MATLAB工具箱在軟磁材料單位損耗曲線擬合中的應用

范雋宏，程漢湘

（1.廣州駿發(fā)電氣有限公司，廣東廣州 511447；2.廣東工業(yè)大學，廣東廣州 510006）

MATLAB工具箱在軟磁材料單位損耗曲線擬合中的應用

范雋宏1，程漢湘2

（1.廣州駿發(fā)電氣有限公司，廣東廣州 511447；2.廣東工業(yè)大學，廣東廣州 510006）

介紹了利用MATLAB中的Curve Fitting工具箱圖形界面對軟磁材料的單位損耗數(shù)據(jù)的曲線擬合分析，得出用于變壓器電磁計算的擬合方程。

曲線擬合；MATLAB；單位損耗；變壓器電磁計算

0 引言

在變壓器的電磁方案的設計中，經(jīng)常需要從圖表或曲線獲取數(shù)據(jù)進行計算。在傳統(tǒng)手算的過程中每次都要通過查表或者曲線來確認數(shù)據(jù)十分繁瑣。而在計算機輔助設計的情況下雖然能一次載入全部表格的數(shù)據(jù)再進行插值計算所需值。但對于程序設計來說，這個過程中涉及到目標值在數(shù)據(jù)中的多次對比，而且也牽涉到數(shù)據(jù)的讀取和存放。這些過程都占用計算機的計算和儲存資源而影響計算速度。

在變壓器設計中一般都是使用簡單的一次插值Lagrange插值多項式，由此插值得出的數(shù)值實際是分成了多個線性區(qū)間。而在變壓器電磁方案的設計中所涉及的參數(shù)基本呈非線性關系，例如，鐵磁材料的單位損耗、磁化容量、接縫的磁化容量、油溫升修正值、波紋片的熱負荷等。所以由插值計算的結(jié)果存在誤差。雖然可以通過改變插值多項式來減少誤差。但插值多項式的次數(shù)越高，編程難度越大，資源占用也更多。因而，尋求一種簡單有效的辦法來解決問題具有實際意義。

1 曲線擬合

在工程問題中的函數(shù)是多種多樣的，有的表達式很復雜，有的只有通過經(jīng)驗得出的近似公式。而在變壓器設計中所涉及的參數(shù)，一般都有實際數(shù)據(jù)，例如硅鋼片廠商提供的性能曲線、設計原則中的溫升修正值曲線、波紋片的熱負荷等。問題就變成從現(xiàn)有的觀測數(shù)據(jù)（xi，yi）（i=

1，2，…，N）中，求得變量x與y之間的某種近似關系y=f（x）。從幾何圖形上看，就是根據(jù)數(shù)據(jù)給定的點求一條近似曲線，這樣的問題就是曲線擬合問題。曲線擬合是工程上關于試驗數(shù)據(jù)、經(jīng)驗數(shù)據(jù)的數(shù)學問題的數(shù)值處理方法。

由于這些數(shù)據(jù)是測量所得，難免存在誤差。如果要求擬合的曲線通過每個數(shù)據(jù)點則會保留了測量誤差，因此曲線擬合所求的近似曲線并不一定通過所有給定點，即不要求滿足f（xi）=yi（i=1，2，…，N），只要求曲線能反映數(shù)據(jù)的基本變化趨勢。但同時，必須考慮所得曲線的準確度，通常“最好”的標準是要求f（xi）與yi（i=1，2，…，N）的偏差[yi-f（xi）]的平方和∑i=1[yi-f（xi）]2最小，即為最小二乘曲線擬合，實際上就是在離散情形下的最佳平方逼近。

