《數(shù)學(xué)》第十章“概率統(tǒng)計(jì)”教材分析及教學(xué)建議

鄭步春

【摘 要】統(tǒng)計(jì)與概率的內(nèi)容在九年義務(wù)教育階段已經(jīng)成為數(shù)學(xué)課程的基本組成部分?！吨械嚷殬I(yè)學(xué)校數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》要求繼續(xù)加強(qiáng)隨機(jī)性數(shù)學(xué)教學(xué)。通過(guò)本章教學(xué)，可使學(xué)生進(jìn)一步確立尊重事實(shí)、用數(shù)據(jù)說(shuō)話的態(tài)度，學(xué)會(huì)用隨機(jī)觀點(diǎn)來(lái)解釋現(xiàn)象，做出估計(jì)和決策，形成正確的世界觀和方法論。在準(zhǔn)確把握教學(xué)要求基礎(chǔ)上，從認(rèn)真剖析概念、注意概念的區(qū)別與聯(lián)系、重視展開(kāi)探究活動(dòng)、關(guān)注與學(xué)生的實(shí)際經(jīng)驗(yàn)相聯(lián)系等方面，做好概率統(tǒng)計(jì)章節(jié)教學(xué)。

【關(guān)鍵詞】計(jì)數(shù)原理 概率 統(tǒng)計(jì)

通過(guò)本章學(xué)習(xí)，重在讓學(xué)生理解確定事件和不確定事件的基本概念，粗略地感知某一事件發(fā)生的可能性，用數(shù)量較為精確地刻畫(huà)具體某一事件發(fā)生的可能性，進(jìn)一步確立尊重事實(shí)、用數(shù)據(jù)說(shuō)話的態(tài)度，學(xué)會(huì)用隨機(jī)觀點(diǎn)來(lái)解釋現(xiàn)象，做出估計(jì)和決策，形成正確的世界觀和方法論。

一、概率統(tǒng)計(jì)章節(jié)教學(xué)目標(biāo)

概率是隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的數(shù)量指標(biāo)，指在獨(dú)立隨機(jī)事件中，某一事件在全部事件中出現(xiàn)的頻率，在更大的范圍內(nèi)比較明顯地穩(wěn)定在某一固定常數(shù)附近。對(duì)于任何事件的概率值一定介于0和1之間。有一類(lèi)隨機(jī)事件，它具有兩個(gè)特點(diǎn)：第一，只有有限個(gè)可能的結(jié)果；第二，各個(gè)結(jié)果發(fā)生的可能性相同。具有這兩個(gè)特點(diǎn)的隨機(jī)現(xiàn)象叫做“古典概型”。在客觀世界，存在大量的隨機(jī)現(xiàn)象，隨機(jī)現(xiàn)象產(chǎn)生的結(jié)果構(gòu)成了隨機(jī)事件。如果用變量來(lái)描述隨機(jī)現(xiàn)象的各個(gè)結(jié)果，就叫做隨機(jī)變量。一切可能的取值能夠按一定次序一一列舉，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量；如果可能的取值充滿了一個(gè)區(qū)間，無(wú)法按次序一一列舉，這種隨機(jī)變量就叫做非離散型隨機(jī)變量。如果隨機(jī)變量是連續(xù)的，那么都有一個(gè)分布曲線。實(shí)踐和理論都證明：有一種特殊而常用的分布，它的分布曲線是有規(guī)律的，這就是正態(tài)分布。正態(tài)分布曲線取決于這個(gè)隨機(jī)變量的一些表征數(shù)，其中最重要的是平均值和差異度。平均值也叫數(shù)學(xué)期望，差異度也就是標(biāo)準(zhǔn)方差。

數(shù)理統(tǒng)計(jì)包括抽樣、適線問(wèn)題、假設(shè)檢驗(yàn)、方差分析、相關(guān)分析等內(nèi)容。

根據(jù)大綱要求，本章教學(xué)目標(biāo)為：

1.掌握分類(lèi)計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理，并能運(yùn)用它們分析和解決一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用問(wèn)題。

2.理解隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性及頻率的穩(wěn)定性，理解概率的定義，能說(shuō)出頻率與概率的區(qū)別，初步學(xué)會(huì)用頻率近似代替概率解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。

