一種新型橡膠襯套理論模型及其參數(shù)識(shí)別＊

左曙光， 李 凱， 吳旭東， 郭學(xué)良， 李程祎

（同濟(jì)大學(xué)新能源汽車工程中心 上海，201804）

引 言

橡膠材料作為一種常用的工程減振材料，廣泛應(yīng)用于汽車各種減振系統(tǒng)中，如懸架襯套、發(fā)動(dòng)機(jī)和變速箱懸置、排氣系統(tǒng)吊耳等［1］。橡膠元件作為隔振元件，其動(dòng)態(tài)性能對(duì)系統(tǒng)的振動(dòng)控制和隔振設(shè)計(jì)起主要作用。目前，國內(nèi)外對(duì)橡膠元件的研究中，靜態(tài)特性的研究較多而且已經(jīng)比較成熟，但對(duì)其動(dòng)態(tài)特性的研究還不全面，原因是橡膠減振元件動(dòng)態(tài)特性復(fù)雜，隨頻率、振幅而變化，具有非常強(qiáng)的非線性。針對(duì)橡膠材料動(dòng)態(tài)特性，國內(nèi)外學(xué)者提出了多種材料本構(gòu)模型。復(fù)常數(shù)模量模型［2］簡(jiǎn)單根據(jù)應(yīng)力－應(yīng)變滯回曲線確定材料的復(fù)常數(shù)模量，其基本特征是非頻變，與實(shí)際材料黏彈模量的頻變特性并不相符。Kelvin－Voigt模型［3］由一線性彈簧和一阻尼器并聯(lián)，能夠明顯地表現(xiàn)出材料的頻率相關(guān)性，但在高頻時(shí)高估了阻尼的貢獻(xiàn)。三參數(shù)Maxwell模型將Kelvin模型中的阻尼器用一個(gè)由彈簧和阻尼器串聯(lián)組成的Maxwell單元代替，能更準(zhǔn)確地描述橡膠材料的動(dòng)剛度特性，但對(duì)阻尼系數(shù)的描述不夠準(zhǔn)確。Wiechert模型將三參數(shù)Maxwell模型進(jìn)行擴(kuò)展，用多個(gè)Maxwell單元與之并聯(lián)，從而能夠在較寬的頻率范圍內(nèi)對(duì)橡膠材料的動(dòng)態(tài)特性進(jìn)行較好的描述，但需要使用較多的參數(shù)才能保證模型的準(zhǔn)確性，使得模型復(fù)雜且模型參數(shù)沒有明確的物理意義［4］。描述振幅相關(guān)性的雙線性模型、Bouc－Wen模型及Berg摩擦模型等［5-7］也存在精度不高、參數(shù)識(shí)別效率低等問題。

首先，筆者進(jìn)行了橡膠襯套軸向的靜、動(dòng)態(tài)特性試驗(yàn)，根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果對(duì)襯套動(dòng)態(tài)特性的頻率相關(guān)性和振幅相關(guān)性進(jìn)行分析，提出一種基于彈性單元、摩擦單元和若干黏彈單元疊加的新型橡膠襯套模型；然后，根據(jù)具體的試驗(yàn)結(jié)果，提出黏彈單元個(gè)數(shù)的確定方法和一種新的參數(shù)識(shí)別方法；最后，通過與試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比，模型能更為準(zhǔn)確的描述襯套軸向的動(dòng)態(tài)特性。

1 橡膠襯套靜動(dòng)態(tài)特性試驗(yàn)與分析

研究的對(duì)象是簡(jiǎn)單圓柱形橡膠襯套，橡膠襯套實(shí)物如圖1所示。襯套由內(nèi)外鋼圈和中間的橡膠材料組成，圖2為襯套的剖視圖。首先，通過試驗(yàn)對(duì)襯套軸向的靜動(dòng)態(tài)特性進(jìn)行了研究［8］，試驗(yàn)夾具如圖2所示。使用中通過固定外圈、激勵(lì)內(nèi)圈的方式，獲得襯套軸向靜動(dòng)態(tài)特性。

1.1 橡膠襯套軸向靜態(tài)特性試驗(yàn)

靜態(tài)加載下，加載位移見表1，試驗(yàn)結(jié)果見圖3。根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，襯套軸向力和位移的關(guān)系基本符合線性關(guān)系，說明襯套軸向在靜態(tài)加載下具有線性的彈性特性。

