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    例談小學(xué)數(shù)學(xué)的習(xí)題教學(xué)

    2014-01-21 14:47伏蕓蕓
    關(guān)鍵詞:計(jì)算器奇數(shù)偶數(shù)

    伏蕓蕓

    習(xí)題是小學(xué)數(shù)學(xué)教材的重要組成部分,是學(xué)生進(jìn)行有效學(xué)習(xí)的重要載體,教材中每一道習(xí)題的編排既有知識(shí)應(yīng)用與技能形成的功能,也有為學(xué)生積累基本的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),明晰數(shù)學(xué)基本思想,鍛煉思維的價(jià)值。在實(shí)踐中,一般教師比較重視教材中范例的教學(xué),但不屑于對(duì)教材習(xí)題進(jìn)行研究,有時(shí)僅僅把教材的習(xí)題作為作業(yè)布置給學(xué)生,缺少對(duì)習(xí)題的挖掘以及教學(xué)過程的整合,使得習(xí)題功能弱化,教材意圖不能凸顯。

    課程標(biāo)準(zhǔn)提出教師要挖掘好習(xí)題背后隱藏的思維內(nèi)涵,在課堂教學(xué)中正確把握好數(shù)學(xué)知識(shí)的深度、廣度、梯度,合理利用教材中相關(guān)基礎(chǔ)習(xí)題進(jìn)行必要的“還原”,優(yōu)化教材,豐富教學(xué)資源。

    一、深究習(xí)題,展示思維

    深究習(xí)題就是教師在分析學(xué)生現(xiàn)有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上,通過引導(dǎo)使學(xué)生對(duì)知識(shí)有更進(jìn)一步的理解,對(duì)問題的思考更深刻。維果茨基的“最近發(fā)展區(qū)”理論告訴我們,學(xué)生在現(xiàn)有認(rèn)知水平和教師引導(dǎo)下可能達(dá)到的水平之間有一個(gè)區(qū)域,這就是“最近發(fā)展區(qū)”。教學(xué)就要作用于學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”,從而促進(jìn)學(xué)生發(fā)展。

    【案例1】四年級(jí)教材上有這樣一題:在得數(shù)相同的兩個(gè)算式后面畫“√”。

    (1)(28+16)×7 28×7+16×7 □

    (2)15×39+45×39 (15+45)×39 □

    (3)74×(20+1) 74×20+74 □

    (4)40×50+50×90 40×(50+90) □

    學(xué)生答題后,教師指著第(4)題引導(dǎo)學(xué)生交流。

    師:這題是左邊算式的結(jié)果大,還是右邊算式的結(jié)果大?你是怎樣看出來的?

    生1:左邊等于2000+4500=6500,右邊等于40×140=5600,所以左邊算式結(jié)果大。

    生2:40×50+50×90=50×(40+90)=50×130=6500,40×(50+90)=40×140=5600,所以左邊算式的結(jié)果大。

    生3:40×(50+90)=40×50+40×90,和左邊的算式比較,都有40×50,而40×90比50×90小,所以左邊算式的結(jié)果比右邊大。

    上述處理使習(xí)題中內(nèi)在的思維價(jià)值充分外顯,學(xué)生對(duì)乘法分配率的掌握得以深化,不再是為了解題而解題,而是通過讓學(xué)生獨(dú)立思考、自主探索、合作交流、猜測(cè)驗(yàn)證等來提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維水平及問題解決的能力,學(xué)生在解題過程中獲得了成功的體驗(yàn),數(shù)學(xué)能力得到了發(fā)展。

    【案例2】六年級(jí)教材中的一題:

    分?jǐn)?shù) 分?jǐn)?shù) 分?jǐn)?shù)

    小數(shù) 小數(shù) 小數(shù)

    一位教師是這樣教學(xué)的。

    第一層次:讓學(xué)生用分?jǐn)?shù)和小數(shù)表示陰影部分。這是對(duì)素材中基本要求的達(dá)成。

    第二層次:讓學(xué)生用分?jǐn)?shù)和小數(shù)表示空白部分。這是對(duì)素材進(jìn)一步的開發(fā),也是辯證統(tǒng)一思想的滲透。

    第三層次:教師出示另一個(gè)空白圖形和0.3、0.35、0.012三個(gè)數(shù),讓學(xué)生在空白圖形中分別表示出這三個(gè)數(shù)。這是對(duì)學(xué)生逆向思考能力的培養(yǎng)。

