L型陣列雙基地MIMO雷達的傳播算子多維角度估計

孫中偉， 張小飛， 吳海浪， 李建峰

南京航空航天大學(xué)電子工程系，南京210016

多輸入多輸出(multiple-input multiple-output,MIMO)雷達使用多根天線同時傳送和接收波形信號[1]，具有超過傳統(tǒng)相控陣的潛在優(yōu)勢.MIMO雷達比只有一種發(fā)射波形的雷達系統(tǒng)有更多的自由度，而這些額外的自由度能有效克服衰落的影響，提高空間分辨率，增強參數(shù)可辨識性，并改進目標檢測性能[2-5].文獻[6-9]介紹了MIMO雷達的離開角(direction of departure,DOD)和到達角(direction of arrival,DOA)估計算法的研究現(xiàn)狀.其中，文獻[6]提出了多信號分類(multiple signal classif ication,MUSIC)算法，通過子空間進行角度估計，具有良好的估計性能.二維(two-dimensional)MUSIC算法可用于DOD和DOA的估計，但計算復(fù)雜度很高.文獻[8]借助旋轉(zhuǎn)不變技術(shù)估計信號參數(shù)(estimating signal parameter via rotational invariance techniques,ESPRIT)算法，根據(jù)旋轉(zhuǎn)不變性實現(xiàn)MIMO雷達中的角度估計，且實現(xiàn)參數(shù)的自動配對.文獻[9]提出了傳播算子(propagator method,PM)算法，不必對協(xié)方差矩陣進行特征值分解，故運算量小.文獻[10]提出了一種基于傳播算子的雙基地MIMO雷達快速多目標定位算法，使用均勻線陣只實現(xiàn)了發(fā)射和接收方向上的一維角度估計，而實際應(yīng)用中需要二維的DOA和二維的DOD.

本文提出一種在L型陣列下的通過PM能夠?qū)崿F(xiàn)四維角度估計且角度自動配對的算法，既不需要額外的配對運算就實現(xiàn)了參數(shù)的自動配對，又不需要對協(xié)方差進行特征值分解，故運算量小.與ESPRIT算法相比，本文算法的復(fù)雜度較低，在高信噪比情況下的性能接近ESPRIT算法.

1 數(shù)據(jù)模型

考慮發(fā)射和接收陣列都是L型陣列，包含2M-1根發(fā)射天線和2N-1根接收天線的雙基地MIMO雷達系統(tǒng)，發(fā)射陣列在x軸上有M根天線，在y軸上也有M根天線；接收天線在x軸上有N根天線，在y軸上也有N根天線，并且天線間隔均為d=λ/2.在實際應(yīng)用場合中，信源數(shù)往往是一個未知數(shù)，需要先估計信源數(shù)的數(shù)目或者假設(shè)已知，此處假設(shè)已知K個不相關(guān)信源.

圖1 MIMO雙基地雷達L型陣列圖Figure 1 Bistatic MIMO radar with L-shaped array

發(fā)射端發(fā)射正交窄帶波形，取快拍數(shù)為L，則匹配濾波后的接收接收信號為

式中，A為方向矩陣，具體形式為

式中，ar(θrk,φrk)?at(θtk,φtk)為第k個目標接收矢量與發(fā)射矢量的Kronecker積，其中

式中，θrK和φrK為接收陣列接收到的第k個目標的仰角和方位角；θtK和φtK為第k個目標對于發(fā)射陣列的仰角和方位角；S為信號源矩陣，N為噪聲矩陣，是均值為零、方差為σ2I(2M-1)(2N-1)的加性高斯白噪聲矢量；方向矩陣A也可以表示為

式中，At=[at(θt1,φt1),at(θt2,φt2),···,at(θtK,φtK)]和Ar= [ar(θr1,φr1),ar(θr2,φr2),···,ar(θrK,φrK)]分別為發(fā)射方向矩陣和接收方向矩陣，也可表示為為發(fā)射陣列x軸方向上的方向矩陣，AtY為發(fā)射陣列y軸方向上的方向矩陣，ArX為接收陣列x軸方向上的方向矩陣，ArY為接收陣列y軸方向上的方向矩陣；Dm(·)是取矩陣的第m行組成一個對角矩陣,

式中，diag(·)表示對角化矩陣.

