基于投影尋蹤的低頻振蕩阻尼預(yù)測(cè)

黨 杰，王乙斐

0 引言

隨著電網(wǎng)互聯(lián)程度的不斷提高，系統(tǒng)規(guī)模越來(lái)越龐大，運(yùn)行方式越來(lái)越復(fù)雜，低頻振蕩問題日漸凸現(xiàn)，已成為危及大規(guī)?；ヂ?lián)電網(wǎng)安全穩(wěn)定運(yùn)行的主要因素之一［1～5］。

近年來(lái)，國(guó)內(nèi)外的學(xué)者對(duì)低頻振蕩起振的條件和機(jī)理以及抑制的措施等方面進(jìn)行了不斷的探索和詳細(xì)的分析，也取得了大量的研究成果［6～10］;然而由于互聯(lián)電網(wǎng)的復(fù)雜性，低頻振蕩問題仍未得到有效解決。筆者認(rèn)為，應(yīng)借鑒電力系統(tǒng)三道防線的概念，分別從以下3 個(gè)階段對(duì)低頻振蕩現(xiàn)象進(jìn)行認(rèn)知、預(yù)防和控制:其一，在發(fā)電側(cè)設(shè)計(jì)合理的防止低頻振蕩的勵(lì)磁控制;其二，利用低頻振蕩在線預(yù)警系統(tǒng)進(jìn)行預(yù)防控制;最后，當(dāng)?shù)皖l振蕩事故發(fā)生時(shí)，采取緊急控制防止事故蔓延。

目前，研究低頻振蕩的方法主要是針對(duì)系統(tǒng)已檢測(cè)到的振蕩曲線判斷低頻振蕩是否發(fā)生，此類方法不能做到防患于未然。事實(shí)上，在電網(wǎng)的運(yùn)行狀況發(fā)生改變時(shí)，如果能夠根據(jù)系統(tǒng)的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)及時(shí)掌握系統(tǒng)阻尼的變化情況，對(duì)低頻振蕩模式的阻尼做出準(zhǔn)確預(yù)測(cè)，即可對(duì)電力系統(tǒng)可能產(chǎn)生的弱阻尼模式采取及時(shí)的控制措施，有效防范低頻振蕩的發(fā)生。

基于此，本文利用投影尋蹤方法，建立對(duì)低頻振蕩進(jìn)行阻尼預(yù)測(cè)的數(shù)學(xué)模型，把描述電力系統(tǒng)運(yùn)行特性的高維數(shù)據(jù)通過某種組合投影到低維子空間上，在低維空間上對(duì)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析。此方法成功克服高維數(shù)據(jù)的“維數(shù)災(zāi)”問題，能夠?qū)φ袷幠Ｊ降淖枘徇M(jìn)行準(zhǔn)確預(yù)測(cè)。該方法的準(zhǔn)確性和實(shí)用性在華中電網(wǎng)的工程實(shí)際中得到了有效驗(yàn)證，從而為電力系統(tǒng)低頻振蕩問題的解決創(chuàng)造了條件。

1 投影尋蹤基本原理

隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，高維數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析越來(lái)越普遍，也越來(lái)越重要，如遙感衛(wèi)星數(shù)據(jù)、GIS 中的大量數(shù)據(jù)、電力系統(tǒng)中廣域測(cè)量信息系統(tǒng)(WAMS)的數(shù)據(jù)分析等。

多元統(tǒng)計(jì)分析是解決這類問題的有力工具。傳統(tǒng)的多元統(tǒng)計(jì)分析方法是建立在總體服從某種分布，比如正態(tài)分布，這個(gè)假定的基礎(chǔ)上的，采用證實(shí)性數(shù)據(jù)分析方法(Confirmatory Data Analysis，簡(jiǎn)稱CDA)，即“假定—模擬—檢驗(yàn)”的方法。但在實(shí)際問題中有許多數(shù)據(jù)并不滿足正態(tài)分布，需要用穩(wěn)健的或非參數(shù)的方法去解決。然而，當(dāng)數(shù)據(jù)維數(shù)很高時(shí)，這些方法都將面臨一些困難:隨著維數(shù)的增加，計(jì)算量迅猛增大;對(duì)于高維數(shù)據(jù)，存在高維空間中點(diǎn)稀疏的“維數(shù)災(zāi)”，非參數(shù)方法也很難使用;低維時(shí)，穩(wěn)健性能好的統(tǒng)計(jì)方法用到高維時(shí)穩(wěn)健性變差。因此，傳統(tǒng)的CDA方法對(duì)于高維非正態(tài)、非線性數(shù)據(jù)分析很難得到很好的效果［11］。

