基于T-S模型的連續(xù)攪拌反應(yīng)釜魯棒L2-L∞控制

李艷輝，馮 巖

(東北石油大學(xué)電氣信息工程學(xué)院，黑龍江大慶163318)

0 引言

連續(xù)攪拌反應(yīng)釜(CSTR:Continuous Stirring Tank Reactor)是石化生產(chǎn)中十分重要的反應(yīng)器，其控制質(zhì)量在很大程度上決定生產(chǎn)的效率和產(chǎn)品指標(biāo)，傳統(tǒng)PID(Proportion Integration Differentiation)控制因整定參數(shù)不實(shí)時(shí)而難以達(dá)到滿意效果。為此，國(guó)內(nèi)外學(xué)者根據(jù)CSTR反應(yīng)特點(diǎn)對(duì)其控制方法進(jìn)行了廣泛研究，如，Chyi等［1］針對(duì)非線性提出一種變結(jié)構(gòu)控制策略，保證CSTR系統(tǒng)在有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)滑模面，然而系統(tǒng)易產(chǎn)生抖振現(xiàn)象而影響產(chǎn)品質(zhì)量;WU［2］應(yīng)用LMI(Linear Matrix Inequality)技術(shù)對(duì)CSTR進(jìn)行模型預(yù)測(cè)控制，該方法假定CSTR系統(tǒng)是線性的，并忽略系統(tǒng)固有的時(shí)滯性。

T-S模糊模型是一種能以任意精度逼近非線性系統(tǒng)的模型［3-5］，眾多學(xué)者在該模型的基礎(chǔ)上對(duì)非線性系統(tǒng)的控制器和濾波器設(shè)計(jì)進(jìn)行了深入研究，并得到良好的效果［6-8］。CAO等［7］基于T-S模糊模型針對(duì)含有確定參數(shù)的非線性CSTR系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)定性分析和控制器設(shè)計(jì)，保證了系統(tǒng)穩(wěn)定;WU等［8］假定非線性滿足全局Lipschitz條件，利用LMI技術(shù)設(shè)計(jì)模糊隨機(jī)系統(tǒng)的魯棒H∞濾波器，收到了良好的濾波效果。

筆者考慮實(shí)際CSTR反應(yīng)特點(diǎn)，針對(duì)進(jìn)料組份產(chǎn)生的擾動(dòng)和傳熱系數(shù)不規(guī)則變化引起的參數(shù)不確定等影響，研究魯棒L2-L∞狀態(tài)反饋控制問(wèn)題。采用T-S模糊模型逼近無(wú)量綱化的機(jī)理模型，運(yùn)用LMI技術(shù)給出該系統(tǒng)的L2-L∞性能準(zhǔn)則，在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步給出魯棒L2-L∞狀態(tài)反饋控制器存在的充分條件，并將控制器的設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)化為求解LMI的凸優(yōu)化問(wèn)題，更易于數(shù)值實(shí)現(xiàn)。通過(guò)仿真驗(yàn)證了該方法的可行性。

1 反應(yīng)釜模糊模型的建立

物料以一定濃度C0和溫度T0進(jìn)入CSTR發(fā)生放熱反應(yīng)，操作目標(biāo)是不斷調(diào)整冷卻劑溫度T(t)使生成物濃度Ca(t)和反應(yīng)器溫度Ta(t)達(dá)到生產(chǎn)要求，如圖1所示?；谀芰渴睾愣珊突瘜W(xué)動(dòng)力學(xué)原理，該CSTR系統(tǒng)的無(wú)量綱化機(jī)理模型為［7］

圖1 CSTR示意圖Fig.1 Schematic of the CSTR

其中α1(t)，…，αp(t)為前件變量;θij為穩(wěn)態(tài)平衡時(shí)溫度的模糊集合;u(t)∈Rm;y(t)∈Rp為控制輸出溫度;d(t)滿足0≤d(t)≤和0≤(t)≤＜∞(t≥0)，、為常量;w(t)∈L2［0，+∞);標(biāo)量N為模糊規(guī)則的個(gè)數(shù);為系統(tǒng)達(dá)到平衡點(diǎn)時(shí)對(duì)應(yīng)的濃度和溫度值。在平衡點(diǎn)有

假設(shè) 1 表示系統(tǒng)不確定性的矩陣 Δ Ai、Δ Adi和 Δ Bi滿足:［Δ AiΔ AdiΔ Bi］=EFi(t)［GaiGdiGbi］，其中E，Gai，Gdi，Gbi為已知的適當(dāng)維數(shù)實(shí)常數(shù)矩陣，F(xiàn)i(t)為未知矩陣函數(shù)，且滿足。