2 雙基地M IM O雷達中的多維角度估計算法

由傳播算子估計DOD和DOA，先估計傳播算子；再將A分塊，其中A1和A2分別為K×K和((2M-1)(2N-1)-K)×K維的矩陣

假設(shè)A1是非奇異矩陣，則A2為A1的線性變換，可得

式中，Pc即為傳播算子，令P=[IK,PTc]T，其中IK為K階單位矩陣.根據(jù)式(4)和(5)可得

對P進行分塊可得

式中，Pn∈C(2M-1)×K，n=1,···,2N-1；根據(jù)式(6)的對應(yīng)關(guān)系可得

2.1 二維DOA估計

根據(jù)式(8)的對應(yīng)關(guān)系可得

定義Ψrx=Pb，Ψrx和Φrx有相同的特征值，對Ψrx進行特征值分解，得到特征值矩陣；定義λk為第k個對角線元素，與Φrx對角線的值一一對應(yīng)，同時可以求得特征向量A1的估計值.在無噪聲的情況下，有

式中，Π為列模糊矩陣且Π-1=Π，則估計得到的特征值矩陣=ΠΦrxΠ，方向矩陣A的估計矩陣為

令rk為的第k個對角線元素，且λk和rk對應(yīng)于同一個目標.由λk和rk可得

式中，angle(·)表示取相角，由此可以估計出第k個目標DOA的仰角和方位角

此時已經(jīng)估計出DOA的仰角和方位角，且已實現(xiàn)了參數(shù)的自動配對.

2.2 二維DOD估計

下面對接收陣列的方向矩陣進行重構(gòu)得到發(fā)射陣列的方向矩陣，估計出發(fā)射陣列的方位角和仰角.存在一個行交換矩陣E使得式(19)成立

式中，Φtx=diag(exp(-jπcosφt1sinθt1),···,exp(-jπ·cosφtKsinθtK))，Φty=diag(exp(-jπsinφt1sinθt1),···,exp(-jπsinφtKsinθtK)).

根據(jù)式(20)可得

令δk為的第k個對角線元素，δk、λk、rk對應(yīng)于同一個目標；由式(20)還可以得到關(guān)系式

定義σk為的第k個對角線元素，σk、δk、λk、rk對應(yīng)于同一個目標，從而實現(xiàn)了四維角度的自動配對.由已經(jīng)求出的δk和σk得到

估計出發(fā)射陣列的仰角和方位角為

2.3 傳播算子實現(xiàn)四維角度估計算法

至此，已經(jīng)給出了雙基地MIMO雷達中基于PM的四維角度估計算法.將算法步驟總結(jié)如下：

步驟3 根據(jù)式(19)重構(gòu)得到B，構(gòu)造Ba和Bb，由式(22)估計出，相似地通過構(gòu)造Bc和Bd，由式(24)估計得到，通過式(27)和(28)估計出DOD.

2.4 復(fù)雜度分析

與ESPRIT算法相比，本文算法的復(fù)雜度低,主要集中在協(xié)方差矩陣運算、傳播算子估計、特征值分解和求廣義逆運算，參數(shù)配對不需要額外的運算，其復(fù)雜度為：O((2N-1)2(2M-1)2L+(2N-1)2(2M-1)2+K2(2M-1)(2N-1)+3K2(M-1)(2N-1)+3K2)，ESPRIT算法的復(fù)雜度為O((2N-1)2(2M-1)2L+(2N-1)3(2M-1)3+3K2(M-1)(2N-1)+2K2).