圖1 橡膠襯套實(shí)物圖Fig.1 The picture of rubber bushing

圖2 襯套軸向加載試驗(yàn)夾具Fig.2 The clamp for rubber axial－load test

表1 襯套軸向靜態(tài)加載位移Tab.1 The static axial－load displacement of rubber

圖3 襯套軸向靜態(tài)加載力與位移的關(guān)系Fig.3 The axial static loaded force versus displacement curve for bushing

1.2 橡膠襯套軸向動(dòng)態(tài)特性試驗(yàn)

試驗(yàn)裝置、夾具與靜態(tài)加載時(shí)一致。通過高頻液壓油缸對(duì)橡膠襯套軸向施加不同頻率和振幅的正弦位移激勵(lì)，得到激勵(lì)位移和響應(yīng)力信號(hào)，進(jìn)而獲得兩者的振動(dòng)幅值。在5個(gè)頻率下分別進(jìn)行了6種振幅的試驗(yàn)，共計(jì)30個(gè)工況，具體頻率和幅值見表2。襯套軸向的動(dòng)態(tài)特性主要指襯套軸向動(dòng)剛度及響應(yīng)力與激勵(lì)位移的滯后角。響應(yīng)力幅值除以對(duì)應(yīng)工況下激勵(lì)位移的幅值表示襯套軸向的動(dòng)態(tài)剛度特性。用激勵(lì)位移和響應(yīng)力信號(hào)的互功率譜得到兩者的相位角差值，即滯后角。滯后角的正弦就是阻尼系數(shù)。試驗(yàn)結(jié)果如圖4所示。

由上述試驗(yàn)結(jié)果得到以下結(jié)論。

1）頻率一定，動(dòng)剛度隨振幅變化規(guī)律如圖4（a）所示，阻尼系數(shù)隨振幅變化規(guī)律如圖4（c）所示。襯套軸向動(dòng)剛度（阻尼系數(shù)）隨振幅的增加而迅速降低，振幅對(duì)襯套動(dòng)剛度（阻尼系數(shù)）的影響非常大。

表2 低頻試驗(yàn)時(shí)激勵(lì)振幅和頻率的值Tab.2 The amplitude and frequency of excitation in low－frequency test

2）振幅一定，動(dòng)剛度隨頻率的變化關(guān)系如圖4（b）所示，阻尼系數(shù)隨頻率變化規(guī)律如圖4（d）所示。動(dòng)剛度（阻尼系數(shù)）幾乎不隨頻率的變化而變化，同一振幅下，激勵(lì)頻率幾乎不對(duì)襯套軸向動(dòng)剛度（阻尼系數(shù)）產(chǎn)生影響。相比之下，阻尼系數(shù)受頻率的影響要比動(dòng)剛度大。

綜上所述，在激勵(lì)頻率較低的情況下（20Hz以內(nèi)），激勵(lì)振幅是動(dòng)態(tài)特性的決定性因素，激勵(lì)頻率幾乎不對(duì)動(dòng)態(tài)特性產(chǎn)生影響。

2 新型橡膠襯套軸向動(dòng)態(tài)模型

上述試驗(yàn)結(jié)果反映出的動(dòng)態(tài)特性與大部分研究中采用的動(dòng)態(tài)模型表現(xiàn)出不同的特性，如將彈性單元和液體黏壺并聯(lián)的K－V模型（圖5）、將Maxwell單元與彈簧并聯(lián)的Maxwell模型（圖6）。這些模型的特點(diǎn)是動(dòng)態(tài)特性隨頻率有明顯的變化，但不隨振幅而變化。

因此，筆者提出一種將體現(xiàn)彈性特性的彈性單元、體現(xiàn)振幅相關(guān)性的摩擦單元和體現(xiàn)頻率相關(guān)性的若干黏彈單元并聯(lián)的新型模型，來描述襯套軸向在激勵(lì)頻率較低時(shí)的動(dòng)態(tài)特性。

圖4 低頻試驗(yàn)動(dòng)態(tài)特性Fig.4 The dynamic characteristics in low－frequency test

圖5 K－V模型示意圖Fig.5 K－V model

圖6 Maxwell模型示意圖Fig.6 Maxwell model

2.1 模型組成

2.1.1 彈性單元

根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果發(fā)現(xiàn)，襯套軸向彈性特性符合胡克定律，因此用胡克定律的形式表示襯套軸向的彈性特性

