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    三角形課程難度的定量分析比較

    2014-02-05 12:38:52陳丹媛張磊
    考試周刊 2014年99期
    關(guān)鍵詞:三角形

    陳丹媛 張磊

    摘 要: “三角形”是最基本的幾何圖形,在我國(guó)初中數(shù)學(xué)課程體系中有著非常重要的作用.2011年的《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn)稿)》與2000年的《全日制九年義務(wù)教育初中數(shù)學(xué)教學(xué)大綱(試用修訂版)》中對(duì)三角形的教學(xué)要求相比,發(fā)生了很大的變化.本文利用課程難度定量模型N=αG/T+(1-α)S/T,對(duì)我國(guó)初中階段“三角形”的課程難度進(jìn)行定量分析和比較,總結(jié)出一些值得廣大數(shù)學(xué)教師共同關(guān)注的變化與調(diào)整.

    關(guān)鍵詞: 三角形 課程難度 可比深度 可比廣度 課程時(shí)間

    一、問(wèn)題的提出

    2011年的《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn)稿)》[1](以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》)與2000年的《全日制九年義務(wù)教育初中數(shù)學(xué)教學(xué)大綱(試用修訂版)》[2](以下簡(jiǎn)稱《大綱》)中的幾何內(nèi)容相比,發(fā)生了較大的變化.這些變化對(duì)初中數(shù)學(xué)教師理解和實(shí)施《標(biāo)準(zhǔn)》提出了挑戰(zhàn).與《大綱》相比,《標(biāo)準(zhǔn)》中的幾何內(nèi)容難度有何變化?本文利用刻畫課程難度的數(shù)學(xué)模型,對(duì)《標(biāo)準(zhǔn)》與《大綱》中三角形的難度進(jìn)行定量分析和比較,探討幾何課程難度變化給學(xué)生發(fā)散思維能力和推理能力發(fā)展帶來(lái)的影響.

    二、課程難度模型的注釋

    據(jù)東北師范大學(xué)史寧教授對(duì)課程難度的研究方法,他們對(duì)概念的界定是[3,4]:影響課程難度的基本要素至少有三個(gè):課程深度、課程廣度和課程實(shí)施時(shí)間.其中,課程深度是指課程內(nèi)容所需要的思維的深度,可以用課程口標(biāo)要求的不同程度來(lái)量化;課程廣度是指課程內(nèi)容涉及的范圍和領(lǐng)域的廣泛程度,可以用知識(shí)點(diǎn)的數(shù)量來(lái)量化;課程實(shí)施時(shí)間是指完成課程內(nèi)容所需要的時(shí)間,可以用“課時(shí)”來(lái)量化.也就是說(shuō),課程難度可以看成是關(guān)于課程廣度、課程深度、課程實(shí)施時(shí)間的一個(gè)函數(shù),其中任何一個(gè)量的變化均會(huì)引起函數(shù)值,即課程難度的變化.

    顯然,課程難度與課程深度、課程廣度成正比,與課程實(shí)施時(shí)間成反比.因此,可以用單位課時(shí)下課程的廣度和課程的深度衡量課程難度,前者被稱為課程的“可比廣度”,后者被稱為課程的“可比深度”.這樣,課程的可比廣度與可比深度越大,這門課程越難.但有一個(gè)側(cè)重程度,即需要考慮課程的可比廣度和課程的可比深度哪個(gè)對(duì)課程難度的影響大.因此,課程難度可以看成是“可比廣度”和“可比深度”的加權(quán)平均值.

    如果用N表示課程難度,用S表示課程深度,用G表示課程廣度,用T表示課程時(shí)間,綜上所述,可以建立刻畫數(shù)學(xué)課程難度的模型如下:

    N=αG/T+(1-α)S/T(1)

    其中G/T表示可比廣度,S/T表示可比深度,α稱為加權(quán)系數(shù),0<α<1,是一個(gè)經(jīng)驗(yàn)性常數(shù),反映了可比廣度、可比深度對(duì)課程難度影響的側(cè)重程度.

    三、《標(biāo)準(zhǔn)》與《大綱》中三角形的難度量化比較

    (一)課程時(shí)間

    對(duì)于《標(biāo)準(zhǔn)》,在“人教版”[5]中:八年級(jí)上冊(cè)第11章“三角形”中出現(xiàn)“與三角形有關(guān)的線段”、“與三角形有關(guān)的角”是6課時(shí),第12章“全等三角形”是11課時(shí),第13章“軸對(duì)稱”中出現(xiàn)“等腰三角形”是5課時(shí);八年級(jí)下冊(cè)在第17章“勾股定理”是9課時(shí);九年級(jí)下冊(cè)在第27章“相似”中出現(xiàn)“相似三角形”是7課時(shí),第28章“銳角三角函數(shù)”中是12課時(shí),共計(jì)50課時(shí),于是T■=50.

