基于S型函數(shù)的α穩(wěn)態(tài)分布脈沖噪聲有源控制

李 沛, 宋曉娜, 侯曉霞, 張景榮

(北京信息科技大學(xué) 機(jī)電實(shí)習(xí)中心, 北京 100192)

0 引 言

有源噪聲控制(Active Noise Control,ANC)是一種主動(dòng)噪聲控制技術(shù)，其基本理念是基于聲波的相抗相消原理，系統(tǒng)通過(guò)控制輸出主動(dòng)產(chǎn)生一個(gè)聲場(chǎng)來(lái)抵消現(xiàn)有聲場(chǎng)，進(jìn)而達(dá)到抑制或消除噪聲的目的。噪聲控制基本原理波形如圖1所示。用輸入傳聲器采集輸入噪聲信息，即時(shí)處理后得到一個(gè)反相信息，再用揚(yáng)聲器(次級(jí)聲源)“實(shí)時(shí)”播放反相信息。反相信號(hào)(消噪波)與噪聲波疊加相抗相消，從而使剩余噪聲波形幅值大大減小，噪聲得以控制[1-2]。

圖2為管道ANC基本框圖。從輸入點(diǎn)輸入?yún)⒖夹盘?hào)x(n)(取自輸入傳聲器)和誤差信號(hào)e(n)(取自誤差傳聲器)，2個(gè)信號(hào)通過(guò)ANC控制器，經(jīng)過(guò)算法處理，輸出控制 信號(hào)y(n)驅(qū)動(dòng)消聲揚(yáng)聲器工作，產(chǎn)生和主噪聲幅值相等、相位相反的次級(jí)聲信號(hào)，兩者相互抵消，有效衰減和抑制了噪聲。

圖1 噪聲控制基本原理

圖2 管道ANC基本框圖

1 經(jīng)典FXLMS算法[3-5]

FXLMS算法是ANC中最具代表性的算法，基于FXLMS算法的ANC如圖3所示。FXLMS算法是自適應(yīng)前饋算法，因其能有效地消除噪聲，算法簡(jiǎn)單易行、容易實(shí)現(xiàn)、穩(wěn)定有效，魯棒性強(qiáng)等特點(diǎn)被廣泛應(yīng)用。FXLMS算法的聯(lián)機(jī)噪聲控制程序如下：

圖3 基于FXLMS算法有源噪聲控制

(1) 從輸入點(diǎn)輸入?yún)⒖夹盘?hào)x(n)、和誤差信號(hào)e(n)。

(2) 計(jì)算抗噪聲信號(hào)y(n)，

其中：Wi(n)是自適應(yīng)濾波器W(z)在n時(shí)刻的系數(shù)；N是濾波器W(z)的順序。

(3) 輸出抗噪信號(hào)y(n)到輸出點(diǎn)用以驅(qū)動(dòng)消聲揚(yáng)聲器工作。

(4) 計(jì)算濾波x轉(zhuǎn)換量x′,

(5) 使用FXLMS算法計(jì)算自適應(yīng)濾波器的更新系數(shù)方程,

wi(n+1)=wi(n)-μe(n)x′(n-i)

i=0,1,…,N-1

其中，μ為步長(zhǎng)。

(6) 為下一次迭代重復(fù)該過(guò)程，記錄該算法需要的存儲(chǔ)單元總數(shù)是2(N+M)乘以參數(shù)。

2 脈沖噪聲有源控制

2.1 脈沖噪聲對(duì)人體健康的影響

自然界中的噪聲主要有兩大類：① 噪聲強(qiáng)度波動(dòng)范圍在5 dB以內(nèi)的連續(xù)性噪聲，是穩(wěn)態(tài)噪聲，如電機(jī)產(chǎn)生的連續(xù)穩(wěn)定的噪聲;② 非穩(wěn)態(tài)噪聲， 如瞬時(shí)、周期起伏、脈沖、無(wú)規(guī)則噪聲。