2 MATLAB

MATLAB是Matrix Laboratory的縮寫，是由美國The Math Works公司出品的商業(yè)數(shù)學軟件，MATLAB是一種用于算法開發(fā)、數(shù)據(jù)可視化、數(shù)據(jù)分析以及數(shù)值計算的高級技術(shù)計算語言和交互式環(huán)境除了矩陣運算、繪制函數(shù)/數(shù)據(jù)圖像等常用功能外，MATLAB還可以用來創(chuàng)建用戶界面及與調(diào)用其他語言（包括C，C++和FORTRAN）編寫的程序。

盡管MATLAB主要用于數(shù)值運算，但利用為數(shù)眾多的附加工具箱（Toolbox）它也適合不同領域的應用，例如控制系統(tǒng)設計與分析、圖像處理、信號處理與通訊、金融建模和分析等。而其中的Curve Fitting Toolbox提供了用于擬合曲線和曲面數(shù)據(jù)的應用程序和函數(shù)。使用該工具箱可以執(zhí)行探索性數(shù)據(jù)分析，預處理和后處理數(shù)據(jù)，比較候選模型，刪除偏值?？梢允褂秒S帶的線性和非線性模型庫進行回歸分析，也可以指定自行定義的方程式。該庫提供了優(yōu)化的計算參數(shù)和起始條件，以提高擬合質(zhì)量。使用此工具箱進行單位損耗、磁化容量等數(shù)據(jù)的曲線擬合非常簡單直接。

3 軟磁材料的性能

軟磁材料的性能包括單位重量的損耗（簡稱單位損耗）和磁導率等參數(shù)，而單位損耗是在交變磁通下產(chǎn)生的，軟磁材料中的磁疇在交變磁通的作用下轉(zhuǎn)向，而在這個過程中消耗能量所產(chǎn)生的損耗，在Steinmetz于1892年發(fā)表的論文中提出，即軟磁材料（硅鋼片、非晶合金等）的損耗來自材料在交變磁通下產(chǎn)生的磁滯損耗[2-3]，到1924年Jordan從對軟磁材料的研究認為，軟磁材料的單位損耗由兩部分組成，分別是磁滯損耗和渦流損耗[2-3]。而渦流損耗來自于在交變磁通下產(chǎn)生的渦流，由于此渦流在垂直于磁場方向流通，而一般以降低軟磁材料的厚度來控制。后來Ber? totti在這基礎提出了附加損耗的概念，軟磁材料的單位損耗分成磁滯損耗、渦流損耗和附加損耗三部分。計算公式如下[3-4]：

其中：Kh：磁滯損耗系數(shù)；

Ke：渦流損耗系數(shù)；

Ka：附加損耗系數(shù)；

a：Steinmetz系數(shù)，通常取1.6～2.2[5]；

B：最大磁密。

4 MATLAB的Curve Fitting工具箱應用

下面以一組30Q130硅鋼片的單位損耗數(shù)據(jù)（表1）作為例子說明Curve Fitting工具箱的使用。在MATLAB的命令行中輸入這組30Q130硅鋼片在50 Hz的單位損耗性能數(shù)據(jù)。

表1 一組30Q130硅鋼片的單位損耗數(shù)據(jù)

然后在MATLAB的應用程序中點擊Curve Fit?ting或者在命令行中用命令cftool啟動Curve Fitting工具箱。

在Fit name中填寫擬合的名字(可選)，然后分別選擇B和Q130作為X data和Y data。在MAT?LAB R2014a中默認是選定了一次多項式進行自動擬合。但明顯誤差很大，這里先根據(jù)上述的單位鐵損模型構(gòu)造擬合方程，所以在下拉菜單選擇Custom Equation。

假設頻率固定為50 Hz，則自定義方程可以選為：

把此方程輸入到窗口中按回車，則程序會擬合出一條曲線。但由于系數(shù)初值的選取和范圍沒限制，MATLAB提示函數(shù)并沒有在限定的迭代次數(shù)內(nèi)收斂，雖然找到擬合，但明顯結(jié)果變差很大。但上文中提到的Stein?metz系數(shù)，即方程中的b有一定范圍。工具箱中提供系數(shù)的初值選擇和范圍選擇，則可以根據(jù)這個系數(shù)的特點優(yōu)化擬合。具體點擊Fit Op?tion，如圖 1所示在窗口中對 Unknowns中的b填入StartPoint（初值）為2， Lower（下限）為1.6，Upper（上限）2.2.在點擊Close關閉窗口，則

