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      模糊PID控制的原子力顯微鏡仿真平臺

      2014-02-03 03:14:02李英姿張立文蔣沙汝錢建強
      實驗室研究與探索 2014年1期
      關(guān)鍵詞:原子力針尖振幅

      陽 睿, 李英姿, 張立文, 蔣沙汝, 錢建強

      (北京航空航天大學(xué) a.儀器科學(xué)與光電工程學(xué)院; b.物理科學(xué)與核能工程學(xué)院; c.數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院,北京 100191)

      0 引 言

      原子力顯微鏡(Atomic Force Microscope,AFM)具有原子級成像能力,是納米技術(shù)研究的主要工具,其工作模式分為動態(tài)力模式和靜態(tài)力模式[1],幅度調(diào)制模式為動態(tài)力模式的一種,工作在幅度調(diào)制模式下的AFM又叫幅度調(diào)制原子力顯微鏡(Amplitude Modulation Atomic Force Microscope,AM-AFM),其對探針和樣品的損傷較小,還有較高的分辨率和線性工作范圍,已成為AFM應(yīng)用得較為廣泛的一種工作模式[2-3]。

      目前,我校本科實驗用原子力顯微鏡仿真平臺主要采用傳統(tǒng)的PID控制器進行控制[4],實驗操作者往往需要反復(fù)調(diào)試才能找出一組控制效果較好的離線PID參數(shù)[5-8],因此,在傳統(tǒng)PID控制器基礎(chǔ)上加入模糊系統(tǒng)的模糊PID控制器,實現(xiàn)了對PID參數(shù)的實時在線調(diào)整,相較于傳統(tǒng)PID能取得更好的控制效果。本文利用歐拉-伯努利方程對AM-AFM的動態(tài)過程進行建模,建立一套AM-AFM的仿真平臺,并以此檢驗?zāi):齈ID控制器對AM-AFM的控制效果。

      1 仿真平臺的建立

      AM-AFM工作時,探針在激勵信號驅(qū)動下進行振動,針尖周期性地與樣品接觸,將振幅與設(shè)定振幅之差輸入控制器產(chǎn)生控制量,對壓電陶瓷的伸縮量進行調(diào)整,使偏差趨于零,進而掃描出樣品表面形貌。

      AM-AFM系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖1所示。探針在其諧振頻率附近以幾十納米的振幅振動,假如樣品高度增大,由于探針跟蹤的遲滯效應(yīng),探針-樣品間距離變小,引起探針振幅減小,由激光檢測器測得輸出振幅與設(shè)定振幅的偏差,PID控制器根據(jù)該偏差減少z方向壓電陶瓷管兩端電壓,提高探針高度,減小偏差,使得探針振幅盡可能保持在設(shè)定振幅,從而控制探針跟蹤樣品表面。為使模型簡化,將壓電陶瓷看成比例系數(shù)為1的線性環(huán)節(jié)。

      圖1 幅度調(diào)制原子力顯微鏡系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

      AM-AFM懸臂梁可看做一個彈性梁,其運動可以用歐拉-伯努利方程來描述[9]:

      (1)

      式中:w(x,t)為撓度,探針運動即為x=L時懸臂梁的撓度w(L,t);F0cosωt為作用于懸臂梁上的激勵信號;F(zc,z)為探針與樣品之間的相互作用力。

      探針在掃描運動過程中會經(jīng)歷接觸與非接觸兩種情形,由原子間距離a0進行劃分。當距離大于a0時,針尖與樣品之間的相互作用力為范德瓦爾斯力[10];當距離小于a0時,針尖與樣品之間的斥力用DMT(Derjaguin-Müller-Toporov)[11]計算,則針尖與樣品的相互作用F(zc,z)可以表示為

      (2)

      式中:A為Hamaker常數(shù);R為探針針尖的曲率半徑;E為樣品的彈性模量;ν為樣品的泊松比;η為黏性系數(shù);h為樣品厚度;zc為懸臂梁的平衡位置;a0為原子間距離;E*為等效剛度。