    而在《大綱》下的教科書(shū)中安排45課時(shí),于是,T■=45.

    (二)課程廣度

    《標(biāo)準(zhǔn)》中三角形的知識(shí)點(diǎn)分布較散,相應(yīng)課程內(nèi)容的知識(shí)點(diǎn)合計(jì)41個(gè),取綜合的課程廣度系數(shù)G■=41.考慮到“圖形與變換”在《大綱》中出現(xiàn)在《三角形》之中,并且僅出現(xiàn)軸對(duì)稱,相應(yīng)課程內(nèi)容的知識(shí)點(diǎn)合計(jì)39個(gè)(不含選學(xué)內(nèi)容“反證法”),取綜合的課程廣度系數(shù)為G■=39.

    (三)課程深度

    《大綱》中是按四個(gè)層次“了解”“理解”“靈活應(yīng)用”陳述目標(biāo)(要求)的,《標(biāo)準(zhǔn)》中則是按三個(gè)層次陳述目標(biāo)(要求)的。考慮到“掌握”這一要求與“靈活應(yīng)用”區(qū)別并不是很大,為了與《標(biāo)準(zhǔn)》中的層次對(duì)應(yīng),將“掌握”與“靈活應(yīng)用”合并為同一個(gè)層次,則對(duì)《大綱》和《標(biāo)準(zhǔn)》中過(guò)程性目標(biāo)賦值如表1.

    表1 課程目標(biāo)動(dòng)詞賦值

    (四)課程內(nèi)容要求的對(duì)比

    1.《標(biāo)準(zhǔn)》中“三角形”相應(yīng)課程內(nèi)容的知識(shí)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的課程深度值分別如下。

    (1)概念部分

    三角形(包括三角形頂點(diǎn)、邊、內(nèi)角、外角、角平分線、中線和高):2;全等三角形:2;等腰三角形:1;直角三角形:1;三角形重心:l;三角形的內(nèi)心、外心:1;相似三角形:1;銳角三角函數(shù):2.

    (2)定理部分

    三角形的穩(wěn)定性:1;三角形內(nèi)角和定理:3;三角形的邊長(zhǎng)關(guān)系:3;三角形外角和定理:3;三角形中位線定理:3;三角形全等判定SAS:3;三角形全等判定ASA:3;三角形全等判定AAS:3;三角形全等判定SSS:3;等腰三角形性質(zhì)定理:3;等腰三角形判定定理:3;三線合一定理:3;等邊三角形性質(zhì)定理:3;等邊三角形判定定理:3;直角三角形的性質(zhì)定理:3;直角三角形全等判定:3;勾股定理:3;勾股定理的逆定理:3;三角形的中位線定理:3;三角形相似的判定定理:1;三角形相似的性質(zhì)定理:1.

    (3)技能部分

    作三角形的角平分線、中線和高:2;作等腰三角形的對(duì)稱軸:2;三邊作三角形:2;兩邊及其夾角作三角形:2;兩角及其夾邊作三角形:2;底邊及底邊上的高作等腰三角形:2;一直角邊及斜邊作直角三角形:2;30°,45°,60°的三角函數(shù):l;解三角形:2;用計(jì)算器求銳角三角形函數(shù)值:2;求三角形函數(shù)值對(duì)應(yīng)的銳角:2;作三角形的內(nèi)切圓:2.

    2.《大綱》中“三角形”相應(yīng)課程內(nèi)容的知識(shí)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的課程深度值分別如下。

    (1)概念部分

    三角形(包括三角形頂點(diǎn)、邊、內(nèi)角、外角、角平分線、中線和高):1;全等三角形:l;三角形的內(nèi)心、外心:1;相似三角形:2;相似比:2;銳角三角函數(shù):1.

    (2)定理部分

    三角形的穩(wěn)定性:1;三角形內(nèi)角和定理:3;三角形的邊長(zhǎng)關(guān)系:2;三角形外角和定理:3;三角形中位線定理:3;三角形全等判定SAS:3;三角形全等判定ASA:3;三角形全等判定AAS:3;三角形全等判定SSS:3;等腰三角形性質(zhì)定理:3;等腰三角形判定定理:3;三線合一定理:3;等邊三角形性質(zhì)定理:3;等邊三角形判定定理:3;直角三角形的性質(zhì)定理:3;直角三角形全等判定:2;勾股定理:3;勾股定理的逆定理:2;三角形的中位線定理:3;三角形相似的判定定理:3;三角形相似的性質(zhì)定理:2.