工具箱自動計算出的曲線擬合如圖2。

圖1 擬合參數(shù)設定

5 對擬合結(jié)果的分析

MATLAB給出的模型如下

圖2 根據(jù)單位鐵損模型建立的曲線擬合

其中Goodness of fit是分析擬合好壞的參數(shù)，他們的代表的意義如下。

SSE：偏差的平方和，這是表示擬合值和測量值的偏差。數(shù)值越接近零代表擬合中的隨機錯誤越少，擬合能更有好地估算結(jié)果。

R-Square：復測定系數(shù)，這項反映擬合結(jié)果能否正確反映數(shù)據(jù)的變化趨勢，是擬合值和實際值之間關聯(lián)性的平方，數(shù)值越接近1表示擬合值和實際值正雙關度越高，擬合越好。當方程沒有常數(shù)項時，R-Square可能為負，此時應為方程增加一個常數(shù)項來實現(xiàn)更好的擬合。另外，隨著系數(shù)數(shù)量增加，R-Square越接近1，但擬合實際上未必更好。此時要參考下個參數(shù)。

Adjusted R-Square：根據(jù)殘差自由度調(diào)整的R-Square。此項通常是比較同一類模型在增加系數(shù)后兩者之間的好壞，數(shù)值越接近1表示擬合越好。如果此項為負，則表示存在對預測數(shù)值沒有幫助的系數(shù)，此時應該減少系數(shù)的個數(shù)。

RMSE：均方根誤差，也叫擬合的標準誤差，是對數(shù)據(jù)中隨機分量的標準偏差的估計。數(shù)值越接近零代表擬合越好。

在工具箱中還可以把擬合保存到MATLAB中進行其他分析。操作如下，點擊菜單中的Fit，選擇save to workspace。彈出窗口如圖3，點擊確定，則擬合結(jié)果將按圖3中的變量名稱保存到MATLAB中。然后可以參考MATLAB的幫助文檔中心進行其他分析。下面舉例分析擬合值和測量值的偏差。命令如下：

y’-Q130

最后輸出擬合值和測量值偏差如下：

0.037 5 0.040 0 0.018 6 -0.036 7 -0.075 7

以上誤差均在小數(shù)點后兩位，對用于變壓器設計中計算精確到個位的空載損耗來說，擬合值的精度略嫌不足。雖然可得此30Q130硅鋼片單位損耗擬合方程如下。但對于空載損耗計算來說，還需要尋找更高精度的擬合。

f(B)=-128.5 B1.987+125.5 B2+3.362 B1.5

圖3 保存擬合到MATLAB Workspace

6 無具體模型時的Curve Fitting工具箱應用

變壓器設計涉及電學、電磁學、熱學、力學等各方面的知識，設計員的精力有限，很難同時精通各方面的知識。很多時候只有實驗數(shù)據(jù)或經(jīng)驗數(shù)據(jù)，而沒有和數(shù)據(jù)對應的數(shù)學模型。而Curve Fitting工具箱中內(nèi)置了多項式、指數(shù)函數(shù)、傅里葉級數(shù)等模型供選擇，則可以通過選擇不同的模型和參數(shù)來對數(shù)據(jù)進行分析，嘗試出一個適合數(shù)據(jù)而又滿足工程需要的近似模型。

在工程學上，很多時候為了計算的簡便，會把復雜的模型中影響較小的項去掉而達到簡化模型的效果。而且由于工藝、技術(shù)等種種原因，很多時候測量的數(shù)據(jù)會比理論的數(shù)據(jù)略大。這里再以30Q130硅鋼片的數(shù)據(jù)為例，在模型不確定的情況下再進行分析。