運(yùn)用平行分配補(bǔ)償算法［9］，對(duì)各模糊子空間設(shè)計(jì)相應(yīng)的局部狀態(tài)反饋控制器如下

其中Ki∈Rm×n為待確定的對(duì)應(yīng)子系統(tǒng)的狀態(tài)反饋控制增益矩陣。于是整個(gè)模糊系統(tǒng)的狀態(tài)反饋控制律為

將式(3)代入式(1)中，可得到整個(gè)模糊系統(tǒng)的狀態(tài)方程

筆者針對(duì)建立的T-S閉環(huán)模糊系統(tǒng)式(4)設(shè)計(jì)穩(wěn)定的魯棒狀態(tài)反饋控制器式(3)，從而保證閉環(huán)系統(tǒng)式(4)穩(wěn)定且對(duì)于任意的非零w(t)，能滿足L2-L∞性能約束:‖y(t)‖∞≤γ‖w(t)‖2。

2 主要結(jié)果

2.1 閉環(huán)模糊系統(tǒng)性能分析

首先給出容許的閉環(huán)模糊系統(tǒng)式(4)漸近穩(wěn)定和滿足魯棒L2-L∞性能存在的充分條件，該條件為后續(xù)控制器的設(shè)計(jì)奠定基礎(chǔ)。為證明筆者的主要結(jié)論，首先給出如下引理。

證明 構(gòu)造Lyapunov函數(shù):V(x(t))=V1(x(t))+V2(x(t))+V3(x(t))，其中V1(x(t))=xT(t)Px(t)，。

由假設(shè)1和引理1中1)可得到

綜上，通過(guò)對(duì)V(x(t))求取的導(dǎo)數(shù)，有

2.2 魯棒L2-L∞控制器設(shè)計(jì)

根據(jù)定理1中的魯棒L2-L∞性能準(zhǔn)則，應(yīng)用LMI技術(shù)，給出容許的魯棒L2-L∞狀態(tài)反饋控制器存在的充分條件。

如果式(9)～式(11)有可行解，則形如式(3)的魯棒L2-L∞狀態(tài)反饋控制器參數(shù)矩陣為

證明 對(duì)式(5)用diag［P-1I］進(jìn)行全等變換，并令，可知式(9)成立;同理，對(duì)式(6)不等式兩邊同時(shí)左乘和右乘diag［P-1P-1P-1］，有

推論1 可以看出，對(duì)定理2中的式(9)～式(11)，可將γ2作為一個(gè)優(yōu)化變量得到最優(yōu)擾動(dòng)衰減水平，即可通過(guò)求解如下凸優(yōu)化問(wèn)題設(shè)計(jì)系統(tǒng)(4)的最優(yōu)魯棒L2-L∞狀態(tài)反饋控制器

且控制器增益Kj可由式(12)求出。

3 仿真研究

規(guī)則1 ifx2(t)is small(x2(t)大約是0.886 2)，then

規(guī)則2 ifx2(t)is middle(x2(t)大約是2.752 0)，then

規(guī)則3 ifx2(t)is large(x2(t)大約是4.705 2)，then

選擇如下隸屬度函數(shù)

應(yīng)用 LMI工具箱可得最優(yōu)L2-L∞噪聲抑制水平=0.2，相應(yīng)狀態(tài)反饋增益為 K1=［-1.345 7 98.806 2］，K2=［-6.406 6 98.383 4］，K3=［-26.222 8 99.016 2］。分別取系統(tǒng)初始狀態(tài)x1(0)=［0.9 0.9］T、x2(0)=［2.7 2.7］T和x3(0)=［4.5 4.5］T，從圖2a～圖2c可以看出，不同初始狀態(tài)下，CSTR系統(tǒng)穩(wěn)定且滿足給定的L2-L∞擾動(dòng)抑制水平，表明設(shè)計(jì)的控制器有效。

圖2 x1(0)，x2(0)，x3(0)下系統(tǒng)響應(yīng)Fig.2 System responses under x1(0)，x2(0)and x3(0)

4 結(jié)語(yǔ)

筆者針對(duì)實(shí)際CSTR反應(yīng)系統(tǒng)，通過(guò)T-S模糊模型無(wú)限逼近反應(yīng)對(duì)象，設(shè)計(jì)出了魯棒L2-L∞狀態(tài)反饋控制器。筆者將更易在線測(cè)量的反應(yīng)器溫度作為模糊規(guī)則的前件變量，并運(yùn)用較為成熟的LMI技術(shù)求解全局控制器，方法簡(jiǎn)單容易實(shí)現(xiàn)。最后以仿真驗(yàn)證了基于T-S模糊模型設(shè)計(jì)的控制器可以滿足控制要求。

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