    (3)技能部分

    作三角形的角平分線、中線和高:2;作等腰三角形的對(duì)稱軸:2;三邊作三角形:2;兩邊及其夾角作三角形:2;兩角及其夾邊作三角形:2;底邊及底邊上的高作等腰三角形:2;一直角邊及斜邊作直角三角形:2;30°,45°,60°的三角函數(shù):l;解三角形:2;用計(jì)算器求銳角三角形函數(shù)值:2;求三角形函數(shù)值對(duì)應(yīng)的銳角:2;作三角形的內(nèi)切圓:2.

    3.與《大綱》相比,《標(biāo)準(zhǔn)》中“三角形”課程內(nèi)容要求的變化。

    (1)概念部分

    對(duì)“三角形(包括三角形頂點(diǎn)、邊、內(nèi)角、外角、角平分線,中線和高)、全等三角形、銳角三角函數(shù)”三個(gè)內(nèi)容的難度要求從了解提高到理解,而對(duì)“相似三角形”,則從理解降低到了解;增加“等腰三角形、直角三角形、三角形重心”三個(gè)內(nèi)容,并要求理解;刪除原本要求理解的“相似比”.

    (2)定理部分

    對(duì)“三角形的邊長(zhǎng)關(guān)系、直角三角形全等判定、勾股定理的逆定理”三個(gè)內(nèi)容的難度要求,從理解提高到掌握,而對(duì)“三角形相似的判定定理”、“三角形相似的性質(zhì)定理”,則分別從靈活運(yùn)用、理解降低到了解.

    (3)技能部分

    分別增加會(huì)作“作三角形的外接圓”,刪除原本要求會(huì)作“作三角形的角平分線、中線和高”的技能要求.

    (五)難度比較

    根據(jù)以上數(shù)據(jù),分別求出《標(biāo)準(zhǔn)》與《大綱》中三角形部分的可比廣度、可比深度[6],統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)及比較結(jié)果如表2所示:

    表2 《標(biāo)準(zhǔn)》與《大綱》中三角形部分的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果

    注:右上角的數(shù)字分別代表與《大綱》中三角形相比,《標(biāo)準(zhǔn)》中三角形的可比廣度與可比深度的變化,用“+”代表增加,用“-”代表降低.

    1.根據(jù)所建立的數(shù)學(xué)模型N=αG/T+(1-α)S/T,分別表示出《標(biāo)準(zhǔn)》與《大綱》中三角形部分的課程難度:

    四、結(jié)論

    從以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可以看出,課程實(shí)施時(shí)間、課程廣度、課程深度三個(gè)量當(dāng)中的任何一個(gè)有微小變化,都會(huì)引起課程難度的變化.分析上述表格的數(shù)據(jù),可以發(fā)現(xiàn),《標(biāo)準(zhǔn)》下的《大綱》下的《大綱》下的《三角形》內(nèi)容基本一致.《標(biāo)準(zhǔn)》下的《三角形》課程難度有所降低,主要原因是《標(biāo)準(zhǔn)》中該部分內(nèi)容的課程廣度和課程深度增加不大,但課程實(shí)施時(shí)間增加較大,使其可比廣度和可比深度分別降低了0.05和0.14.也就是說(shuō)如果時(shí)間充足的話,可比廣度和可比深度也會(huì)有所降低.

    這啟示我們,如果課程實(shí)施時(shí)間較長(zhǎng),課程難度就會(huì)大大降低.也就是說(shuō),時(shí)間允許的話,完成《標(biāo)準(zhǔn)》中很多的探索對(duì)學(xué)生更好地掌握知識(shí)有很大的幫助,從而培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力和推理能力.

    參考文獻(xiàn):

    [1]中華人民共和國(guó)教育部.全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn)稿)[M].北京:人民教育出版社,2011.

    [2]中華人民共和國(guó)教育部.全日制九年義務(wù)教育初中數(shù)學(xué)教學(xué)大綱(試用修訂版)[M].北京:人民教育出版社,2000.

    [3]呂世虎,史寧中,陳婷.《標(biāo)準(zhǔn)》與《大綱》中幾何部分內(nèi)容難度的比較研究[J].課程·教材·教法,2006(8):38-43.

    [4]史寧中,孔凡哲,李淑文.課程難度模型:我國(guó)義務(wù)教育幾何課程難度的對(duì)比[J].東北師人學(xué)報(bào)(哲學(xué)社會(huì)科學(xué)版),2005(6):151-155.

    [5]課程教材研究所.義務(wù)教育教科書(shū).[M].北京:人民教育出版社,2013.

    [6]李高峰.課程難度模型運(yùn)用中的偏差及其修正—與史寧中教授等商榷[J].上海教育科研,2010.3:46-49.

    基金項(xiàng)目:2014年廣東省大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓(xùn)練計(jì)劃項(xiàng)目:基于課程難度定量分析模型下的初中幾何課程難度研究,項(xiàng)目編號(hào):201410578047。

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