    第四層次:教師繼續(xù)提供空白圖形,讓學(xué)生自主涂色,并用分?jǐn)?shù)和小數(shù)表示陰影和空白部分。這是創(chuàng)造和提升。

    在這個(gè)教學(xué)片斷中教師順著學(xué)生的思維特點(diǎn),由淺入深對(duì)同一個(gè)素材進(jìn)行了充分的挖掘和深究,從不同的角度來審視素材的內(nèi)蘊(yùn),使課堂變得簡(jiǎn)約卻富有意蘊(yùn)。

    二、拆分習(xí)題,點(diǎn)撥思維

    教材習(xí)題是對(duì)教學(xué)內(nèi)容的鞏固和發(fā)展。教師要領(lǐng)會(huì)教材意圖,優(yōu)化使用教材習(xí)題,放大習(xí)題資源功能,在新課程理念的引領(lǐng)下,將習(xí)題教學(xué)演繹得更加精彩。教材習(xí)題的呈現(xiàn)方式是多樣的,有的可以直接呈現(xiàn),有的可以逐步呈現(xiàn),有的需要設(shè)計(jì)一定的情境呈現(xiàn),要根據(jù)教學(xué)的需要靈活選擇呈現(xiàn)的方式,使習(xí)題功能增值。

    【案例3】有這么一節(jié)“百分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)”的公開課,讓人聽后不由得為教者對(duì)教材的教學(xué)資源的充分挖掘與利用贊嘆。

    第一層次出示圖1,讓學(xué)生用三種數(shù)表示出陰影部分的面積。

    圖1 圖2

    分?jǐn)?shù) 小數(shù) 百分?jǐn)?shù)

    師:你想先填哪一個(gè)?(讓學(xué)生根據(jù)自己喜好任選一種數(shù)先填)能把這三類數(shù)進(jìn)行互化嗎?

    (師先示范一個(gè),學(xué)生自己開始填其余兩種數(shù))

    第二層次:用這樣的三種數(shù)你能表示出空白部分的面積嗎?

    學(xué)生試一試,相互選一題說一說是如何想的。

    教師選一題讓學(xué)生匯報(bào)。

    第三層次:(電腦出示圖2)按要求在圖2中用陰影分別表示出0.4,■,0.012。

    師:如何在圖2中把0.4表示出來?

    生:先把0.4化為■。(學(xué)生試做)

    師:■可以直接表示嗎?

    師:0.012化為百分?jǐn)?shù)是多少?化為多少便于表示,可以試著涂一涂。

    第四層次:(電腦出示空白圖)

    師:用自己喜歡的方式,自主在圖形中涂色,并說說小數(shù)、分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)該如何表示。

    綜觀教者對(duì)習(xí)題四個(gè)層次的設(shè)計(jì),層層推進(jìn),思維逐步深入,提升與發(fā)展了學(xué)生的綜合能力。教師對(duì)書本習(xí)題資源進(jìn)行挖掘與利用的處理方式,使得習(xí)題的內(nèi)涵更加豐富,教學(xué)不再停留在就題講題的層面上,有利于學(xué)生加深對(duì)問題的認(rèn)識(shí),點(diǎn)撥了學(xué)生的思維,拓展了學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu),形成了一定的解題策略。

    教學(xué)要以教材中的習(xí)題為依據(jù),但又不拘泥于教材習(xí)題,教學(xué)中習(xí)題呈現(xiàn)方式的改變給學(xué)生提供了更多實(shí)踐、探索的空間,從而達(dá)到激活課堂、點(diǎn)化思維的教學(xué)目的。

    【案例4】教學(xué)“7的乘法口訣”一節(jié),教材上有一道習(xí)題設(shè)計(jì)了“每排七罐奶粉,共有六排,問一共有多少罐奶粉”的問題情境,教學(xué)時(shí)教師除了讓學(xué)生在解決問題中進(jìn)一步熟練7的乘法口訣,同時(shí)還有意培養(yǎng)學(xué)生的估算意識(shí),激活思維。(下圖中用○表示一個(gè)牛奶罐)endprint