在這之前，先對根據(jù)模型建立的擬合進一步分析，在Curve Fitting工具箱界面中的菜單中點擊View勾選Residuals Plot。這樣繪制出殘差的圖形如圖4，明顯可以看出呈正弦波形式分布，同時從圖2可以看出測量數(shù)據(jù)先呈線性上升，后再呈非線性上升。由此分析可知應該把測量數(shù)據(jù)分開線性和非線性的兩段進行分析。同時，在變壓器設計應用上很少會用到較低的磁通密度，因此，把數(shù)據(jù)空間縮窄，只分析磁通密度由0.9到1.8的數(shù)據(jù)。

在MATLAB命令行中輸入數(shù)據(jù)如下：

B=[0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15 1.2 1.25 1.3 1.35 1.4 1.45 1.5 1.55 1.6 1.65 1.7 1.75 1.8]

Q130=[0.32 0.355 0.385 0.415 0.455 0.49 0.54 0.59 0.63 0.68 0.74 0.795 0.87 0.94 1.03 1.12 1.24 1.4 1.55]

啟動Curve Fitting工具箱并分別選擇B和Q130作為X data和Y data。通過從下拉菜單中選擇來嘗試不同的模型，下面簡單說明幾個常用的模型：

Polynomial（多項式模型）通常用于需要一個簡單的經(jīng)驗模型的場合，多項式模型可以用于插值、歸納或者用一個全局匹配來表示數(shù)據(jù)。

Exponential（指數(shù)模型）通常用于某變量的變化率與該變量的初始值成一定比例的場合。

圖4 殘差（Residual）圖形

Fourier（傅里葉級數(shù)模型）通常用于周期性變化的信號。

Gaussian（高斯模型）通常用于鐘罩型的曲線，即到達某一點快速上升到極點然后快速恢復到原來水平。廣泛應用于科學和工程領域中呈正態(tài)分布的數(shù)據(jù)。

其他模型在此不做介紹，有興趣的可以參照MATLAB的幫助文檔。

根據(jù)上面的介紹，可以嘗試多項式模型對數(shù)據(jù)進行歸納。通過調(diào)整系數(shù)數(shù)量(Degree)，可以發(fā)現(xiàn)從4階多項式開始，擬合的誤差比較小。再往上提升階數(shù)的擬合的誤差基本相同。而且分析Goodness of fit中的Adjusted R-Square基本不變，說明增加的系數(shù)并沒有提供更有效的擬合，則可確定4階多項式模型下可建立有效的擬合。結(jié)果如圖5，擬合數(shù)據(jù)如下：

用同樣的辦法可在MATLAB計算擬合值和測量值的誤差為

Columns 1 through 12

0.004 5 -0.005 2 -0.004 0 0.001 5 0.000 3 0.006 5 -0.000 2 -0.005 0 0.002 5 0.002 9 -0.002 7 0.001 9

