低沖量質(zhì)量塊沖擊下固支泡沫夾芯梁的動力響應

姜文征，劉穎

(北京交通大學 土木建筑工程學院 力學系，北京100044)

0 引言

由于良好的能量吸收能力，泡沫材料及結(jié)構(gòu)被廣泛應用于航空航天飛行器、高速軌道車輛、汽車、艦船等重要設(shè)施的能量吸收結(jié)構(gòu)的設(shè)計中。作為一種典型的夾芯結(jié)構(gòu)，如何預測三明治梁在不同工況下的動力響應是當今泡沫材料及其結(jié)構(gòu)設(shè)計的的前沿課題之一。

Fleck 等［1］將三明治梁的結(jié)構(gòu)響應分為3 個階段，即流固耦合相互作用階段、芯材壓縮階段以及梁的彎曲和拉伸階段，建立了爆炸載荷作用下三明治梁的動力響應理論框架。同期，Xue 等［2］通過三維有限元模擬，比較在爆炸載荷作用下，相同質(zhì)量的單梁和三明治梁的動力響應，發(fā)現(xiàn)三明治梁的承載能力高于等質(zhì)量的單梁;Rabczwk 等［3］和Liang 等［4］通過模擬發(fā)現(xiàn)，在爆炸載荷作用下，F(xiàn)leck 等［1］的模型可能高估或低估三明治梁中點的撓度值。這可能和面板及芯材間的耦合作用機制有關(guān)。為了說明和Rabczwk 等［3］計算結(jié)果的差別，Deshpande 等［5］討論了流固耦合相互作用階段以及芯材壓縮階段三明治梁的耦合響應。他們的分析結(jié)果表明，對于高強度芯材的三明治梁，使用Taylor［6］分析方法，透射動量可能被低估20% ～40%. 這解釋了Rabczwk 等［3］的計算結(jié)果和Deshpande 等［5］模型之間的差別。為了說明和Liang 等［4］計算結(jié)果的差別，Tilbrook 等［7］建立了基于響應時間尺度以及三明治梁拉伸/彎曲變形的分析模型。他們的模型中定義了4 種變形過程:三明治芯材部分或全部致密化解耦響應;三明治芯材部分或完全致密化的耦合響應。但是在他們的模型中有一個重要的假設(shè)，即在前后面板速度達到一致前忽略芯材剪切強度。因此在前后面板達到一致前，三明治梁被簡化為一個壓力空腔。很明顯，這與實際的泡沫夾芯結(jié)構(gòu)的變形機制是不同的。隨后，Qin 等［8-9］和Wang 等［10］做了一系列的理論和實驗研究工作。但是他們的工作都是從整體上對梁進行分析，沒有考慮梁與芯材的耦合作用。

基于以上討論，為了更加合理地計及芯材在三明治梁變形過程中的作用，本文在Tilbrook 等［7］的三明治梁模型基礎(chǔ)上，提出一個改進的三明治梁模型。在三明治梁變形的第一及第二階段考慮了泡沫芯材的彎曲作用?；诖四Ｐ停芯苛说蜎_量質(zhì)量塊沖擊泡沫固支夾心梁的動態(tài)響應特性，并與已知實驗和數(shù)值算例進行了對比，發(fā)現(xiàn)當芯材發(fā)生整體彎曲變形時，改進模型能夠更準確地預測梁的變形。

1 質(zhì)量塊沖擊三明治梁分析模型

如圖1(a)所示，長2L 的兩端固支三明治梁在跨中點處受到以初速v0運動的質(zhì)量塊m0撞擊。三明治梁由厚度分別為hf和hb的面板以及厚度為C的芯材組成。在分析過程中，假設(shè)面板滿足理想剛塑性模型，屈服強度為σy. 梁只在初始軸線方向發(fā)生橫向位移?？紤]小變形情況，即假設(shè)中點撓度w與梁的長度相比為小值。因為是小沖量質(zhì)量塊沖擊，因此假設(shè)芯材在沖擊過程中發(fā)生均勻變形，并滿足圖2 所示的應力-應變曲線?；谝陨霞僭O(shè)，三明治梁可簡化為圖1(b)所示模型。泡沫芯材被簡化為完全剛塑性彈簧，剛塑性彈簧的響應滿足圖2所示的應力-應變曲線(平臺——虛線)。彈簧連接上梁和下梁，計算時，上梁和下梁采用剛塑性模型?？紤]泡沫芯材的質(zhì)量，采用集中質(zhì)量近似原則，上梁和下梁每單位長度質(zhì)量分別為