    出示圖3,請(qǐng)學(xué)生估計(jì)出這個(gè)盒子里可以放多少牛奶罐。在學(xué)生猜的基礎(chǔ)上給出圖4進(jìn)行提示,多數(shù)學(xué)生的估計(jì)比較接近于答案。這時(shí)出示圖5,學(xué)生都能說出得到正確答案的原因。教師通過圖示,為學(xué)生估計(jì)、判斷提供了支點(diǎn),讓學(xué)生感悟到估計(jì)時(shí)所考慮的相關(guān)因素越多,結(jié)果越準(zhǔn)確。這一經(jīng)歷,學(xué)生對(duì)“估”的認(rèn)識(shí)不僅僅停留在“猜”的經(jīng)驗(yàn)上,而是提升了學(xué)生的思維,使估算有理。事實(shí)證明,靈活拆分、組合、調(diào)整習(xí)題的內(nèi)容,能較好地實(shí)現(xiàn)教材編寫者的意圖,切實(shí)體現(xiàn)了新課程的理念。

    三、延伸習(xí)題,引深思維

    教材中的習(xí)題是編者根據(jù)大部分學(xué)生的水平設(shè)計(jì)的,因此不可能面面俱到,不可能完全照顧到每個(gè)學(xué)生的實(shí)際情況。課程標(biāo)準(zhǔn)倡導(dǎo):不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展。因此,教師要盡可能拓展習(xí)題的功能,既要鞏固基礎(chǔ)又能培養(yǎng)能力,使每個(gè)層次的學(xué)生都能有所發(fā)展。

    【案例5】四年級(jí)上冊(cè)教材第97頁(yè)“想想做做”第5題是這樣的:□中可以填哪些數(shù)?

    9□875≈10萬 39□0000000≈39億

    在學(xué)生獲得準(zhǔn)確結(jié)果后,教師提出:老師也想了一個(gè)整數(shù),它四舍五入到萬位后也是10萬,這個(gè)數(shù)最大可能是多少?最小可能是多少呢?

    學(xué)生迅速思考、動(dòng)筆嘗試。

    生1:這個(gè)數(shù)最大是99999,最小是95000。

    生2:不對(duì),最大應(yīng)該是104000。

    師:你是怎樣想的?

    生2:要想原來這個(gè)數(shù)最大,顯然不能五入得到10萬,而應(yīng)四舍得到10萬。所以,原數(shù)千位上應(yīng)該是4,這個(gè)數(shù)最大是104000。

    生3:我覺得還可以更大,應(yīng)該是104999。因?yàn)榍簧鲜恰?”后,百位、十位和個(gè)位上的數(shù)不會(huì)影響結(jié)果。

    生4:我也覺得是104999,因?yàn)槿绻俦人?,那就成105000了,而這個(gè)數(shù)四舍五入到萬位是11萬,不符合題目要求。

    盡管原題已經(jīng)具備了一定的開放性,但這種開放性更多的是建立在嘗試、歸納的基礎(chǔ)上,思維含量并不豐富。而延伸后的習(xí)題,無論從其答案的開放性,還是其思維容量上來看,都有了更多的超越,在培養(yǎng)學(xué)生思維的縝密、有序、合理性等方面,都是原題所無法比擬的。

    【案例6】四年級(jí)上冊(cè)第101頁(yè)有這樣一道習(xí)題:先用計(jì)算器算出前四題的得數(shù),再直接填出后兩題橫線上的數(shù)。

    1×1=

    11×11=

    111×111=

    1111×1111=

    × =

    一位教師在教學(xué)中,對(duì)習(xí)題進(jìn)行了改編與延伸。

    師:既然同學(xué)們都會(huì)用計(jì)算器進(jìn)行計(jì)算了,下面就請(qǐng)大家拿出計(jì)算器,試著算出下面這道題的結(jié)果。

    111111111×111111111=

    很快,學(xué)生通過操作紛紛發(fā)現(xiàn)這道題的“問題所在”。

    生1:我的計(jì)算器只能顯示8位,9個(gè)1顯示不了。

    生2:我的計(jì)算器只能顯示10位,但計(jì)算結(jié)果顯示不出來,大概是數(shù)位不夠吧。

    師:看來,計(jì)算器也不是萬能的。我們是否能想點(diǎn)法子進(jìn)行研究呢?

    生3:我們可以從11×11算起。

    師:那你們就研究吧!

