邊水推進對水平井產量的影響

李曉平，袁淋，羅誠，劉斌，劉振平

邊水推進對水平井產量的影響

李曉平1，袁淋1，羅誠2，劉斌1，劉振平1

（1.西南石油大學油氣藏地質及開發(fā)工程國家重點實驗室，成都610500；2.中國石油川慶鉆探工程公司地質勘探開發(fā)研究院，成都610056）

邊水油藏開發(fā)過程中，即使水平井井底未見水，但邊水推進仍會影響水平井產量?；谒骄S滲流場模型，將三維滲流場分為內部和外部2個徑向滲流場，考慮外部滲流場邊水推進的影響，分別運用坐標變換與保角變換方法求得內部與外部滲流場的產能公式，根據等效滲流阻力原理最終獲得了考慮邊水推進的水平井產能計算新公式。實例計算發(fā)現，新公式計算結果與實際產量絕對誤差及相對誤差均較小，表明新公式準確性較高，實用性較好。敏感性分析結果表明，考慮邊水推進條件的水平井產量小于未考慮邊水推進條件的水平井產量，且隨著邊水推進距離增大，水平段長度越小，產量減小的幅度越大；水平段長度越大，產量減小的幅度越小。該研究成果為邊水推進過程中水平井產能預測提供了新思路。

邊水推進；橢圓形；坐標變換；保角變換；水平井產量

0 引言

水平井技術已在邊水油藏開發(fā)中廣泛運用［1-3］，這是因為水平井具有泄油面積大和生產壓差小等特點，但是邊水推進以及由此導致的井底見水均是影響水平井產量的重要因素。目前，雖然國內外學者［4-7］提出了一系列優(yōu)化方法，通過控制水平井井筒位置以及產量來延緩井底見水的時間，但是始終無法避免邊水推進，最終導致產量下降。目前的邊水油藏水平井穩(wěn)態(tài)產能公式只適用于邊水推進前水平井產能的預測［8-9］，而關于邊水推進過程中水平井產能預測模型尚未見報道。筆者以Joshi［10］對水平井產能的研究為基礎，將水平井三維滲流場分為內部與外部2個徑向滲流場，考慮外部滲流場邊水推進的影響，分別運用坐標變換與保角變換方法得到邊水推進過程中水平井產能計算新公式；同時利用實例數據驗證新產能公式的準確性，并分析邊水推進對水平井產能的影響，為邊水油藏開發(fā)過程中水平井產能預測提供新思路。

1 產能公式推導

1.1 物理模型

假設水平井位于頂、底封閉和水平方向存在邊水供給邊界的各向異性油藏中部，流體在油藏中的滲流為穩(wěn)定滲流，流體微可壓縮，不考慮表皮效應以及井筒壓降對水平井產能的影響，邊水沿水平方向呈橢圓形徑向推進，邊水推進區(qū)域內為油水兩相滲流，目前井底尚未見水。水平井內部滲流場與外部滲流場的物理模型如圖1所示。圖1中a1，a2與a3分別為橢圓形供給邊界、油水前緣及內部滲流場的長半軸，m；b1，b2與b3分別為橢圓形供給邊界、油水前緣及內部滲流場的短半軸，m；pe1，pe2，pe3與pwf分別為油藏邊界驅動壓力、油水前緣處壓力、內外部滲流場交界面壓力以及目前井底流壓，MPa；h為油層厚度，m；d為目前邊水推進距離，m。

1.2 內部滲流場產能公式推導

內部滲流場等壓線為一簇簇橢球面［11］，當壓力波呈橢球面?zhèn)鞑サ接筒仨?、底邊界時，橢球面為內部滲流場的供給邊界［參見圖1（a）］，該橢球面方程可以寫為

在橢球面供給邊界上任一位置χ處的y-z橫截面均為一個橢圓，橢圓方程及長、短半軸分別為

圖1 水平井內部與外部滲流場物理模型Fig.1Physic models of internal seepage field and external seepage field of horizontal well