式中:hf、hb和C 分別表示上、下梁及芯材的厚度;ρf、ρb和ρc分別表示上、下梁及芯材的密度;b 為梁的寬度。

圖1 固支三明治梁受以初始速度v0和質(zhì)量m0的質(zhì)量塊沖擊Fig.1 A sandwich beam impacted by a mass

圖2 典型泡沫芯材的應力-應變曲線Fig.2 Typical dynamic stress-strain curves of foam

因為在第一和第二階段變形過程中，芯材除了產(chǎn)生對上梁和下梁的壓力外，還會影響梁的整體彎曲性能。同樣，把芯材的彎矩平均分配到上梁和下梁以計及芯材的彎曲變形，即

式中:Mf、Mb和MC分別表示上梁和下梁以及芯材的彎矩，

式中:σyC表示泡沫材料的屈服強度;εm= |wf+wb|/C表示中點的壓縮應變;wf和wb分別表示上梁和下梁的中點撓度。

基于Jones［11］，設(shè)γ=σp/σbs，其中σp為芯材對梁的橫向壓力，σbs=4Mb0/L2為簡化模型下梁的靜態(tài)極限壓力，將芯材分為中等強度芯材(1≤γ≤3)和低強度芯材(γ ＜1). 本文主要討論中等強度芯材三明治梁的變形過程。

梁的跨中點在沖擊瞬時以初速v0運動，而梁的其余部分則處于靜止。為了保持動平衡，一個擾動從跨中點向固定端傳播。假定撞擊物始終保持與梁相接觸。整個過程可以分為3 個不同的運動相。運動第一相:一個塑性鉸在t =0 時在撞擊點產(chǎn)生，并分別從跨中點向兩個固定端傳播。當塑性鉸傳播到固定端時，第一相結(jié)束。如果芯材達到致密化，直接進入第三相;運動第二相:當上梁的速度比下梁速度大時，上梁繼續(xù)減速，而下梁繼續(xù)加速，直到達到共同速度，或芯材達到致密化，第二相終止;運動第三相:三明治梁發(fā)生整體變形，以共同速度減速，直至梁和撞擊物靜止為止。剩余動能全部耗散于位于兩個固定端和中點的駐定塑性鉸中。

1.1 運動第一相

由于對稱性，取梁的右半跨0 ≤x ≤L. 如圖3(a)，建立坐標系，x 沿長度方向，從跨中點開始。橫向速度場可以表示為

式中:w 為撓度值;ξ 為時間相關(guān)的移動塑性鉸的位置。由于在塑性鉸處(x = ±ξ)，彎矩最大，橫向剪力Q=0，考慮梁兩動鉸中間部分在豎直方向的平衡得

式中:q(x)=σp是芯材作用在上梁上產(chǎn)生的壓力，如圖2 所示。在發(fā)生致密化前壓力值保持恒定。

把(4)式代入(5)式整理得

考慮梁在x=0 和x=ξ 處塑性鉸之間部分的力矩平衡，以及邊界條件，即在x =0 時，Mf1=Mf0;在x=ξ時，Mf1= -Mf0，Q=0 可得

式中:Mf0為上梁截面的極限彎矩。

將(4)式代入(7)式得

圖3 運動第一、第二相時上梁的橫向速度場和受力圖Fig.3 Velocity field and a free body of left half front beam in Phase Ⅰ，Ⅱ

積分(8)式并考慮初始條件t =0，ξ =0，可得移動塑性鉸的傳播時間

由(6)式得

把(11)式代入(9)式整理得

將上式對時間求導，可得移動塑性鉸的速度

結(jié)合相應的初值條件，使用數(shù)值方法(龍格庫塔方法)對(13)式進行積分，可求得ξ. 將ξ 代入(11)式，積分后可以得到上梁在運動第一相中的撓度。

當σpξ2/4 高于下梁的極限彎距時，下梁也開始變形。如圖4(a)所示，假設(shè)下梁的橫向速度場為

圖4 運動第一、第二相時下梁的橫向速度場和受力圖Fig.4 Velocity field and a free body of left half back beam in Phase Ⅰ，Ⅱ

下梁的控制方程為

式中:Mb1為下梁的彎矩。

將(14)式代入(15)式得

對(16)式進行積分，由初始條件x =0 時，Q =?Mb1/?x=0 和Mb1=Mb0，可得

式中:Mb0是下梁的極限彎矩。

因為在x =ξ 時，Mb1= -Mb0，根據(jù)(17)式整理得

由(18)式可知，當滿足3σpξ2/2 -6Mb0＞0 時，下梁才開始運動。由初始條件t =0 時，Wb1==0，(18)式積分得

1.2 運動第二相

在運動的第二及第三相，塑性鉸固定在支撐端和撞擊處，直到整體靜止，最終能量全部轉(zhuǎn)化為塑性能。假設(shè)在第二相時，上梁的速度場分布為

梁的控制方程為

積分(21)式并考慮在x =0 時Mf2=Mf0，Q =/2，以及在x=L 時，Mf2= -Mf0可得

考慮在x=L 時，Mf2= -Mf0，可得

積分(24)式可得上梁中點處速度

假設(shè)下梁的速度分布如圖4(c)所示，和上梁速度和加速度推導過程相似，可得下梁中點處的速度和加速度分別為

當芯材達到致密化，即|wf+wb|/C ＞εD或上、下梁的速度一致時，第二相結(jié)束。

1.3 運動第三相

式中:Mfb=Mf0+Mb0.