投影尋蹤 (Projection Pursuit，即PP)是20世紀(jì)70 年代由美國(guó)科學(xué)家Kruskal 提出的一種用來(lái)分析和處理高維觀測(cè)數(shù)據(jù)，尤其是非線性、非正態(tài)高維數(shù)據(jù)的一類新興統(tǒng)計(jì)方法，是應(yīng)用數(shù)學(xué)、統(tǒng)計(jì)學(xué)和計(jì)算機(jī)技術(shù)的學(xué)科交叉，屬前沿領(lǐng)域［11］。其基本思想是:利用計(jì)算機(jī)技術(shù)把高維數(shù)據(jù)通過某種組合投影到低維子空間上，尋找出能反映原高維數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)或特征的投影;再在低維上對(duì)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，以達(dá)到分析研究高維數(shù)據(jù)的目的。該方法的優(yōu)勢(shì)在于:它能夠在低維子空間上進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，可成功克服高維數(shù)據(jù)的“維數(shù)災(zāi)”;另外，投影尋蹤與其他非參數(shù)法一樣，雖然是以數(shù)據(jù)線性投影為基礎(chǔ)，但它尋找的是線性投影中的非線性結(jié)構(gòu)，可用來(lái)解決某些非線性問題。

2 投影尋蹤阻尼預(yù)測(cè)模型

投影尋蹤阻尼預(yù)測(cè)模型的建模過程包括以下幾步:

(1)樣本預(yù)測(cè)因子集的歸一化處理

為消除各預(yù)測(cè)因子的量綱、統(tǒng)一各預(yù)測(cè)因子的變化范圍，首先必須對(duì)樣本的預(yù)測(cè)因子集進(jìn)行歸一化處理。假設(shè)x'(i，j)為第i 個(gè)樣本第j 個(gè)預(yù)測(cè)因子值，則各預(yù)測(cè)因子值的樣本集為{x'(i，j)| i=1，2，…，n;j =1，2，…，p}，其中n，p分別為樣本個(gè)數(shù)和預(yù)測(cè)因子的數(shù)目。歸一化的方法有很多，如:對(duì)越大越優(yōu)的預(yù)測(cè)因子可采用:

式中:xmin(j)為第j 個(gè)指標(biāo)值的最小值;xmax(j)為第j 個(gè)指標(biāo)值的最大值;x (i，j)為預(yù)測(cè)因子特征值歸一化后的序列。

對(duì)越小越優(yōu)的預(yù)測(cè)因子可采用:

本文采用標(biāo)準(zhǔn)化值，即:

式中:Ex(j)，Sx(j)分別為第j 個(gè)預(yù)測(cè)因子x(j)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差。

(2)構(gòu)造投影指標(biāo)函數(shù)Q(a)

設(shè)預(yù)測(cè)對(duì)象的樣本為{y(i)|i =1，2，…，n}，把p 維數(shù)據(jù){x(i，j)|j =1，2，…，p}綜合成為以a ={a(1)，a(2)，…，a(p)}為投影方向的一維投影值z(mì)(i)，即:

式中:a 為單位長(zhǎng)度向量。然后根據(jù)z(i) ～y(i)的散點(diǎn)圖建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型。

綜合投影預(yù)測(cè)因子值時(shí)，要求投影值z(mì)(i)應(yīng)盡可能大地提取x(i，j)中的變異信息，即z(j)的標(biāo)準(zhǔn)差達(dá)到Sz盡可能大，即:

式中:E(z)為序列{z(i) | i =1，2，…，n}的平均值。

同時(shí)要求z(i)與y(i)的相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值| Rzy| 達(dá)到盡可能大。這樣得到的投影值就可望能盡可能多地?cái)y帶預(yù)測(cè)因子樣本集{x(i，j)| i =1，2，…，n;j=1，2，…，p}的變異信息，并且能夠保證投影值對(duì)預(yù)測(cè)對(duì)象y(i)具有很好的解釋性;即局部投影點(diǎn)盡可能密集，最好凝聚成若干個(gè)點(diǎn)團(tuán)，而在整體投影點(diǎn)團(tuán)之間應(yīng)盡可能散開。因此，投影指標(biāo)函數(shù)可以構(gòu)造成:

式中:Rzy為z(i)與y(i)的相關(guān)系數(shù)，即:

式中:Ez 和Ey 分別為序列{z(i)| i =1，2，…，n}和{y(i)| i=1，2，…，n}的平均值。

(3)優(yōu)化投影指標(biāo)函數(shù)

通過求解投影預(yù)測(cè)因子函數(shù)最大化問題來(lái)估計(jì)最佳投影方向，即:

這是一個(gè)以a ={a(1)，a(2)，…，a(p)}為優(yōu)化變量的復(fù)雜的非線性優(yōu)化問題，用傳統(tǒng)的優(yōu)化方法處理較難;本文采用PSO 粒子群優(yōu)化算法來(lái)解決全局尋優(yōu)問題［12～15］。