醫(yī)學(xué)研究表明：非穩(wěn)態(tài)噪聲聽(tīng)力損傷的檢出率明顯高于穩(wěn)態(tài)組，脈沖噪聲危害程度更為明顯，如鍛錘、沖壓、射擊等產(chǎn)生的脈沖噪聲。此種噪聲具有突變、高能和覆蓋頻率范圍廣等特點(diǎn)。對(duì)作業(yè)工人聽(tīng)覺(jué)系統(tǒng)的影響在低工齡段已經(jīng)表現(xiàn)出來(lái)，脈沖噪聲被公認(rèn)為對(duì)聽(tīng)力損傷出現(xiàn)早、危害重。沖壓工人在強(qiáng)烈脈沖噪聲環(huán)境中工作，常有心悸、頭昏、惡心的感覺(jué)，心電圖監(jiān)測(cè)可看出ST段異常、T波改變、R-Q間期增長(zhǎng)等癥狀。一次或多次接觸高強(qiáng)度脈沖噪聲可導(dǎo)致不可逆的嚴(yán)重聽(tīng)力損傷[6-7]。由此可見(jiàn)，對(duì)脈沖噪聲進(jìn)行控制具有很大的意義。目前，在ANC方面已取得了很大進(jìn)步，但大部分是關(guān)于高斯分布穩(wěn)態(tài)噪聲控制，有關(guān)非高斯分布脈沖噪聲控制的研究還處于探索階段。

2.2 α穩(wěn)定分布脈沖噪聲

研究脈沖噪聲，通常采用對(duì)稱α( 0<α<2) 穩(wěn)定分布 ( SαS)來(lái)建模。如果隨機(jī)變量x存在參數(shù),使其特征函數(shù)為：

式中:

則隨機(jī)變量x服從穩(wěn)定分布。α穩(wěn)定分布的特征指數(shù)(0 <α< 2)屬于非高斯分布，有無(wú)界二階矩。脈沖噪聲的幾大特點(diǎn)決定了對(duì)它的有源控制還處于摸索研究階段，脈沖噪聲不符合高斯分布特性；具有尖峰和厚尾統(tǒng)計(jì)特征的概率密度函數(shù)；只有階數(shù)小于α階的分?jǐn)?shù)低階矩是有界的；不存在有界二階矩；脈沖噪聲還具有重復(fù)性。圖4為不同α值的概率密度分布曲線。從圖中可以看出，α值從2～0.5逐漸變小，分布拖尾逐漸變厚，脈沖特性越發(fā)顯著;相反，隨著α值變大，所對(duì)應(yīng)分布的拖尾變薄，脈沖特性減弱。

圖4 不同α條件下的概率密度函數(shù)

脈沖噪聲往往具有無(wú)窮二階矩,因此基于FXLMS算法的均方-誤差準(zhǔn)則,對(duì)于脈沖噪聲而言，不再是一種適合的優(yōu)化準(zhǔn)則。

2.3 脈沖噪聲ANC算法

針對(duì)脈沖噪聲的特點(diǎn)，國(guó)內(nèi)外關(guān)于ANC算法主要有以下幾種。

(1) FXLMP算法、FXLMAD算法。此類算法主要針對(duì)脈沖噪聲不存在有界二階矩，所以采用p階矩(分?jǐn)?shù)低階矩)代替二階矩。FXLMP算法需要獲得α先驗(yàn)信息、計(jì)算量大，如先驗(yàn)信息不足，系統(tǒng)可能發(fā)散導(dǎo)致不穩(wěn)定。FXLMAD算法是FXLMP算法特例(p=1)，系統(tǒng)穩(wěn)定性能好，但收斂速度緩慢。