2 計算結(jié)果與討論

為了驗證本文提出的改進模型的可靠性，本文參考Wang 等［10］的實驗結(jié)果，進行了對比分析。取三明治梁的長度2L=250 mm;梁的寬度b =40 mm;上﹑下面板厚度分別為hf=hb=0.5 mm;芯材厚度C=10 mm;撞擊質(zhì)量m0=0.012 5 kg，質(zhì)量塊幾何尺寸與實驗尺寸相同。

三明治梁上﹑下面板為鋁合金，材料參數(shù)為:楊氏模量E=72.4 GPa，剪切模量G =28 GPa，泊松比μ =0.33，密度ρ=2 700 kg/m3，屈服應力σy=75.8 MPa. 芯材的主要材料參數(shù)為:楊氏模量E =1.0 GPa，泊松比μ =0.30，密度ρ = 270 kg/m3，屈服應力σy=2 MPa，εD=0.7.

計算中對各參數(shù)進行了無量綱化，其中三明治梁幾何參數(shù)無量綱量分別為

沖量無量綱表示為

其他無量綱形式為

如圖5 所示，在小沖量質(zhì)量作用下，當三明治梁芯材發(fā)生整體彎曲變形時，本模型的預測結(jié)果與實驗結(jié)果基本吻合。隨著沖擊沖量增加，芯材發(fā)生剪切或破壞時，本模型預測結(jié)果與實驗相差較大，這是因為本模型是基于小變形理論，沒有考慮膜力的影響。

圖5 模型計算與已知實驗結(jié)果對比Fig.5 Comparison of analytical predictions and experimental results

另外，本文基于動力有限元軟件LS-DYNA 對沖擊塊質(zhì)量為m0=0.012 5 kg，沖擊速度為40 m/s 的情況進行了對比計算。計算中選用單元Solid164，面板與芯材完全粘接。面板與芯材分別劃分為4 050和10 125 個單元，并優(yōu)化了撞擊處和固定端的網(wǎng)格分布。面板選用各向同性隨動強化材料模型，芯材泡沫選用可壓扁泡沫模型來近似描述真實泡沫的性質(zhì)。質(zhì)量塊與夾芯梁之間相互作用，通過DYNA 程序的接觸算法實現(xiàn)，這里定義接觸類型為面/面自由接觸。

圖6(a)和圖6(b)分別給出了本文的模型、有限元計算結(jié)果以及文獻［7］模型的預測結(jié)果對比。如圖6(a)所示，本文模型的預測結(jié)果表明在第一相時芯材已發(fā)生致密化，此后變形進入第三相，即兩面板和芯材以共同速度整體運動，直至速度為0. 本模型的計算結(jié)果和有限元計算結(jié)果基本吻合。有限元的計算結(jié)果并沒有明顯的芯材致密化進而轉(zhuǎn)入整體變形的過程，這是因為在有限元計算中，只有梁中點處芯材發(fā)生致密化，而其他部分并沒有致密化。如圖6(a)所示，由于文獻［7］模型在第一和第二相時把三明治梁近似處理成壓力空腔，忽略了芯材的彎曲作用，因此下面板的速度偏高，上下面板在較高的速度達到共同速度，與有限元計算結(jié)果偏差較大。如圖6(b)所示，其預測的梁的變形偏大。而本文改進的模型和有限元計算結(jié)果基本吻合。另外，圖6(a)和圖6(b)的有限元模擬結(jié)果顯示下面板與上面板相比延時啟動。本文提出的計算模型可以反映這種延時，而且二者比較吻合。

圖6 計算模型與有限元及文獻［7］模型關(guān)于上下面板中點速度和撓度的對比Fig.6 Comparison of analytical predictions of models in the present paper and Ref.［7］with respect to the data given by FE simulations for normalized mid-span velocity and deflection of front and back face-sheets

3 結(jié)論

本文基于小變形理論，并考慮三明治梁芯材在變形過程中的作用，提出了改進的三明治梁剛塑性模型，并對低沖量質(zhì)量塊作用下固支三明治梁的動力響應進行了討論。與實驗以及已有模型對比計算表明，在三明治梁芯材發(fā)生整體彎曲變形時，相較于文獻［7］三明治梁模型，由于改進的模型在三明治梁整體變形前考慮了芯材的彎曲變形，可以更好地預測三明治梁的動力響應過程。同時，計算結(jié)果表明，當芯材發(fā)生剪切和破壞時，本文的模型不能很好地預測實驗結(jié)果，這是因為本模型基于小變形假設(shè)。由于文章篇幅的限制，基于大變形的三明治梁模型這里不再討論。

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