3.理解概率的基本性質(zhì)，理解互斥事件和對(duì)立事件的意義，理解互斥事件和對(duì)立事件的概率計(jì)算性質(zhì)及公式。

4.理解等可能事件的意義，理解古典概型與幾何概型的兩個(gè)基本特征及其概率計(jì)算公式，會(huì)用計(jì)數(shù)原理求解古典概型中概率計(jì)算問(wèn)題，會(huì)初步學(xué)會(huì)將某些實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為古典概型或幾何概型解決。

5.理解總體、個(gè)體、樣本、樣本容量等概念的意義，了解隨機(jī)抽樣的必要性和重要性，會(huì)用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法從總體中抽取樣本，收集樣本數(shù)據(jù)，了解分層抽樣和系統(tǒng)抽樣方法。

6.在樣本數(shù)據(jù)整理中，會(huì)列頻率分布表，繪頻率分布直方圖，了解用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布的思想方法。

7.在樣本數(shù)據(jù)分析中，理解樣本均值、方差及標(biāo)準(zhǔn)差的意義，會(huì)根據(jù)公式求一個(gè)樣本均值、方差及標(biāo)準(zhǔn)差，會(huì)用樣本均值、方差及標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)總體的均值和標(biāo)準(zhǔn)差，推斷總體數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)和離散程度。

8.了解散點(diǎn)圖，知道變量相關(guān)關(guān)系的意義，了解最小二乘法的思想方法，能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程，會(huì)用科學(xué)計(jì)算器求回歸系數(shù)。

二、概率統(tǒng)計(jì)章節(jié)編寫(xiě)思路

在初中階段，學(xué)生粗略地感知不確定事件發(fā)生的可能性有大小，初步認(rèn)識(shí)到用數(shù)量能較為精確地刻畫(huà)某一事件發(fā)生的可能性大小，對(duì)于簡(jiǎn)單的古典概型涉及的計(jì)算，僅限于列舉法或樹(shù)狀圖所能進(jìn)行的計(jì)數(shù)。本章內(nèi)容分為三個(gè)部分：計(jì)數(shù)原理、隨機(jī)事件的概率及統(tǒng)計(jì)推斷。

“計(jì)數(shù)原理”的基本設(shè)計(jì)思路：本節(jié)的開(kāi)篇就提出生活中到處需要計(jì)數(shù)，用一個(gè)一個(gè)數(shù)的方法，在稍微復(fù)雜情形下很費(fèi)時(shí)甚至數(shù)不過(guò)來(lái)，使學(xué)生認(rèn)識(shí)學(xué)習(xí)計(jì)數(shù)原理的必要性。然后采取“閱讀問(wèn)題——再分解問(wèn)題——引導(dǎo)探究——?dú)w納概括”的方式，安排了具體例證中歸納兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的活動(dòng)，以引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷原理的概括過(guò)程，并使學(xué)生學(xué)會(huì)面對(duì)一個(gè)復(fù)雜的計(jì)數(shù)問(wèn)題。

“隨機(jī)事件概率”的基本設(shè)計(jì)思路：本著從認(rèn)識(shí)隨機(jī)現(xiàn)象與應(yīng)用隨機(jī)觀念解釋現(xiàn)實(shí)世界中各種現(xiàn)象兩個(gè)方面，采用“問(wèn)題情境——引導(dǎo)探究——?dú)w納概括”的方式，幫助學(xué)生建立隨機(jī)觀念的意圖。首先，通過(guò)列舉各種各樣的現(xiàn)象引導(dǎo)學(xué)生從結(jié)果能否預(yù)知的角度出發(fā)，幫助學(xué)生理解隨機(jī)現(xiàn)象和確定性現(xiàn)象的概念；從研究隨機(jī)現(xiàn)象的角度出發(fā)，引入隨機(jī)試驗(yàn)的概念，使學(xué)生理解隨機(jī)事件、必然事件和不可能事件的概念，進(jìn)而能辨別一個(gè)事件是否是確定事件。其次，根據(jù)概率的定義，在概率基本性質(zhì)的基礎(chǔ)上，通過(guò)同一試驗(yàn)中不同事件是否同時(shí)發(fā)生的實(shí)際問(wèn)題探究，理解互斥事件與對(duì)立事件的概念。再次，針對(duì)一類(lèi)試驗(yàn)的所有結(jié)果出現(xiàn)具有等可能性，介紹了兩種特殊的概率模型，即古典概型與幾何概型。