彈性單元在一個(gè)正弦激勵(lì)周期中，不損耗能量，即Ee（x）＝0。當(dāng)激勵(lì)振幅為x0時(shí)，響應(yīng)力的振幅為F0＝Kex0。

2.1.2 摩擦單元

摩擦單元是指一種類似摩擦力特性的激勵(lì)位移和響應(yīng)力的關(guān)系，主要用于描述動(dòng)態(tài)特性的振幅相關(guān)性。由于Berg模型參數(shù)識(shí)別簡(jiǎn)單，且能比較準(zhǔn)確地描述橡膠元件的振幅相關(guān)性，得到了比較廣泛的應(yīng)用［9-11］。因此，筆者采用Berg摩擦模型描述橡膠材料的振幅相關(guān)性。Berg模型的摩擦力Ff取決于摩擦單元兩端的相對(duì)位移，同時(shí)也與摩擦力位移曲線上的參考點(diǎn)（xs，F(xiàn)fs）有關(guān)，其具體表達(dá)形式如下。

當(dāng)x＝xs時(shí)

當(dāng)x＞xs，或x增加時(shí)

當(dāng)x＜xs，或x減小時(shí)

本模型中，摩擦單元在一個(gè)周期中，力的幅值Ff0為

其中：x0為激勵(lì)位移的幅值。

一個(gè)周期中損耗的能量Ef為

其中：α0＝Ff0／Ffmax。

2.1.3 黏彈單元

Maxwell單元是指將一個(gè)線性彈簧與一個(gè)液體黏壺串聯(lián)來表示橡膠材料力學(xué)特性的模型。筆者建立的黏彈模型是利用多個(gè)Maxwell模型并聯(lián)的形式，如圖7所示來表示橡膠材料的黏彈特性。Maxwell單元的個(gè)數(shù)需要根據(jù)部分試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行確定。

圖7 黏彈單元示意圖Fig.7 The visco－elastic elements

第i個(gè)黏彈單元的動(dòng)態(tài)剛度復(fù)數(shù)形式為

其中：w為激勵(lì)圓頻率；Ei和ηi分別為第i個(gè)Maxwell單元彈簧的剛度值和黏壺的阻尼值。

第i個(gè)Maxwell單元整體表現(xiàn)出的阻尼為

其中：在簡(jiǎn)諧激勵(lì)的條件下，Wi和A0分別為每個(gè)循環(huán)工況所損耗的能量和激勵(lì)的幅值為復(fù)剛度的模；δi為阻尼角。

對(duì)i個(gè)分量進(jìn)行矢量疊加，可得到總的黏彈單元的動(dòng)剛度和阻尼值

其中：Kdyn為黏彈單元總的動(dòng)剛度；δ為黏彈單元的滯后角；d（w）為黏彈單元的阻尼系數(shù)。

當(dāng)Ei＝Kv，ηi＝C時(shí)，一個(gè)黏彈單元在振幅為x0的簡(jiǎn)諧激勵(lì)中，響應(yīng)力的幅值為

響應(yīng)力實(shí)部的值為

響應(yīng)力虛部的值為

一個(gè)周期損耗的能量為

黏彈單元整體表現(xiàn)出的響應(yīng)力為各Maxwell單元相加

其中：n為 Maxwell單元的個(gè)數(shù)；Fvi（x）為第i個(gè)Maxwell單元的響應(yīng)力。

2.1.4 模型疊加

將彈性單元、摩擦單元與黏彈單元疊加，得到響應(yīng)力和激勵(lì)位移的關(guān)系為

其中：Fe（x）為彈性單元的力；Ff（x）為摩擦單元的力；Fv（x）為黏彈單元的力，為各黏彈單元響應(yīng)力之和。

整體模型響應(yīng)力的振幅為

一個(gè)循環(huán)中整體模型能量消耗為

對(duì)簡(jiǎn)諧振動(dòng)而言，襯套軸向動(dòng)剛度和阻尼系數(shù)可以通過下式確定

2.2 參數(shù)識(shí)別

2.2.1 彈性單元和摩擦單元參數(shù)識(shí)別

作激勵(lì)力隨激勵(lì)位移的變化曲線，即滯回曲線，并確保滯回曲線的中心在零點(diǎn)位置，如圖8所示。在位移接近極限位移時(shí)，曲線的斜率就近似表示該試件彈性單元的值，即其靜態(tài)剛度值Ke。