在水平井任一位置χ處選取微元井段dχ，其在y-z平面內可以看成橢圓形供給邊界中的一口“普通直井”［圖2（a）］，其中Kv和Kh分別為油藏垂直方向和水平方向滲透率，mD。假設各向異性地層中滲透率張量方向與坐標軸方向相同，則y-z平面上穩(wěn)態(tài)滲流方程為

圖2內部滲流場坐標變換Fig.2Coordinate transformation in internal seepage field

式中：p為內部滲流場任一位置處的壓力，MPa。

內部滲流場邊界條件為

式中：r為內部滲流場任一點的徑向距離，m；rw為井筒半徑，m。

可轉變?yōu)槔绽狗匠蹋?/p>

內部滲流場邊界條件變?yōu)?/p>

引入保角變換u=mcoshρcosθ和v=msinhρsinθ，將橢圓坐標系轉變?yōu)棣?θ極坐標系，其中m為待定常數，設ρw代表井筒橢圓參數，應用cos2θ+sin2θ=1，式（7）可變?yōu)?/p>

內部滲流場邊界條件變?yōu)棣?ρw和p=pwf，由于式（7）的解與θ無關，因此式（7）的解為p=pwf+C（ρρw），其中C為與流量有關的常數。沿著閉合等壓線對速度進行積分可以得到流量dqo，即

式中：dqo為微元段產量，m3/d；vn為等壓線法線方向滲流速度，m/d；s為等壓線圓弧，m。

對式（8）進行積分，結合內部滲流場邊界條件得

式中：μo為原油黏度，mPa·s；ρw為極坐標系中的井筒半徑，m。

當ρ取較大值時，cosh ρ≈sinh ρ，u-v平面上等壓線為圓形［參見圖2（b）］。等壓線平均半徑可以定義為內部滲流場橢圓長軸與短軸的平均值，即式中：為內部滲流場任一點處的長、短半軸平均值，mw為井筒半徑的平均值，m。

將式（10）代入式（9）得

式中：β為各向異性系數，無量綱。

在內部滲流場供給邊界上，選取點（ve，0），由式（10）得

式中：ρe為極坐標系中的內部滲流場供給半徑，m；ve為坐標變換后內部滲流場供給邊界上一點，m。

由式（10）及式（13）可得到內部滲流場平均供給半徑，即

式中：re.eq為內部滲流場平均供給半徑，m。

因此，式（11）可變?yōu)?/p>

通常情況下，油層厚度等于水平井水平段長度的直井的產量計算公式為

式中：K為直井地層滲透率，mD；L為水平井水平段長度，m；Δp為直井生產壓差，MPa；qvo為直井產量，m3/d；Ru為內部滲流場等效阻力，無量綱。

對比式（15）與式（16），并對χ在［-L/2，L/2］進行積分，得到內部滲流場的等效阻力為

1.3 外部滲流場產能公式推導

隨著邊水的推進，外部滲流場變?yōu)闄E圓形復合區(qū)域，引入保角變換［12］，即

式中：Z與W分別為保角變換前、后外部滲流場任一點處的坐標，C。

通過保角變換，將橢圓形復合區(qū)域內的滲流問題變換為圓形復合區(qū)域的滲流問題（圖3），圖3中Re1，Re2和Re3分別為保角變換后的供給邊界、油水前緣和外部滲流場等效井筒直徑，m。

變換后圓形復合區(qū)域的半徑分別為

圖3 外部滲流場保角變換的圓形復合區(qū)域Fig.3Circular composite area after conformaltransformation in external seepage field