3 誤差分析

此節(jié)對仰角和方位角的估計誤差進行分析.假定

P=P+?P，?P為傳播算子誤差矩陣.由式(8)可知

式中，?P1、?PN、?PN+1、?P2N-1分別表示?P的第1組、第N組、第N+1組、第2N-1組、2M-1行.由[Pa+?Pa]+的一階近似得

使用一階Taylor級數(shù)展開，經(jīng)計算可求得DOA的仰角和方位角估計均方誤差.仰角的估計均方誤差為

方位角的估計均方誤差為

式中，?θrk為θrk的誤差估計,?φrk為φrk的誤差估計.同理可以估計出DOD的仰角和方位角的估計均方誤差，DOD仰角的估計均方誤差為

DOD方位角的估計均方誤差為

式中，?θtk為θtk的誤差估計,?φtk為φtk的誤差估計.

定義A=[a1,a2,···,aK]，其中ak是矩陣A的第k列.根據(jù)文獻[13]推導(dǎo)了MIMO雷達的角度估計的克拉美羅界(Cramér-Rao lower bound,CRB)

式中，⊕為Hadamard積，Π⊥A=I-A(AHA)-1AH,P=s(tl)sH(tl).D=[d1,d2,···,dK,f1,f2,···,fK,e1,e2,···,eK,g1,g2,···,gK],dk= ?ak/?θtk,fk=?ak/?φtk,ek=?ak/?θrk,gk=?ak/?φrk.

4 仿真結(jié)果

仿真1 圖2給出了本文算法在信噪比(signal to noise ratio,SNR)為5 dB時的仿真結(jié)果.3個目標DOA和DOD對選擇為(10°,20°,5°,25°)、(20°,30°,5°,35°)、(30°,40°,5°,45°)，采用50次蒙特卡羅仿真，其中M=8、N=6、K=3、L=100.圖3給出了本文算法在3個目標DOA和DOD對(15°,20°,7°,22°)、(25°,10°,7°,12°)、(35°,30°,7°,32°)下的角度估計性能.由圖2和3可以看出，此算法可以有效估計MIMO系統(tǒng)的離開角和到達角；即使在信噪比低(SNR=5 d B)的情況下，本文算法角度估計的性能仍然良好.

圖2 信噪比為5 d B時的估計角度散布圖Figure 2 Estimated angles of the scatter plot when SNR=5 d B

圖3 信噪比為10 d B時的估計角度散布圖Figur e 3 Estimated angles of the scatter plot when SNR=10 d B

在仿真2和3中，考慮到3個目標，它們的DOA和DOD對為(10°,20°,5°,25°)、(20°,30°,5°,35°)、(30°,40°,5°,45°).本文進行5 000次蒙特卡羅仿真來估計本文算法的角度估計性能，定義

式中，^αmk和^βmk為第m次蒙特卡羅仿真時第k個目標相對發(fā)射陣/接收陣仰角和方位角的估計值，αk和βk為第k個目標的仰角和方位角的真實值.

仿真2 圖4比較了本文算法、ESPRIT算法和克拉美羅界(Cramér-Rao lower bound,CRB)的性能，在本次仿真中取M=8、N=6、K=3、L=100；由圖4可以看出，在低信噪比情況下，本文算法的性能低于ESPRIT的算法性能；當信噪比較大時，本文算法的性能與ESPRIT算法性能相接近.

圖4 本文算法與ESPRIT算法的角度估計性能比較Figure 4 Algorithm angles performance comparison with the ESPRIT algorithm

仿真3 圖5給出了不同快拍數(shù)L情況下的角度估計性能，其中M=8、N=6、K=3；由圖5可以看出，隨著快拍數(shù)L的增加，角度估計的性能變好，即使在快拍數(shù)很小(L=10)的情況下，此算法仍能保持良好的估計性能.