“統(tǒng)計(jì)推斷”的基本設(shè)計(jì)思路：本部分內(nèi)容主要解決如何從總體中抽取樣本，如何通過(guò)所抽取的樣本進(jìn)行計(jì)算和分析，對(duì)總體的相應(yīng)情況做出推斷的問(wèn)題。在抽樣方法方面著重介紹了簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、統(tǒng)計(jì)抽樣和分層抽樣。

三、概率統(tǒng)計(jì)章節(jié)教學(xué)建議

（一）本章教學(xué)建議

1.關(guān)于計(jì)數(shù)原理的教學(xué)。一要準(zhǔn)確把握教學(xué)要求；二要注意認(rèn)真剖析概念；三要注意從不同角度思考和解決計(jì)數(shù)問(wèn)題。

2.關(guān)于隨機(jī)事件概率的教學(xué)。一要充分認(rèn)識(shí)概率教學(xué)的困難，重視學(xué)生的實(shí)踐活動(dòng)；二要注意概念的區(qū)別與聯(lián)系的教學(xué)；三要避免用排列組合知識(shí)計(jì)算古典概型的例題和習(xí)題，把計(jì)數(shù)的方法局限于列舉法或計(jì)數(shù)原理；四要注意滲透數(shù)學(xué)思想方法，引導(dǎo)學(xué)生感受、體會(huì)并能初步簡(jiǎn)單運(yùn)用。本章涉及的數(shù)學(xué)思想方法主要有：抽象概括建立模型的思想方法、分類(lèi)討論的思想方法、化歸的思想方法、數(shù)形結(jié)合的思想方法等等。

3.關(guān)于統(tǒng)計(jì)推斷的教學(xué)。一要重視展開(kāi)探究活動(dòng)，讓學(xué)生在了解探究任務(wù)中產(chǎn)生興趣，讓學(xué)生在探究活動(dòng)中進(jìn)入學(xué)習(xí)狀態(tài)，讓學(xué)生在分析真實(shí)數(shù)據(jù)中形成新的思考習(xí)慣，讓學(xué)生在交流探究結(jié)論中加深對(duì)新知的理解；二要關(guān)注與學(xué)生的實(shí)際經(jīng)驗(yàn)相聯(lián)系，讓學(xué)生參與統(tǒng)計(jì)研究的實(shí)際操作過(guò)程，體會(huì)統(tǒng)計(jì)思想，形成運(yùn)用統(tǒng)計(jì)方法解決實(shí)際問(wèn)題的意識(shí)，同時(shí)使學(xué)生認(rèn)識(shí)到統(tǒng)計(jì)在日常生活中有著廣泛的應(yīng)用；三要注意要求學(xué)生多運(yùn)用計(jì)算器、計(jì)算機(jī)等現(xiàn)代工具處理數(shù)據(jù)。

（二）各節(jié)教學(xué)建議

1.計(jì)數(shù)原理

本節(jié)教學(xué)重點(diǎn)是對(duì)兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的理解。這兩個(gè)原理都涉及完成一件事不同方法的總數(shù)，它們的區(qū)別在于：分類(lèi)計(jì)數(shù)原理與“分類(lèi)”有關(guān)，各種方法互相獨(dú)立，用其中任何一種方法都可以完成這件事；分步計(jì)數(shù)原理與“分步”有關(guān)，各個(gè)步驟互相依存，只有各個(gè)步驟都完成了，這件事才算完成。

本節(jié)教學(xué)難點(diǎn)是兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的運(yùn)用。做一件事，完成它可以有n類(lèi)辦法，是對(duì)完成這件事所有方法的分類(lèi)。分類(lèi)時(shí)，首先要根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)確定分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)，然后在確定的標(biāo)準(zhǔn)下進(jìn)行分類(lèi)。而做一件事完成它需要分成n個(gè)步驟，分步時(shí)也要先確定分步的標(biāo)準(zhǔn)，完成這件事必須且只需連續(xù)完成這n個(gè)步驟后這件事才算完成。