式中：Re為保角變換前的供給邊界，m。

在Re3—Re2區(qū)域內，流體為油相單相滲流，根據平面徑向單相滲流，可得

式中：qo為水平井地下流量，m3/d。

在Re2—Re1區(qū)域內，流體為油水兩相滲流，根據平面徑向兩相滲流原理，可得

式中：qL為外部滲流場地下產液量，m3/d；Krw為水相相對滲透率，無量綱；Kro為油相相對滲透率，無量綱；μw為水相黏度，mPa·s。

含水飽和度分布規(guī)律滿足徑向Buckley-Levereet方程［13］：

式中：φ為儲層孔隙度，%；fw為分流率，無量綱；Sw為含水飽和度，%；Q為邊水累計推進量，m3。

當r=Re2，則該處為油水驅替前緣，則式（22）可以寫為

式中：Swf為前緣含水飽和度，%。

綜合式（22）～（23），可得

式中：Sw為含水飽和度，%。

對式（24）兩邊同時微分，得

將式（25）代入式（21），并利用分流率的表達式［14］，油水兩相區(qū)等效滲流阻力為

1.4產能公式

根據油藏體積守恒原理qo=qL，結合內部與外部滲流場產能公式，得到考慮邊水推進條件的水平井產能公式，即

式中：qosc為水平井地面產量，m3/d。

A1的求解方法有2種：一種是圖形擬合法，另一種是數值積分方法。由于求解A1的已知數據均為離散分布，圖形擬合法容易產生較大的誤差，因此，筆者利用數值積分方法求解，具體步驟為：①根據巖心測試數據作油水兩相相對滲透率曲線，再根據分流率表達式計算并繪制分流率分布曲線，求取分流率導數，得到前緣含水飽和度以及前緣含水飽和度對應的分流率導數；②利用各離散數據計算A1，A2與A3，將［0，fw′（Swf）］分為若干個微元段，在每個微元段內運用梯形公式可計算分流率導數的積分值，則整個區(qū)間內的積分值為各個微元段積分值的和。

2 實例計算及影響因素分析

某邊水油藏中水平井基本參數為：油層厚度為10 m，油藏水平方向和垂直方向滲透率分別為3 mD和0.5 mD，邊水驅動壓力為30 MPa，驅動半徑為300 m，水平段長度為500 m，井筒半徑為0.1 m，井底流壓為17 MPa，原油黏度為1 mPa·s，地層水黏度為0.6 mPa·s，原油體積系數為1.2 m3/m3，初投產產量為10.66 m3/d，目前邊水推進距離為20 m，產量為10.53 m3/d，其油水兩相相滲曲線及分流率曲線如圖4所示。

利用實例參數、相對滲透率及分流率數據求得A1，A2與A3，并將其代入式（27），計算得到邊水推進條件下（d=20 m）水平井產量為10.34 m3/d。該計算結果與實際產量數據絕對誤差為0.19 m3/d，相對誤差為1.80%，絕對誤差與相對誤差均較小，表明該產能新公式準確性較高，實用性較強。

圖4 相對滲透率曲線（a）與分流率曲線（b）Fig.4Curves of relative permeability（a）and shunt index（b）

在實例數據的基礎上，制作考慮邊水推進條件（d≠0）與不考慮邊水推進條件（d=0）的邊水驅油藏水平井產量隨水平段長度變化的關系曲線（圖5）。

圖5 邊水推進對水平井產量的影響Fig.5Effect of edge water incursion on productivity of horizontal well

從圖5可以看出，隨著水平段長度增加，水平井產量逐漸增大，但是增大趨勢越來越平緩。對于任意水平段長度，考慮邊水推進條件下的水平井產量比不考慮邊水推進條件的水平井產量低，這是因為邊水推進使得外部滲流場由油相單相滲流變?yōu)榫植坑退畠上酀B流，增大了滲流阻力，因而產量降低，水平段長度越小時產量降低越明顯。