仿真4 圖6顯示了傳播算子誤差矩陣對角度估計性能的影響，仿真參數(shù)同仿真2.從圖6中可以看出，隨著傳播算子誤差矩陣的功率的增加，本文算法的角度估計性能逐漸下降.

圖5 不同快拍數(shù)下的角度性能比較Figure 5 Under different number of snapshots angles of RMSE performance comparison

5 結(jié)語

本文將PM算法引入雙基地MIMO雷達，用于L型陣列下的多維DOD和DOA的估計，并實現(xiàn)了多維角度的自動配對.由協(xié)方差矩陣估計出傳播算子，利用傳播算子的旋轉(zhuǎn)不變性計算出方向矩陣，進而求出二維DOD和二維DOA.不需要對協(xié)方差矩陣進行特征值分解，就可以估計出四維角度，而且不需要額外的配對運算，就能實現(xiàn)角度的自動配對.與普通的PM算法相比，本文算法能估計出多維的角度信息，且算法精度有所提高.算法性能在高信噪比情況下與ESPRIT算法性能相近，但運算量低于ESPRIT算法，且在目標相近的情況下仍能保持良好的性能.

圖6 傳播算子誤差矩陣對角度估計性能的影響Figure 6 Impact of propagator error matrix on the angles performance

[1]FISHLER E,HAIMOVICH A,BLUM R S,CIMINI L J,CHIZHIK D,VALENZUELA R A.MIMO radar:an idea whose time has come[C]//Proceedings of IEEE Radar Conference,2004:71-78.

[2]LI Xiangru,ZHAOZhang,WUXingmao,WANG Xiaomo,LU Jun,WANG Wensheng.A study of frequency diversity MIMO radar beam forming[C]//2010 IEEE 10th International Conference on Signal Processing(ICSP),2010:352-356.

[3]SHARMAR.Analysis of MIMO radar ambiguity functions and implications on clear region[C]//2010 IEEE International Radar Conference,2010:544-548.

[4]ROBERTS W,LI J,STOICA P,YARDIBI T,SADJADI F A.MIMO radar angle-range-Doppler imaging[C]//2009 IEEE International Radar Conference,2009,5:1-6.

[5]WU X H,KISHK A A,GLISSON A W.MIMOOFDM radar for direction estimation[J].IET Radar,Sonar&Navigation,2010,4(1):28-36.

[6]ZHANG Xiaofei,XU Linyun,XU Lei,XU Dazhuan.Direction of departure(DOD)and direction of arrival(DOA)estimation in MIMO radar with reduceddimension MUSIC[J].IEEE Communications Letters,2010,14(12):1161-1163.

[7]ZHANG Xiaofei,XU Dazhuan.Angle estimation in MIMO radar using reduced-dimension capon[J].IET Electronics Letters,2010,46(12):860-861.

[8]CHENJinli,GUHong,SUWeimin.Angle estimation using ESPRIT without pairing in MIMO radar[J].Electronics Letters,2008,44(20):1422-1423.

[9]MARCOSS,MARSAL A,BENIDIR M.The propagator method for source bearing estimation[J].Signal Processing,1995,42(2):121-138.

[10]陳金力，顧紅，蘇衛(wèi)民.一種雙基地MIMO雷達快速多目標定位方法[J].電子與信息學(xué)報，2009,31(7):1664-1668.CHENJinli,GUHong,SUWeimin.A method for fast multi-target localization in bistatic MIMO radar system[J].Journal of Electronics&Information Technology,2009,31(7):1664-1668.(in Chinese)

[11]ZHANG Xiaofei,GAO Xin,XU Dazhuan.Multiinvariance ESPRIT-based blind DOA estimation for MC-CDMA with an antenna array[J].IEEE Transactions on Vehicular Technology,2009,58(8):4686-4690.

[12]STOICA P,NEHORAI A.Performance study of conditional and unconditional direction-of-arrival estimation[J].IEEE Transactions Signal Process,1990,38(10):1783-1795.