延長(zhǎng)接近極限位移處曲線的兩條切線，由激勵(lì)位移的對(duì)稱性可知，兩條切線平行，兩條切線間的豎直距離就近似等于兩倍的摩擦力的最大值。由此，確定摩擦單元的參數(shù)Ffmax。

根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果，得到曲線的最大斜率值Kmax，見圖8。摩擦單元的第2個(gè)參數(shù)x2由下式求得

圖8 低頻簡(jiǎn)諧激勵(lì)下激勵(lì)位移與響應(yīng)力的關(guān)系Fig.8 The response force versus displacement of lowfrequency harmonic excitation

參數(shù)識(shí)別工況采用低頻率大振幅工況，低頻率是為了進(jìn)一步減小頻率的影響，大振幅是為了保證摩擦單元能夠發(fā)揮出最大摩擦力。最終選擇的參數(shù)識(shí)別工況為激勵(lì)頻率為4Hz，激勵(lì)振幅為1.5mm，根據(jù)前面所述識(shí)別方法，識(shí)別結(jié)果如表3所示。

表3 彈性單元和摩擦單元參數(shù)識(shí)別結(jié)果Tab.3 The fitted parameters of elastic element and friction element

2.2.2 黏彈單元參數(shù)識(shí)別

在黏彈單元參數(shù)識(shí)別以前，首先要分析試驗(yàn)結(jié)果，確定將使用的黏彈單元的個(gè)數(shù)。根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果，頻率對(duì)阻尼系數(shù)的影響比對(duì)動(dòng)剛度的影響要大些，所以將根據(jù)阻尼系數(shù)的變化規(guī)律，確定使用的黏彈單元的個(gè)數(shù)。阻尼系數(shù)試驗(yàn)結(jié)果如圖4（c）所示。

可以發(fā)現(xiàn)，試驗(yàn)結(jié)果表現(xiàn)出兩種變化規(guī)律：4Hz為一種；8，12，16，20Hz為另一種。這表明可以用兩個(gè)黏彈單元來表示襯套模型的頻率相關(guān)性。因此，將4Hz作為第1個(gè)黏彈單元的識(shí)別工況，將12Hz作為第2個(gè)黏彈單元的識(shí)別工況。識(shí)別方法是利用試驗(yàn)結(jié)果和仿真結(jié)果的相對(duì)誤差最小化。使用Matlab中的優(yōu)化函數(shù)fmincon求目標(biāo)函數(shù)的最小值，目標(biāo)函數(shù)如下

其中：n為試驗(yàn)工況的個(gè)數(shù)；Kmodel和Dmodel分別表示根據(jù)動(dòng)態(tài)模型求得的在對(duì)應(yīng)試驗(yàn)工況下的動(dòng)剛度值和阻尼值；Ktest和Dtest表示試驗(yàn)得到的動(dòng)剛度值和阻尼值。

黏彈單元參數(shù)識(shí)別結(jié)果見表4。

表4 黏彈單元參數(shù)識(shí)別結(jié)果Tab.4 The fitted parameters of visco－elastic elements

最終的新型襯套動(dòng)態(tài)模型總共有7個(gè)待識(shí)別參數(shù)，分別是：彈性單元的剛度值Ke；兩個(gè)黏彈單元的剛度值E1，E2；阻尼系數(shù)η1，η2；摩擦單元的最大摩擦力Ffmax及達(dá)到最大摩擦力一半時(shí)的位移x2。其示意圖如圖9所示。

圖9 襯套軸向動(dòng)態(tài)模型示意圖Fig.9 The axial dynamic model of bushing

2.3 誤差分析

模型仿真結(jié)果和試驗(yàn)結(jié)果比較如圖10所示，試驗(yàn)結(jié)果和仿真結(jié)果的最大誤差如表5所示。由試驗(yàn)結(jié)果和仿真結(jié)果的對(duì)比可知，試驗(yàn)結(jié)果和動(dòng)態(tài)模型的仿真結(jié)果變化規(guī)律一致，誤差也較小。動(dòng)剛度的最大誤差控制在6%以內(nèi)，阻尼系數(shù)的最大誤差控制在8%以內(nèi)，精度較高。由此說明了此種建模方法和參數(shù)識(shí)別方法的合理性。

表5 同工況下動(dòng)態(tài)特性最大誤差值Tab.5 The maximum error of dynamic characteristics in same conditions

3 結(jié) 論

1）通過襯套試驗(yàn)，得到襯套軸向的靜、動(dòng)態(tài)特性。發(fā)現(xiàn)在低頻段，橡膠襯套動(dòng)剛度和阻尼系數(shù)隨著振幅增大迅速降低，而隨頻率變化不明顯。