將其他參數固定，制作不同邊水推進距離條件下水平井產量隨水平段長度變化的關系曲線（圖6）。從圖6可以看出，邊水推進并未改變水平井產量隨水平段長度變化的趨勢，產量仍隨水平段長度的增大而增大，但是增大趨勢越來越平緩。當水平段長度一定時，隨著邊水推進距離增大，水平段產量逐漸減小，特別是水平段長度較小時，產量減小更加明顯，而當水平段長度較大時，邊水推進距離對水平井產量的影響較小。這是因為隨著邊水推進距離增大，外部滲流場的兩相滲流區(qū)越來越大，滲流阻力也逐漸增大，因此使得產量減小。對于水平段長度較小的水平井，其對應的泄油面積相對較小，因而兩相滲流區(qū)域占總泄油面積的比值將更大，隨著邊水推進距離增大，滲流阻力增加的速度將更快，因而產量減小更明顯，反之越不明顯。

圖6 不同邊水推進距離對水平井產量的影響Fig.6Effect of different distance of edge water incursion on productivity of horizontal well

3 結論

（1）在邊水油藏開發(fā)過程中，井底雖未見水，但邊水推進后，外部滲流場局部區(qū)域變?yōu)橛退畠上酀B流，內部滲流場仍為橢圓形油相單相徑流，總的滲流阻力增大，因此油井產量會降低。

（2）利用坐標變換與保角變換方法推導了考慮邊水推進過程中產量計算新公式。實例計算發(fā)現，利用新公式計算的結果與實際產量的絕對誤差和相對誤差均較小，說明新公式準確性較高。

（3）敏感性分析表明，不考慮邊水推進條件的水平井產量高于考慮邊水推進條件的水平井產量，且隨著邊水推進距離增大，產量逐漸減小。對于水平段長度較小的水平井，邊水推進距離對其產量的影響較明顯，而對于水平段長度較大的水平井，邊水推進距離對其產量影響較小。

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（本文編輯：李在光）

Effect of edge water incursion on productivity of horizontal well

LI Xiaoping1，YUAN Lin1，LUO Cheng2，LIU Bin1，LIU Zhenping1
（1.State Key Laboratory of Oil and Gas Reservoir Geology and Exploitation，Southwest Petroleum University，Chengdu 610500，China；2.Geological Exploration and Development Research Institute，CNPC Chuanqing Drilling Engineering Co.Ltd.，Chengdu 610056，China）

During the development of reservoir with edge water,even if the water didn’t break through at the bottom of the horizontal well,the edge water incursion still influences the productivity of horizontal well.Based on the threedimensional seepage field model of horizontal well,this paper divided the three-dimensional seepage field into two two-dimensional seepage field which are called internal seepage field and external seepage field respectively,used the methods of transformation of coordinates and conformal mapping to obtain the productivity formulas of the two two-dimensional seepage field,eventually got the new productivity formula of horizontal well considering the edge water incursion according to the principle of equivalent filtration resistance.Practical example shows that result calculated by new formula has small absolute and relative error with actual output,which indicates that the new formula is of high accuracy and good practicability.Sensitivity analysis demonstrates that productivity of horizontal well in consideration of edge water incursion is lower than that with no consideration of edge water incursion. Meanwhile,as the increasing of edge water incursion distance,the productivity of horizontal well decreased to a great extent with short horizontal section,while if the horizontal well length is long enough,the effect can be neglected. This study can provide a new solution to predict the productivity of horizontal wells during edge water incursion.

edgewaterincursion；ellipse；coordinatetransformation；conformalmapping；productivityofhorizontalwell

TE32+8

：A

2013-11-29；

2014-02-18

國家杰出青年科學基金“油氣滲流力學”（編號：51125019）與教育部“長江學者和創(chuàng)新團隊發(fā)展計劃”（編號：IRT1079）聯合資助

李曉平（1963-），男，博士，教授，博士生導師，主要從事滲流力學、試井分析及油氣藏工程方面的教學和科研工作。地址：（610500）四川省成都市新都區(qū)西南石油大學油氣藏地質及開發(fā)工程國家重點實驗室B403室。E-mail：nclxphm@126.com。

1673-8926（2014）05-0107-06