探析教學中向量相關(guān)理論的引入

徐文華

（重慶工商大學 派斯學院 基礎(chǔ)部，重慶 401520）

探析教學中向量相關(guān)理論的引入

徐文華

（重慶工商大學 派斯學院 基礎(chǔ)部，重慶 401520）

為了讓向量的有關(guān)理論更加具體，使學生能夠直觀地理解，本文通過系統(tǒng)地探討線性方程的相關(guān)問題，并將這些問題和向量的一系列定義有機的結(jié)合起來，從而揭示了向量的一系列定義在線性方程中的意義，使向量的有關(guān)理論更加具體、直觀。通過這種方式的引入，學生在學習向量的有關(guān)定義定理的時候，能夠?qū)@些抽象的定義和定理有一個更加感性地認識，尤其是在學習n（n＞3）維向量的時候。

向量；線性方程；關(guān)系；引入

一、引言

目前，高校線性代數(shù)教材，在介紹n維向量空間的有關(guān)理論中，經(jīng)常是先介紹怎樣解線性方程組和判斷一個線性方程組有沒有解，接著介紹向量的線性表示、向量組的線性表示、向量組等價、向量的線性相關(guān)性，向量組的極大無關(guān)組等概念，然后利用線性方程組這個工具來分析和判斷一個向量能否用另外一些向量線性表示，一組向量是否線性相關(guān)等這些概念。雖然很多學生通過學習，知道向量中的這些問題怎么解決，但是，對于向量的這些定義，仍然感覺很抽象，沒有實際意義，尤其對于維數(shù)超過三維的向量，很難找到出直觀的幾何解釋。究其原因，關(guān)鍵在于學生不知道為什么要定義這些東西，有什么樣的作用，其實，向量空間中的很多定義就是為解決線性方程組的相關(guān)問題而生。下面，本文通過論述線性方程組的相關(guān)問題，從中提出問題，進而引入解決方法——即向量的方法，進而揭示向量的有關(guān)定義和方程組的有關(guān)理論之間的聯(lián)系。

對于向量的有關(guān)定義和方程組的有關(guān)理論之間的聯(lián)系，也有人做過類似的探討.[3]中，作者將向量和有向線段聯(lián)系起來，進而揭示向量空間中相關(guān)定義的意義，但作者的這種引入局限于二維和三維的向量，對于維數(shù)超過三維的向量，無法通過有向線段來分析。[4]中，作者是根據(jù)線性方程組的向量形式談及向量的關(guān)系，如今的線性代數(shù)教材中多數(shù)以談及到這個問題，而本文要論述的方程和向量的關(guān)系是另外一種關(guān)系。[5]中，作者僅探討了向量組的關(guān)系和其次線性方程組解的關(guān)系，但沒有系統(tǒng)地探討向量的其他關(guān)系和線性方程組的聯(lián)系。

二、線性方程組的線性相關(guān)性

在實際應(yīng)用中，為求解某些問題，我們設(shè)定n個變量x1，x2，…xn，并為這些變量建立了m個等式關(guān)系，假定這些等式是如下形式的線性方程：

為求解這些變量，我們將這些等式構(gòu)建成如下的線性方程組，記為方程組A，

其中的方程依次記為?1，?2，…?m。那么對于方程組A，有如下問題需要考慮：

1.方程組中方程和方程之間有沒有關(guān)系？有什么樣的關(guān)系？

2.方程組有沒有同解方程組，同解方程組和原方程組之間的方程又有什么關(guān)系？

3.方程組的解和方程組中方程的解有什么樣的關(guān)系？

為了便于探討這些問題，不妨根據(jù)線性方程組的一些規(guī)律給出一些定義和命題，以便說明問題。在一個線性方程組中，經(jīng)常會有一個方程可以通過另外的方程恒等變換得到，比如方程組中一個方程等于另一個方程等式兩邊同乘一個常數(shù)，或一個方程等于另外某些方程相加等等。

定義1：若方程組A中存在某個方程?i可以通過另外方程恒等變換得到，則稱方程組A為線性相關(guān)的方程組，否則稱為線性無關(guān)的方程組。

顯然，若方程組A中的方程?i可以通過方程組A中其他的方程?k1，?k2，…?kn恒等變換得到，我們可以認為方程?i代表的等式關(guān)系相對于方程?k1，?k2，…?kn來說是重復(fù)或是多余的，不防稱方程?i為方程?k1，?k2，…?kn的重復(fù)方程。因此，線性相關(guān)的方程組一定有重復(fù)方程，而線性無關(guān)的方程組則無重復(fù)方程。