(2) 加窗算法、改進(jìn)歸一化FXLMS算法。此類算法主要針對(duì)脈沖噪聲的概率密度函數(shù)具有尖峰和厚尾的統(tǒng)計(jì)特征，用于限制參考樣本幅值。加窗算法的算法簡(jiǎn)單、穩(wěn)定性和收斂性好，但需離線估計(jì)閥值，閥值的合適估算非常關(guān)鍵，以防止算法停止更新。改進(jìn)歸一化FXLMS算法算法簡(jiǎn)單，不需設(shè)定閥值和α先驗(yàn)信息，非常實(shí)用。但該算法沒(méi)有經(jīng)過(guò)嚴(yán)密證明，只能算是一種直覺(jué)的改進(jìn)。

(3) 迭代學(xué)習(xí)控制算法。主要針對(duì)脈沖噪聲具有重復(fù)性的特點(diǎn)。此種算法值得期待，但由于實(shí)際環(huán)境的時(shí)變性，系統(tǒng)的魯棒性需要關(guān)注討論。

(4) 非線性變換算法[8-9]。FxatanLMS 算法、FxlogLMS算法?；讦练€(wěn)定分布信號(hào)建模的脈沖噪聲沒(méi)有有界的二階矩，即方差不存在，那么以最小均方誤差(二階矩)為準(zhǔn)則的經(jīng)典ANC算法(最小均方算法FXLMS)將不再是適合的優(yōu)化準(zhǔn)則。我們就考慮使用非線性預(yù)處理方法，使變換后的過(guò)程具有二階統(tǒng)計(jì)量，然后利用通常的LMS等方法進(jìn)行處理，減少基于最小p范數(shù)的方法所帶來(lái)的計(jì)算量，又能使算法收斂性得以保證。

（2） FZ/T 82006-2018比 FZ/T 73044-2012在內(nèi)在質(zhì)量方面多要求考核：濕摩擦色牢度、耐光色牢度和洗后外觀。對(duì)于一等品，耐汗?jié)n色牢度FZ/T 82006-2018要求更加嚴(yán)格 （高半級(jí)）。

非線性變換的目的在于保證二階矩的存在。實(shí)際上，許多非線性變換函數(shù)都可以用來(lái)抑制α穩(wěn)定分布尖峰脈沖特性的影響，如對(duì)數(shù)函數(shù)、Sigmoid函數(shù)，反正切函數(shù)等等。由此產(chǎn)生了利用對(duì)數(shù)函數(shù)的FxlogLMS算法，利用反正切函數(shù)的FxatanLMS 算法等等。實(shí)驗(yàn)表明，非線性變換后，任意隨機(jī)過(guò)程就具有了有界二階矩。這樣，就可以在自適應(yīng)過(guò)程中采用基于二階統(tǒng)計(jì)量的算法[10]。實(shí)驗(yàn)證明FxatanLMS 算法不需設(shè)定閥值，穩(wěn)定性較好，但收斂速率存在問(wèn)題。FxlogLMS算法存在一段死區(qū)，計(jì)算量大，限制了它的廣泛應(yīng)用。

2.4 FXSIGMOIDLMS 算法的推導(dǎo)

Sigmoid函數(shù)是一個(gè)非線性連續(xù)函數(shù)，其形狀如“S”，下面我們提出一種新的基于Sigmoid函數(shù)非線性S型轉(zhuǎn)換FXSIGMOIDLMS算法，其代價(jià)函數(shù)為：

S型函數(shù)是單調(diào)、奇對(duì)稱有界函數(shù)，g(x)的極限為1，g(x)的方差表示如下：

var[g(x)]=E[(g(x)-E(g(x))2]<1

由此可見(jiàn)，S型轉(zhuǎn)換誤差信號(hào)方差是有界的，代價(jià)函數(shù)不依賴于α，因此，不需要先驗(yàn)知識(shí)或選擇參數(shù)α，也無(wú)需通過(guò)離線統(tǒng)計(jì)估測(cè)閥值。和FXLMS算法相似，能得出代價(jià)函數(shù)J(n)相對(duì)于濾波器系數(shù)矢量梯度為

δ(e(n))x′(n)

