（4）：15-19.

［5］蔣加清.對稱r—循環(huán)矩陣求逆的初等變換算法 ［J］.吉林師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2013，34（3）：63-65.

［6］蔣加清.用輾轉(zhuǎn)相除法求循環(huán)矩陣的逆矩陣［J］.數(shù)學(xué)理論與研究，2011，31（3）：123-128.

Study on Calculating Inverse Matrices of Symmetric Skew-Cyclic Matrices

JIANG Jia-qing

（School of Teacher Education,Taizhou University,Linhai 317000,China）

It has a practical applicability to adopt a solution to get the anti-Symmetric Skew Cyclic Matrices (SSCM)with the method of lines of elementary transformation,using the generating polynomial and characteristic polynomial by the nature of SSCM.

building a matrix;symmetric skew cyclic matrices；diagonal matrices；generating polynomial；reversibility；elementary row operation.

10.13853/j.cnki.issn.1672-3708.2014.06.002

（責(zé)任編輯：耿繼祥）

2014-06-12；

2014-07-13

蔣加清（1960- ）,男，浙江臨海人，從事高等代數(shù)教學(xué)與研究。