命題1：若方程β1可以通過方程組A中的方程?1，?2，…?m恒等變換得到，則方程組A的解（若有解），一定是方程β1的解。

證明：方程組的恒等變換一般有兩種：

1.方程?等式兩邊同乘一個公因子k，等式保持不變，記為k?。

2.方程?1和方程?2等式兩邊對應(yīng)相加等式保持不變，記為?1+?2。

若方程β1可以通過方程組A中的方程?1，?2，…?m恒等變換得到，則存在一k1，k2，…km使得β1=k1?1+k2?2+…+km?m。

若x1=t1，x2=t2，…xn=tn，是方程組A的任意一組解，則將x1=t1，x2=t2，…xn=tn代入方程?1，?2，…?m中，方程等式仍保持不變，對這些方程作如下變換：k1?1+k2?2+…+km?m，可知，得到的等式仍保持不變，所以x1=t1，x2=t2，…xn=tn也是方程k1?1+k2?2+…+km?m的解，即x1=t1，x2=t2，…xn=tn是β1的解。

由命題1不難得出下述推論：

推論1：若方程組B中的方程β1，β2，…，βn可以通過方程組A中的方程?1，?2，…?m恒等變換得到，則方程組A的解（若有解），一定是方程組B的解。

推論2：若方程組B中的方程β1，β2，…，βn和方程組A中的方程?1，?2，…?m可以相互恒等變換得到，則方程組A和方程組B為同解方程組。

三、向量和線性方程的關(guān)系

介紹了方程組的線性相關(guān)性，那么，如何判斷一個方程組是線性相關(guān)的方程組，以及一個方程和另外的方程的關(guān)系呢？聯(lián)系高斯消元法，我們知道，解線性方程組是通過構(gòu)造方程組的增廣矩陣，利用矩陣的初等行變換來完成高斯消元法的過程。因此，我們可以定義方程的矩陣來研究方程和方程之間的關(guān)系。

（1）k?，相當于?的方程等式兩邊同乘一個公因子k得到的方程。

（2）?1+?2，相當于?1的方程與?2的方程等式兩邊對應(yīng)相加得到的方程。

因此，方程和方程之間的關(guān)系與方程的向量與向量之間的關(guān)系是可以對應(yīng)起來，有時甚至是等價的。下面，我們來看看，向量空間中的一些定義在方程理論中所代表的意義。

若存在一組數(shù)k1，k2，…，ks使得β=k1?1+k2?2+…+kn?n，則稱向量β可由向量組?1，?2，…，?n線性表示[2]。這是線性表示的定義，由上面的討論知，這個定義在方程中的意義是向量β的方程可由向量?1，?2，…，?n的方程通過恒等變換得到，并且向量?1，?2，…，?n的方程組的解是向量β的方程的解。因此，在引入向量線性表示定義的時候，我們可以說，為了研究方程組中方程和方程之間的關(guān)系或一個方程能否通過其他方程恒等變換得到，于是有了線性表示這樣一個概念。

若有兩組向量A：{?1，?2，…，?s}和B：{β1，β2，…，βt}，若向量組A中的向量都可由向量組B中的向量線性表示，則稱向量組A可由向量組B線性表示。若向量組A和向量組B可以相互線性表示，則稱向量組A和向量組B等價[2]。該定義表明，若向量組A可由向量組B線性表示，則向量β1，β2，…，βt的方程組的解是向量?1，?2，…，?s的方程組的解。若向量組A和向量組B等價，則向量β1，β2，…，βtt的方程組和向量?1，?2，…，?s的方程組是同解方程。因此，在引入向量組線性表示和向量組等價的時候，我們可以說，為了研究一個方程組和另一個方程組解的關(guān)系，于是有了向量組線性表示和向量組等價的定義。

對于n維向量組?1，?2，…，?s，若存在不全為零的數(shù)k1，k2，…ks使k1?1+k2?2+…+ks?s=O，則稱向量組?1，?2，…，?s線性相關(guān)，若僅當k1=k2=…=ks=0時，上式才成立，則稱向量組?1，?2，…，?s線性無關(guān)[2]。由向量組線性相關(guān)的另一等價條件：向量組?1，?2，…?s（s≥2）線性相關(guān)的充要條件是其中至少有一個向量能被其余向量線性表示[2]，知該定義在方程組代表的意義是：若向量組?1，?2，…?s線性相關(guān)，則向量?1，?2，…?s的方程組是線性相關(guān)的方程組，方程組中有重復(fù)方程，也就是說向量?1，?2，…?s的方程組中至少存在一個方程可由其余方程恒等變換得到。若向量組?1，?2，…?s線性無關(guān)，則向量?1，?2，…?s的方程組是線性無關(guān)的方程組，即方程組中無重復(fù)方程。