其中：

因此，基于FXSIGMOIDLMS算法相應(yīng)濾波器系數(shù)更新等式為

w(n+1)=w(n)-μδ(e(n))x′(n)

2.5 FXSIGMOIDLMS 算法收斂性

脈沖噪聲因具有高尖峰特性而幅值過(guò)大，Sigmoid 型函數(shù)具有飽和的非線性特性，采用基于Sigmoid函數(shù)的非線性變換算法對(duì)脈沖噪聲信號(hào)進(jìn)行預(yù)處理，嵌位遠(yuǎn)離中央位置的高尖峰幅值樣本點(diǎn)，約束了脈沖噪聲信號(hào)幅值，解決了系統(tǒng)穩(wěn)定性問(wèn)題。ANR計(jì)算機(jī)仿真曲線如圖5所示。

圖5 ANR 曲線圖

從圖5可以看出，本文提出的算法收到了令人滿意的收斂速度。不需要事先估測(cè)閥值，且算法可進(jìn)行連續(xù)更新，有較好的快速性。可有效抑制脈沖噪聲，保證較快的收斂性能[11-12]。

2.6 FXSIGMOIDLMS 算法與FXlogLMS算法比較

α穩(wěn)定分布具有無(wú)界的二階矩卻有有界的對(duì)數(shù)階矩。依據(jù)此特性，F(xiàn)XlogLMS代價(jià)函數(shù)表示為

J(n)=E[log2|e(n)|)]≈log2(|e(n)|)

基于FXlogLMS算法相應(yīng)濾波器系數(shù)更新等式為

W(n+1)=W(n)+μsign(e(n))×

(log(|e(n)|))/|e(n)|[s∧(n)*x(n)]=

W(n)+β(e(n))e(n)x′(n)

可以看出，F(xiàn)XlogLMS算法對(duì)于處理高尖峰脈沖噪聲信號(hào)比較有效，實(shí)驗(yàn)證明算法穩(wěn)定性良好，不存在估測(cè)閥值和事先設(shè)定α值的問(wèn)題，方便應(yīng)用。但此算法結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，計(jì)算量較大，當(dāng)e(n)的絕對(duì)值≤1時(shí)，e(n)絕對(duì)值的對(duì)數(shù)與e(n)的比值趨近于無(wú)窮大。為了避免這種情況發(fā)生，通常會(huì)處理e(n)的絕對(duì)值等于1，使得此比值等于0，這樣的特殊處理后，就會(huì)損失原有噪聲樣本部分信息，影響最終噪聲控制效果。另一方面,FXlogLMS算法存在一個(gè)死區(qū)(|e(n)|≤1時(shí))，對(duì)比而言，F(xiàn)XSIGMOIDLMS 算法以一個(gè)連續(xù)模式更新濾波器系數(shù)，因此，相比FXlogLMS算法，F(xiàn)XSIGMOIDLMS算法具有更好的消噪性能。

3 結(jié) 語(yǔ)

本文在Matlab編程環(huán)境下，采用FXSIGMOIDLMS 算法進(jìn)行仿真，并對(duì)結(jié)果進(jìn)行分析，驗(yàn)證算法的有效性。采用不同的算法，根據(jù)在Matlab編程環(huán)境下仿真結(jié)果，對(duì)相關(guān)算法進(jìn)行了比較。

從仿真結(jié)果可以看出，該算法具有良好的收斂性和穩(wěn)定性，實(shí)際上，F(xiàn)XSIGMOIDLMS 算法從本質(zhì)上來(lái)說(shuō)是一種等變量步長(zhǎng)的FXLMS算法，對(duì)于脈沖噪聲具有更好的魯棒性，避免了參數(shù)選擇和估計(jì)閥值的麻煩，更適用于實(shí)際應(yīng)用。下一步預(yù)想是根據(jù)Sigmoid函數(shù)表達(dá)式，進(jìn)一步實(shí)驗(yàn)統(tǒng)計(jì)分析m值與α值的最佳匹配關(guān)系[13-15]。

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