圖10 模型動(dòng)態(tài)特性仿真與試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比Fig.10 The dynamic characteristics comparison of simulation and test

2）提出一種將彈性單元、摩擦單元和若干黏彈單元疊加的新型橡膠襯套模型，該模型結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，物理意義明確。

3）根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果和模型仿真結(jié)果的對(duì)比，該新型襯套模型可以準(zhǔn)確描述襯套軸向的頻率相關(guān)性和振幅相關(guān)性。證明筆者所提出的襯套軸向動(dòng)態(tài)模型建立方法和參數(shù)識(shí)別方法正確可行。

4）該模型可通過用戶子程序的形式應(yīng)用到Adams等多體動(dòng)力學(xué)軟件的動(dòng)力學(xué)仿真中，具有較高的實(shí)用價(jià)值。

［1］ 張平，柴國鐘，潘孝勇，等.橡膠隔振器靜態(tài)特性計(jì)算方法研究［J］.振動(dòng)、測(cè)試與診斷，2010，30（2）：105－110.

Zhang Ping，Chai Guozhong，Pan Xiaoyong，et al.Investigation on calculation method for the static characteristics of a rubber isolator［J］.Journal of Vibration，Measurement ＆ Diagnosis，2010，30（2）：105－110.（in Chinese）

［2］ 李軍強(qiáng)，劉宏昭，王忠民.線性黏彈性本構(gòu)方程及其動(dòng)力學(xué)應(yīng)用研究綜述［J］.振動(dòng)與沖擊，2005，24（2）：116－121.

Li Junqiang，Liu Hongzhao，Wang Zhongmin.Review on the linear constitutive equation and its dynamics applications to viscoelastic materials［J］.Journal of Vibration and Shock，2005，24（2）：116－121.（in Chinese）

［3］ 潘孝勇.橡膠隔振器動(dòng)態(tài)特性計(jì)算與建模方法的研究［D］.杭州：浙江工業(yè)大學(xué)，2009.

［4］ 郭學(xué)良.面向電動(dòng)輪懸架高頻振動(dòng)特性的橡膠襯套模型［D］.上海：同濟(jì)大學(xué)，2013.

［5］ 潘孝勇，上官文斌，柴國鐘，等.基于超彈性、分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)和摩擦模型的碳黑填充橡膠隔振器動(dòng)態(tài)建模［J］.振動(dòng)與沖擊，2007，26（10）：6－10.

Pan Xiaoyong，Shangguan Wenbin，Chai Guozhong，et al.Dynamic modeling for carbon－filled rubber isolators based on hyperelasticity，fractional derivative and a generalized frictional model［J］.Journal of Vibration and Shock，2007，26（10）：6－10.（in Chinese）

［6］ 上官文斌，呂振華.汽車動(dòng)力總成橡膠隔振器彈性特性的有限元分析［J］.內(nèi)燃機(jī)工程，2003（6）：50－55.

Shangguan Wenbin，LüZhenhua.Finite element analysis of elastic characteristics of rubber isolator for automotive powertrain systems［J］.Chinese Internal Combustion Engine Engneering，2003（6）：50－55.（in Chinese）

［7］ Rossilthin Y A，Shitikova M V.A new method for solving dynamic problems of fraetional derivative Viseoelastieity［J］.Intemational Journal of Engineering Seienee，2001，39：149－176.

［8］ 上官文斌.汽車懸架控制臂液壓襯套動(dòng)態(tài)特性實(shí)測(cè)與計(jì)算分析［J］.振動(dòng)與沖擊，2007，26（9）：7－10.

Shangguan Wenbin.Experment and calculation methods for analyzing dynamic performances of hydraulic bushings used in control arms of a suspension［J］.Journal of Vibration and Shock，2007，26（9）：7－10.（in Chinese）

［9］ Berg M.A rubber spring model for dynamic analysis of rail vehicles［M］.Stockholm：Kungl Tekniska Hogskolan，1995：23－25.

［10］Berg M.A model for rubber springs in the dynamic analysis of rail vehicles［J］.Proceedings of Mechnical Engineers Part F：Journal of Rail and Rapid Transit，1997，211（2）：95－108.

［11］Berg M.A non－linear rubber spring model for rail vehicle dynamics analysis［J］.Vehicle System Dynamics，1998，30（3－4）：197－212.