2.隨機(jī)事件和概率

本節(jié)是關(guān)于概率的引入部分，對(duì)于現(xiàn)實(shí)世界中各種各樣的現(xiàn)象，從結(jié)果能否預(yù)知的角度出發(fā)，可以分兩大類(lèi)，一類(lèi)現(xiàn)象的結(jié)果是無(wú)法預(yù)知的，即隨機(jī)現(xiàn)象，一類(lèi)現(xiàn)象的結(jié)果總是確定的，即確定性現(xiàn)象。為了研究的方便，把條件每實(shí)現(xiàn)一次，叫做進(jìn)行一次試驗(yàn)，如果試驗(yàn)結(jié)果事先無(wú)法確定，并可以重復(fù)進(jìn)行，這種試驗(yàn)叫做隨機(jī)試驗(yàn)。而每次試驗(yàn)的結(jié)果稱(chēng)為一個(gè)條件，隨機(jī)事件是指在一定的條件下新出現(xiàn)的某種結(jié)果。

本節(jié)教學(xué)的重點(diǎn)是了解概率的意義，難點(diǎn)是認(rèn)識(shí)概率與頻率的區(qū)別，關(guān)鍵是知道一個(gè)事件是隨機(jī)事件、必然事件還是不可能事件，盡管不可能事件與必然事件是相互對(duì)立的，但它們也可以看成是隨機(jī)事件的兩個(gè)極端，而且統(tǒng)一在隨機(jī)事件之中。

3.概率的簡(jiǎn)單性質(zhì)

本節(jié)根據(jù)概率的定義，推出了隨機(jī)事件概率的取值范圍的基本性質(zhì)、如何計(jì)算復(fù)合事件的概率。本節(jié)確定了互斥事件這一最簡(jiǎn)單的情況，即兩個(gè)事件至多一個(gè)發(fā)生，它們可能都不發(fā)生，但不可能都發(fā)生，并給出了兩個(gè)事件A與B的和的意義。通過(guò)實(shí)例得出概率的加法公式。如果A、B是互斥事件，那么A與B和的概率等于事件A與事件B的概率之和。這個(gè)性質(zhì)僅適用于兩個(gè)事件是互斥的，然而與互斥事件的概率相近的概念是對(duì)立事件，相應(yīng)地得出對(duì)立事件的概率之和等于1的結(jié)論。

本節(jié)教學(xué)的重點(diǎn)是了解互斥事件的概念，以及互斥事件的概率加法公式，教學(xué)的難點(diǎn)是互斥事件與對(duì)立事件的聯(lián)系與區(qū)別的理解。兩個(gè)事件對(duì)立是這兩個(gè)事件互斥的充分條件，但不是必要條件。

4.等可能事件的概率

本節(jié)是在概率的統(tǒng)計(jì)定義的基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究等可能事件的概率。由于進(jìn)行大量重復(fù)試驗(yàn)的工作量大，結(jié)果有一定的擺動(dòng)性，有些試驗(yàn)還具有破壞性，因此通過(guò)大量重復(fù)試驗(yàn)用頻率來(lái)表示概率有局限性，而確認(rèn)研究的事件是等可能事件，可較好解決這個(gè)局限性。等可能模型根據(jù)事件的個(gè)數(shù)是有限還是無(wú)限，分為古典概型及幾何概型兩類(lèi)。然而古典概型的特點(diǎn)是：在每次試驗(yàn)中，不同的試驗(yàn)結(jié)果只有有限個(gè)。幾何概型的特點(diǎn)是：基本事件發(fā)生是等可能的，且基本事件有無(wú)數(shù)個(gè)。

本節(jié)教學(xué)重點(diǎn)是理解等可能事件的意義，會(huì)把事件分解成等可能基本事件。理解古典概型和幾何概型的基本特點(diǎn)以及兩個(gè)概型的區(qū)別和聯(lián)系。教學(xué)難點(diǎn)是將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)模型。教學(xué)的關(guān)鍵是分清古典概型基本事件總數(shù)與事件包含的基本事件個(gè)數(shù)。