向量組?1，?2，…?s的一個部分組?i1，?i2，…，?ir線性無關(guān)，并且?1，?2，…，?s中的每個一個向量都可由?i1，?i2，…，?ir線性表示，則?i1，?i2，…，?ir稱為它的極大無關(guān)組[2]。在向量空間中，我們知道向量組的極大無關(guān)組和向量組是等價的，因此，在線性方程組中，這個極大無關(guān)組的意義是：向量?i1，?i2，…，?ir的方程組是向量?1，?2，…，?s的方程組的同解方程。也就是說，對于一個線性相關(guān)的方程組，我們可以從中選出部分方程構(gòu)成方程組，這個方程組可以和原方程組是同解的，而選擇的這部分方程是原方程組向量的極大無關(guān)組所對應(yīng)的方程。因此，在引入極大無關(guān)組的定義的時候，我們可以說為了在線性相關(guān)的方程組中選出部分和原方程組同解的方程組，于是有了極大無關(guān)組這樣一個概念。另外向量組中極大無關(guān)組所含向量的個數(shù)稱為向量組的秩[2]，實際上，在線性方程組中，向量組?1，?2，…，?s的秩，就是向量?1，?2，…，?s的方程組中線性無關(guān)的方程的個數(shù)。

四、實例分析

有如下線性方程組A和B：

方程組A中，方程的向量分別為?1=（1，-2，3，-4，4）T，?2=（0，1，-1，1，-3）T，?3=（1，3，0，1，1）T，?4=（0，-7，3，1，-3）T，?5=（3，-1，4，1，-3）T。方程組B中，方程的向量分別為β1=（1，4，-1，2，-2）T，β2=（1，2，1，0，4）T，β3=（1，-9，6，-1，1）T，β4=（1，5，0，-5，7）T。下面我們通過向量的關(guān)系回答上文中對方程提出的一系列問題。下面我們將這些問題具體化。

1．方程組A中，方程和方程之間有沒有關(guān)系？

根據(jù)向量中判斷向量組線性相關(guān)、線性無關(guān)的理論，由

2．在方程組A中，方程（5）和其他的方程有什么樣的關(guān)系？或者說方程（5）能否由其他的方程恒等變換得到？若能，是怎么恒等變換得到的？

要回答這個問題，其實就是回答向量?5能否由向量?1，?2，?3，?4線性表示？若能，表達式是怎樣的？

根據(jù)向量中判斷一個向量能否由其他向量線性表示的理論，由

知?5能由向量?1，?2，?3，?4線性表示，且線性表示是唯一的，?5=?1+2?2+2?3+?4。因此知，方程（5）能由方程（1）、（2）、（3）、（4）恒等變換得到。方程（5）是相對于方程（1）、（2）、（3）、（4）的重復(fù)方程，其方程的關(guān)系可簡示為：

（5）=（1）+2×（2）+2×（3）+（4）

3．方程組A和方程組B是否為同解方程？

4．方程組A是線性相關(guān)的方程組，那么從中選出哪些方程構(gòu)成方程組可以同解與原方程組？

要回答這個問題，其實就是回答向量組?1，?2，?3，?4，?5極大無關(guān)組是什么？根據(jù)極大無關(guān)組的理論，由

知?1，?2，?3，?4，?5的極大無關(guān)組有?1，?2，?3，?4或?1，?2，?3，?5。因此，方程（1）、（2）、（3）、（4）或者是（1）、（2）、（3）、（5）構(gòu)成的方程組和原方程組是同解的，且原方程組中線性無關(guān)的方程最多只有4個。

四、結(jié)語

通過對線性方程和向量的關(guān)系的討論，我們發(fā)現(xiàn)方程的線性關(guān)系和向量的線性關(guān)系完全可以對應(yīng)起來，因此向量和向量組的定義和性質(zhì)，同方程組聯(lián)系起來就有了實際意義，不再是抽象的概念。學生通過這種聯(lián)系，可以更直觀的理解向量空間中的一些定義。通過實例分析可以看出，分析線性方程的某些關(guān)系也即是分析其方程向量的關(guān)系，因此，通過線性方程的關(guān)系引入向量的關(guān)系的這種方式，能夠使向量的關(guān)系更具實際意義，而不再是抽象的定義。

[1]北京大學數(shù)學系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組.高等代數(shù)（第二版）[M].北京：高等教育出版社，1988：104-126.

[2]袁暉坪，郭偉.線性代數(shù)（第一版）[M].北京：高等教育出版社，2010：94-104.

[3]吳克仁.對“向量線性相關(guān)性”教學法的探討[J].上海工程技術(shù)大學教育研究，2004，（2）：28-30.

[4]孫志信.談向量的線性關(guān)系、矩陣的秩與求解線性方程組的關(guān)系[J].佳木斯教育學院學報，1993，（2）：60-63.

[5]趙玉環(huán).向量組關(guān)系與其構(gòu)造的其次線性方程組的解的關(guān)系探討[J].工科數(shù)學，1999，15（4）：146-149.

G642.3

A

1674-9324（2014）26-0150-04

徐文華（1984-），女，漢；湖北隨州人；工作單位：重慶工商大學派斯學院；碩士；主要研究方向：應(yīng)用數(shù)值代數(shù)。