(4)用門限回歸 (Threshold Regression，簡(jiǎn)稱TR)模型描述投影值與預(yù)測(cè)對(duì)象之間的非線性關(guān)系

TR 模型能有效地描述具有突變性、準(zhǔn)周期性、分段相依性等復(fù)雜現(xiàn)象的非線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，門限的控制作用保證了TR 模型預(yù)測(cè)精度的穩(wěn)健性和廣泛的適應(yīng)性。

把上一步求得的最佳投影方向a*代入式(4)后可得各樣本點(diǎn)的投影值z(mì)*(i)。當(dāng)z*(i)～y(i)的散點(diǎn)圖中的點(diǎn)群大致呈分段線性分布時(shí)，就可采用分段線性模型來(lái)描述投影值與預(yù)測(cè)對(duì)象之間的關(guān)系?；诖耍萌缦耇R 模型描述z*(i)～y(i)間的非線性關(guān)系:

r(0)= － ∞，r(L)= + ∞，r(j)(j =1，2，…，L－1)為門限值，L 為門限區(qū)間的個(gè)數(shù)。

e(j，i)對(duì)每一個(gè)固定的j 是固定方差的白噪聲序列。

Ez(j)，Ey(j)分別為對(duì)應(yīng)z*(i)落在門限區(qū)間［r(j－1)，r(j)］中的樣本點(diǎn)z*(i)和y(i)的均值。

b(j)為第j 個(gè)門限區(qū)間內(nèi)的回歸系數(shù)，為待定模型參數(shù)。

(5)用相關(guān)分析技術(shù)確定門限變量和門限延遲步數(shù)d

Rzy為z(i)與y(i)的相關(guān)系數(shù)，把相關(guān)系數(shù)絕對(duì)值最大的z*(i)作為門限變量，d 為y(i)與門限變量之間的時(shí)移相關(guān)系數(shù)最大值所對(duì)應(yīng)的時(shí)移。

(6)確定門限區(qū)間個(gè)數(shù)L 和門限值r(1)～r(L－1)的尋優(yōu)范圍

根據(jù)分段線性的段數(shù)來(lái)確定門限區(qū)間的個(gè)數(shù)L，在分段線性的轉(zhuǎn)折點(diǎn)附近確定各門限值r(1)～r(L－1)的搜索范圍，從而減少尋優(yōu)的工作量。

大多數(shù)模型都只有兩個(gè)門限區(qū)間，此時(shí)只需對(duì)一個(gè)門限值r(1)尋優(yōu)。綜合現(xiàn)有的文獻(xiàn)可知，r(1)可表征時(shí)間序列的均值特性，所以可將Ez(j)的一個(gè)領(lǐng)域作為r(1)的搜索范圍，計(jì)算開始時(shí)直接在此范圍尋優(yōu)。

(7)用PSO 粒子群優(yōu)化算法優(yōu)化各門限值r(1) ～r(L－1)和各回歸系數(shù)b(j)

可以直接在模型的最小二乘估計(jì)準(zhǔn)則下優(yōu)化，即通過求解如下最小化問題來(lái)確定:

式中:y*(i)為把z*(i)代入式(9)中除白噪聲以外所得預(yù)測(cè)對(duì)象的計(jì)算值，它是各門限值r(1)～r(L－1)和各門限區(qū)間內(nèi)回歸系數(shù)b(j)的函數(shù)。

(8)阻尼預(yù)測(cè)

按y*(i)值從大到小排序，可以將樣本從優(yōu)到劣進(jìn)行排序，知道哪種運(yùn)行方式對(duì)系統(tǒng)阻尼較不利。

根據(jù)最佳投影方向，可以進(jìn)一步分析各個(gè)預(yù)測(cè)因子對(duì)最后評(píng)價(jià)結(jié)果的影響程度，即將a*值進(jìn)行排序得到各個(gè)預(yù)測(cè)因子的貢獻(xiàn)率大小。在此也可進(jìn)一步了解哪些因素惡化系統(tǒng)阻尼最明顯。

3 投影尋蹤在低頻振蕩阻尼預(yù)測(cè)中的應(yīng)用

將上文建立的投影尋蹤阻尼預(yù)測(cè)模型用于分析華中電網(wǎng)的低頻振蕩模式。表1 給出川豫振蕩模式在25 種不同運(yùn)行方式下的系統(tǒng)阻尼y(i)，i=1，2，…，25，及其有關(guān)的5 個(gè)預(yù)測(cè)因子的值，其中5 個(gè)預(yù)測(cè)因子分別為:

z'(i，1):鄂豫斷面潮流，以鄂送豫潮流為正，豫送鄂為負(fù)。

z'(i，2):鄂湘斷面潮流，以鄂送湘潮流為正，湘送鄂為負(fù)。

z'(i，3):鄂贛斷面潮流，以鄂送贛潮流為正，贛送鄂為負(fù)。

z'(i，4):川渝斷面潮流，以川送渝潮流為正，渝送川為負(fù)。

z'(i，5):鄂渝斷面潮流，以鄂送渝潮流為正，渝送鄂為負(fù)。

首先利用表1 的25 組數(shù)據(jù)建立投影尋蹤門限回歸模型。由于樣本數(shù)量有限，用表1 中的任意24 個(gè)樣本建模，預(yù)留1 個(gè)樣本作預(yù)測(cè)。為了驗(yàn)證該方法預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性，第二次選擇預(yù)留另一個(gè)樣本作預(yù)測(cè)。這樣循環(huán)多次，在樣本數(shù)量有限的情況下，既可保證建模樣本的數(shù)量，又能證明預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性。如表1 中，就是預(yù)留方式13 作為預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)，其余作為建模數(shù)據(jù)，得到的結(jié)果。

把建模樣本根據(jù)式(3)轉(zhuǎn)換成標(biāo)準(zhǔn)化序列，依次代入式(4)～(8)，得到投影指標(biāo)函數(shù)的值為0.630 5，最佳投影方向?yàn)閍*= ［0.299 3，0.313 7，－0.063 9，0.674 7，－0.593 9］。

把a(bǔ)*值代入式(4)后即得各樣本點(diǎn)的投影值的計(jì)算值z(mì)*(i)，見表1。z*(i)～y(i)的散點(diǎn)圖見圖1。從散點(diǎn)圖可以看出，散點(diǎn)明顯分成2 部分，可以用門限回歸的方法用2 條直線分別擬合左右兩部分的散點(diǎn)。

圖1 z* (i) ～y(i)的散點(diǎn)圖

續(xù)表

圖1 表明，可用式(9)來(lái)描述圖1 所示的z*(i)與y (i)之間的關(guān)系。式(9)中的模型參數(shù)L=2，b (1)和b (2)通過PSO 粒子群優(yōu)化算法得到。最后得到的川豫振蕩模式的阻尼預(yù)測(cè)模型為:

式中:y*(i)為與z*(i)對(duì)應(yīng)的阻尼值。用式(11)進(jìn)行擬合檢驗(yàn)和預(yù)測(cè)檢驗(yàn)，結(jié)果如表2 所示。表中擬合一欄是對(duì)24 組數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)的結(jié)果，預(yù)測(cè)是對(duì)運(yùn)行方式13 的統(tǒng)計(jì)。若預(yù)留其它方式做預(yù)測(cè)，結(jié)果也是類似的。若樣本數(shù)據(jù)的數(shù)量加大，預(yù)測(cè)和擬合的效果更好。

由表2 知:

(1)若以阻尼比小于5%的絕對(duì)誤差為合格，則阻尼預(yù)測(cè)模型的擬合合格率和預(yù)測(cè)合格率均為100%，這在工程上是完全可以接受的。

(2)若以相對(duì)誤差小于30%為合格，則除運(yùn)行方式3 和運(yùn)行方式4 不合格以外，阻尼預(yù)測(cè)模型的擬合合格率為92%，預(yù)測(cè)合格率均為100%;運(yùn)行方式3 和運(yùn)行方式4 可以看成是壞數(shù)據(jù)。

表2 阻尼預(yù)測(cè)中的擬合檢驗(yàn)和預(yù)測(cè)檢驗(yàn)

(3)阻尼預(yù)測(cè)模型由于有了門限的控制作用，可描述系統(tǒng)阻尼特性這一非線性復(fù)雜動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的問題。

(4)阻尼預(yù)測(cè)模型的擬合精度和預(yù)測(cè)精度是一致的，顯示出穩(wěn)健的預(yù)測(cè)性能。

4 結(jié)論

本文提出了一種基于投影尋蹤的阻尼預(yù)測(cè)方法。該方法有別于已有的基于實(shí)測(cè)的低頻振蕩在線預(yù)測(cè)，不是在已檢測(cè)到的系統(tǒng)振蕩曲線上判斷低頻振蕩是否發(fā)生;而是對(duì)有限的系統(tǒng)振蕩模式進(jìn)行高維數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析，在事故發(fā)生前預(yù)測(cè)系統(tǒng)在當(dāng)前運(yùn)行方式下的阻尼情況，從而判斷系統(tǒng)是否會(huì)發(fā)生低頻振蕩，以及可能發(fā)生的低頻振蕩模式。結(jié)合華中電網(wǎng)工程實(shí)際驗(yàn)證了該方法的有效性和準(zhǔn)確性，從而為低頻振蕩的在線監(jiān)測(cè)和預(yù)防控制提供了一種新的技術(shù)手段。

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