      利用振型分解法可以將歐拉-伯努利方程轉(zhuǎn)化成形如下式的n個常微分方程的求解[12]:

      (3)

      最終求解出探針運動函數(shù)w(L,t)為

      (4)

      2 模糊PID控制器設(shè)計

      目前,AM-AFM一般采用PID控制器,傳統(tǒng)PID控制器的表達式如下:

      (5)

      式中:e(t)為誤差信號;uPID為控制量,即懸臂梁高度;Kp、Ki、Kd分別是比例、積分、微分系數(shù)。模糊PID控制器在傳統(tǒng)PID控制器上加入模糊系統(tǒng),從而實現(xiàn)更加有效的控制。

      2.1 模糊PID控制器的結(jié)構(gòu)

      模糊PID控制器在傳統(tǒng)PID控制器的基礎(chǔ)上,加入了一層模糊推理機,對PID控制器的Kp、Ki、Kd參數(shù)實現(xiàn)了實時在線調(diào)整,結(jié)構(gòu)如圖2所示,克服了傳統(tǒng)PID控制器中存在的參數(shù)修改不方便、不能自整定等缺點,進一步完善了控制器性能,更好地適應(yīng)了控制系統(tǒng)參數(shù)和工作條件的變化。

      圖2 模糊PID控制器結(jié)構(gòu)

      2.2 模糊中心和隸屬度函數(shù)的選擇

      假定Kp∈[Kpmin,Kpmax],Kd∈[Kdmin,Kdmax],并依據(jù)Kp0、Ki0、Kd0,將范圍取為:Kpmin=0.004Kp0,Kpmax=1.033Kp0,Kdmin=0.7Kd0,Kdmax=2.35Kd0。

      為了方便,本文將參數(shù)Kp、Kd歸一化為0~1之間的數(shù),有:

      (6)

      (7)

      假定積分時間常數(shù)與微分時間存在如下倍數(shù)關(guān)系:

      Ti=αTd

      (8)

      則積分增益可以通過下面的式子算出來:

      (9)

      圖3 PID參數(shù)換算圖

      假定模糊系統(tǒng)的輸入偏差e和偏差變化率de的論域為連續(xù)區(qū)間[emin,emax]和[demin, demax],將其分為7個模糊子集,分別用負大(NB)、負中(NM)、負小(NS)、零(ZO)、正小(PS)、正中(PM)、正大(PB)來描述,皆選用三角形隸屬度函數(shù),如圖4所示。

      圖4e和de的隸屬度函數(shù)

      圖5 K′p和K′d的隸屬度函數(shù)圖6 α的隸屬度函數(shù)

      2.3 模糊規(guī)則的建立

      模糊規(guī)則的建立要從系統(tǒng)的穩(wěn)定性、響應(yīng)速度、超調(diào)量和穩(wěn)態(tài)精度等方面考慮:比例系數(shù)Kp的作用是加快系統(tǒng)的響應(yīng)速度,Kp過大,易產(chǎn)生超調(diào),過小,則會使相應(yīng)速度變慢,從而延長調(diào)節(jié)時間;積分系數(shù)Ki的作用是消除系統(tǒng)的靜態(tài)誤差,Ki越大,系統(tǒng)的靜態(tài)誤差消除越快,但Ki過大,在響應(yīng)過程的初期會產(chǎn)生積分飽和現(xiàn)象,引起較大超調(diào),Ki過小,將使系統(tǒng)靜態(tài)誤差難以消除;微分系數(shù)Kd的作用是改善系統(tǒng)的動態(tài)特性,在響應(yīng)過程中對偏差變化進行提前預(yù)報,但Kd過大,會使響應(yīng)過程提前制動,延長調(diào)節(jié)時間。

      由此根據(jù)專家經(jīng)驗總結(jié)出以下規(guī)律:

      表1 的模糊規(guī)則表

      3 仿真結(jié)果

      基于上述仿真平臺,分別用PID控制器和模糊PID控制器對兩個典型樣品信號進行仿真,通過掃描圖像的對比,檢驗?zāi):齈ID對AM-AFM掃描過程的控制效果,仿真結(jié)果如下:

      表2 的模糊規(guī)則表

      表3 α的模糊規(guī)則表

      (1) 樣品為高20 nm的一維臺階信號,仿真圖像如圖7所示,其參數(shù)設(shè)置如下:

      PID控制器參數(shù)初值:Kp0=0.052,Ki0=618,Kd0=2.109×10-6。激勵頻率f=44.8 kHz,自由振幅Afree=50 nm,工作振幅Aset=30 nm,掃描速度v=2 μm/s,采樣周期與振蕩周期之比n=5。Hamaker常數(shù)10-19J,探針針尖半徑Rtip=20 nm,樣品楊氏模量Esample=50 GPa,探針楊氏模量Etip=130 GPa,樣品及探針泊松比υsample=υtip=0.3。

      圖7顯示了樣品用傳統(tǒng)PID掃描和模糊PID掃描的圖像。傳統(tǒng)PID的參數(shù)取為Kp0、Ki0、Kd0,也就是模糊PID控制器的初始值。x坐標是采樣周期數(shù),y坐標是垂直高度,掃描圖顯示為探針平衡位置高度。由圖可見,傳統(tǒng)PID掃描圖像上升沿的調(diào)節(jié)時間約為50個采樣周期,而模糊PID掃描圖像約為20個采樣周期,

      圖7 臺階信號掃描對比圖

      且超調(diào)量約為1.85%,由此可知采用模糊PID控制,系統(tǒng)在保持著極高的穩(wěn)定性的同時,快速性也得到了很大的提高。

      (2) 樣品為最大起伏至25 nm的三維復(fù)雜信號,仿真圖像如圖8所示,參數(shù)設(shè)置只需將上例中的掃描速度改為v=6.6 μm/s,采樣周期與振蕩周期之比改為n=10,其余設(shè)置相同。

      圖8中,深灰色曲面的是樣品,淺灰色曲面是掃描圖像。圖8(a)為傳統(tǒng)PID掃描圖,圖8(b)為模糊PID掃描圖。x,y軸表示采樣周期數(shù),z軸表示垂直高度,掃描圖顯示為探針平衡位置高度。三維復(fù)雜樣品的仿真結(jié)果直觀地體現(xiàn)了模糊PID對探針掃描過程的控制效果,可以看出(a)中圖像較樣品圖像有較大的滯后,相比之下,(b)中圖像更好地跟蹤了樣品表面,尤其是對于傳統(tǒng)PID難于跟蹤的凹坑,模糊PID控制的掃描圖像滯后明顯小于傳統(tǒng)PID,更顯示出前者控制品質(zhì)的優(yōu)越性。

      (a) 傳統(tǒng)PID

      (b) 模糊PID

      4 結(jié) 語

      基于歐拉-伯努利模型對AM-AFM探針動態(tài)過程進行建模,建立了一套AM-AFM仿真平臺。對AM-AFM掃描樣品表面過程進行有效的仿真,不僅為AM-AFM本科生實驗操作者提供了一定的指導(dǎo),也為檢驗

      模糊PID對AM-AFM的控制效果提供了有效的手段;結(jié)合Ziegler-Nichols法調(diào)出一組初始PID參數(shù),將此初值運用于模糊系統(tǒng)參量范圍的確定及模糊中心和隸屬度函數(shù)的選擇上,并通過模糊系統(tǒng)適當?shù)貙ID參數(shù)進行實時調(diào)整,使得模糊PID控制取得了良好的控制效果;通過平臺進行掃描仿真直觀地反映出模糊PID對表面起伏較大的樣品掃描跟蹤具有較高的準確性和快速性, 明顯地體現(xiàn)出模糊PID相比于傳統(tǒng)PID控制的優(yōu)越性,并為今后將模糊PID等智能控制運用于AFM實際操作等更深一步的工作提供了一定的依據(jù)。

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