5.總體樣本和抽樣方法

本節(jié)首先通過(guò)獲取信息是采用普查還是抽樣的探究，認(rèn)識(shí)抽樣的必要性，進(jìn)而認(rèn)識(shí)總體、個(gè)體、樣本、樣本容量等概念。

本節(jié)教學(xué)重點(diǎn)是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的理解。教學(xué)難點(diǎn)是在三種隨機(jī)抽樣中，每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性相等的理解。教學(xué)的關(guān)鍵在于對(duì)本節(jié)中幾個(gè)探究問(wèn)題所指向的概念本質(zhì)特征的引導(dǎo)。

6.總體分布的估計(jì)

本節(jié)主要是用樣本的頻率分布區(qū)估計(jì)總體分布。本節(jié)首先從具體問(wèn)題的探究，說(shuō)明用樣本的頻率分布統(tǒng)計(jì)總體的頻率分布的重要性；然后結(jié)合具體案例介紹頻率分布表的制作步驟，以及作分布直方圖的方法。

本節(jié)教學(xué)的重點(diǎn)是通過(guò)頻率分布圖、頻率分布直方圖對(duì)總體進(jìn)行估計(jì)。教學(xué)難點(diǎn)是作頻率分布直方圖中以頻率÷組距為縱軸的理解。教學(xué)關(guān)鍵要體現(xiàn)合理分組的重要性，應(yīng)針對(duì)具體問(wèn)題進(jìn)行具體分析。

7.總體特征值的估計(jì)

統(tǒng)計(jì)里有兩類(lèi)特征值，一類(lèi)顯示數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)，常見(jiàn)的有平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)等；一類(lèi)是顯示數(shù)據(jù)的離散程度（波動(dòng)大?。Ｒ?jiàn)的有極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差等。之所以介紹這兩類(lèi)特征值，是因?yàn)橛袝r(shí)很難知道數(shù)據(jù)的分布規(guī)律，而這兩類(lèi)特征值能對(duì)數(shù)據(jù)的情況做出簡(jiǎn)要的描述，而且有些實(shí)際問(wèn)題并不需要知道考察對(duì)象的整體情況，只需要了解它的某些數(shù)據(jù)特征就行了。

本節(jié)教學(xué)難點(diǎn)是讓學(xué)生理解平均數(shù)是刻畫(huà)數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的特征值，方差是刻畫(huà)數(shù)據(jù)離散程度特征值的理由；教學(xué)重點(diǎn)是讓學(xué)生能用樣本平均數(shù)去描述總體水平，能用樣本方差、標(biāo)準(zhǔn)差比較數(shù)據(jù)穩(wěn)定性水平。

8.一元線性回歸。

散點(diǎn)圖在分析兩個(gè)變量之間的關(guān)系中起著非常重要的作用。對(duì)于散點(diǎn)圖，可以做出如下判斷：一是如果所有樣本點(diǎn)都落在某一函數(shù)曲線上，就用該函數(shù)來(lái)描述變量之間的關(guān)系，即變量之間具有函數(shù)關(guān)系；二是如果所有樣本點(diǎn)都落在某一函數(shù)曲線附近，變量之間就有相關(guān)關(guān)系；三是如果所有的樣本點(diǎn)都落在某一直線附近，變量之間就有線性相關(guān)關(guān)系。借助用平均值估計(jì)物體重量的方法，探求最佳估計(jì)，建立線性回歸方程，結(jié)合例題學(xué)習(xí)用科學(xué)計(jì)算器求回歸系數(shù)，可減少運(yùn)算量。

本節(jié)教學(xué)重點(diǎn)是利用散點(diǎn)圖直觀體會(huì)兩個(gè)變量之間的線性相關(guān)關(guān)系，教學(xué)難點(diǎn)是利用最小二乘法的思想，得到線性回歸方程的系數(shù)公式，當(dāng)然具體的線性回歸公式可不講推導(dǎo)過(guò)程，也不要記憶?！?/p>

（作者單位：江蘇省鹽城市教育科學(xué)研究院）