Columns 13 through 19

-0.006 4 -0.000 6 -0.003 3 0.008 5 0.007 7 -0.012 0 0.003 1

可見擬合值跟測量值的有效數(shù)字基本相同，滿足工程計算的需要。所得擬合方程如下：

f(B)=2.384B4-11.294B3+20.42B2-15.85B+4.709

圖5 4階多項式擬合

7 對于兩種應用方法的分析

對于上述30Q130硅鋼片單位損耗的分析，在按照其損耗的數(shù)學模型情況下的擬合誤差較大，其中原因之一是簡化了的模型和生產(chǎn)工藝等參數(shù)的誤差，即簡化工程模型與實際生產(chǎn)的產(chǎn)品存在誤差，而這個誤差對于變壓器損耗的精確計算有影響，或許軟磁材料的單位損耗中還存在其他種類的損耗。另外一個原因在文中也有提到，就是各個參數(shù)的初值和上下限的選取，這將會影響擬合的好壞。但在這些參數(shù)不明確的情況（即模型不確定）下，利用Curve Fitting工具箱的易用性，嘗試不同的模型對數(shù)據(jù)進行分析，也可以建立一個有效的擬合。同時，在系數(shù)數(shù)量的選取上也應注意，過多的系數(shù)不但使模型復雜化，而且不一定能有效地提高擬合質(zhì)量，亦有可能降低擬合方程的精確度，需要合理地選取系數(shù)數(shù)量。另外，由于數(shù)據(jù)的特殊性，有時還需要對數(shù)據(jù)分成不同區(qū)間分別擬合，雖然相對復雜，但對于呈非線性關系的數(shù)據(jù)來說，對比用插值法分區(qū)間線性插值差值還是有區(qū)間可以更大、精度較高的優(yōu)勢。而且得出的擬合方程對于計算機編程來說也要簡單得多。

理論上，通過對研究對象的理解而建立的模型通常會更合適。雖然需要對研究對象有更深入的認識，長遠來說對模型優(yōu)化有重要意義。但是在模型不確定的情況下，通過對數(shù)據(jù)的簡單分析來分別試用不同模型或參數(shù)來建立擬合可以免去對模型深入分析所需的大量時間，同時也是在模型分析困難時的較好辦法。

8 總結(jié)

由上看出，使用MATLAB的Curve Fitting工具箱能直觀地對數(shù)據(jù)進行分析，簡單快捷的得出反映數(shù)據(jù)變化趨勢的方程。對于像軟磁材料單位損耗這種參數(shù)，雖然它遵循一定模型，但是模型中的系數(shù)隨著材料不同、規(guī)格不同、廠家工藝等數(shù)據(jù)而變化。使得獲取一個通用的模型比較困難，而利用MATLAB可以簡單的為變壓器設計中所用到的軟磁材料的性能建立一個有效的近似模型，進而達到優(yōu)化計算機輔助設計程序的目的。同理，MATLAB不但可以用于磁化容量、接縫磁化容量、波紋片熱效率、油溫升校正等變壓器設計中的測量數(shù)據(jù)或經(jīng)驗數(shù)據(jù)的分析處理中，同時也可以應用到其他電氣設備的設計中。

［1］李紅.數(shù)值分析：第2版［M］.武漢：華中科技大學出版社，2010.

［2］崔立君.特種變壓器理論與設計［M］.北京：科學技術(shù)文獻出版社，1995.

［3］ Krings，A&Soulard，J.Overview and Comparison of Iron Loss Models for Electrical Machines［A］.Paper presented at 5th International Conference and Exhibition on Ecological Vehicles and Renewable Energies（EVER 10）［C］，Monte-Carlo，MONACO，MAR 25-28，2010.

［4］ Bertotti G.General Properties of Power Losses in Soft Fer?romagnetic Materials［J］.IEEE Transactions on Mag?netics，1988，24：621-630.

［5］趙海森，楊亞秋.鐵磁材料損耗的產(chǎn)生機理及其計算基礎［J］.陜西電力，2010（3）：55-57.

Application of MATLAB Toolbox on Unit Loss Curve Fitting of Soft Ferromagnetic Material

FAN Juan-hong1，CHENG Han-xiang2
（1.Guangzhou Junfa Electic Co.，Ltd.，Guangzhou511447，China；2.Guangdong University of Technology，Guangzhou510006，China）

Application of Curve Fitting toolbox in MATLAB for analysis of iron loss of soft ferromagnetic materials is introduced.Data are fitted to extrapolate formula for computer aided transformer design.

curve fitting；MATLAB；unit loss；transformer design

TP391

A

1009－9492(2014)08－0101－06

10.3969/j.issn.1009-9492.2014.08.030

范雋宏，男，1982年生，廣東番禺人，大學本科。研究領域：干式和油浸式變壓器設計。

(編輯：王智圣)

2014－07－03