    (學(xué)生在邊研究邊討論)

    生4:11×11=121,111×111=12321,1111×1111=1234321。

    生5:我知道了,這題的結(jié)果為12345678987654321。

    師:說說你的想法。

    (學(xué)生交流了自己發(fā)現(xiàn)的規(guī)律)

    在這個(gè)教學(xué)中教師不是讓學(xué)生按部就班地去“發(fā)現(xiàn)”規(guī)律,而是先引出認(rèn)知沖突,激發(fā)學(xué)生進(jìn)行自主思考,并讓學(xué)生在教師的引導(dǎo)下自覺建構(gòu)模型,并最終利用模型解決相關(guān)問題。這種教學(xué)方式給了我們豐富的啟示,值得我們深思、借鑒。

    四、拓展習(xí)題,發(fā)散思維

    數(shù)學(xué)是思維的體操,數(shù)學(xué)思維在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中具有重要的作用。教師應(yīng)將思維訓(xùn)練貫穿于整個(gè)教學(xué)過程,當(dāng)然,在教學(xué)習(xí)題時(shí)也不能例外,教師要用足用好每一道練習(xí)題,認(rèn)真鉆研教材,理解編排意圖,明確每一道習(xí)題的作用和功能,有效地加以拓展、發(fā)散學(xué)生的思維。

    【案例7】四年級(jí)下冊(cè)教材第81頁(yè)有這樣一道習(xí)題:4個(gè)任意的小球,分別標(biāo)上數(shù)字1、2、3、4。每次任意摸出2個(gè)小球,兩數(shù)之和為偶數(shù)算小紅贏,兩數(shù)之和為奇數(shù)算小明贏。這樣的游戲規(guī)則公平嗎?

    看到這道習(xí)題,生1忍不住回答:當(dāng)然公平啦。

    師(及時(shí)給他表達(dá)的機(jī)會(huì)):那你說說自己的想法。

    生1:因?yàn)閮蓚€(gè)數(shù)相加的和可能是奇數(shù),也可能是偶數(shù),所以可能性同樣大,也就是這個(gè)游戲規(guī)則公平。

    生2:我也認(rèn)為這個(gè)游戲規(guī)則公平,因?yàn)榻o我們的4個(gè)數(shù)當(dāng)中有2個(gè)奇數(shù)和2個(gè)偶數(shù),當(dāng)然是公平的。

    師:你們說的似乎很有道理,其他同學(xué)有不同看法嗎?

    生3:不一定吧,雖然是2個(gè)奇數(shù)和2個(gè)偶數(shù),但是它們的和也不一定正好一半是奇數(shù),一半是偶數(shù)吧。

    師:那我們就動(dòng)筆來算算,用數(shù)據(jù)說話吧。

    (學(xué)生探究的欲望被調(diào)動(dòng)起來了,紛紛在作業(yè)本上計(jì)算起來)

    生4:我知道了,這個(gè)游戲規(guī)則不公平。它們?nèi)我鈨蓚€(gè)數(shù)字的和有6種不同情況,分別是“1+2=3,1+3=4,1+4=5,2+3=5,2+4=6,3+4=7”。在這6種和之中,偶數(shù)的只有2種情況,而奇數(shù)的卻有4種情況。

    師(適時(shí)進(jìn)行引導(dǎo),將學(xué)生的思維引向深處):可是剛才幾個(gè)同學(xué)的回答聽起來也挺有道理的,怎么就會(huì)不公平了呢?

    生5:因?yàn)橹灰瞧鏀?shù)加偶數(shù)就得到奇數(shù),而偶數(shù)加偶數(shù)或者奇數(shù)加奇數(shù)才得到偶數(shù),但是偶數(shù)加偶數(shù)或者奇數(shù)加奇數(shù)的情況比較少。

    教師并沒有結(jié)束此題的教學(xué),而在原有問題的基礎(chǔ)上進(jìn)行了發(fā)散。因?yàn)橹灰辛碎_放的交流,學(xué)生的思維一定會(huì)在發(fā)散中得到提升。

    師:那有什么辦法讓這個(gè)游戲變得公平呢?

    (學(xué)生立刻在作業(yè)本上驗(yàn)算起來,過了一會(huì),他們又有了新的收獲)

    生6:只要將這4個(gè)數(shù)字改成1個(gè)偶數(shù)和3個(gè)奇數(shù)就公平了。比如改成1、2、3、5。

    生7:或者將這4個(gè)數(shù)字改成3個(gè)偶數(shù)和1個(gè)奇數(shù)也公平。比如改成2、3、4、6。

    真為學(xué)生精彩的發(fā)言和獨(dú)到的見解而驕傲。在這個(gè)教學(xué)過程中,教師讓學(xué)生通過訓(xùn)練不斷探索解題的捷徑,使學(xué)生思維的廣闊性得到不斷地?cái)U(kuò)充,而多次的漸進(jìn)式的拓展訓(xùn)練,又使學(xué)生進(jìn)入了廣闊而又發(fā)散思維的佳境。

    教材習(xí)題是整合知識(shí)的重要載體,也是提升學(xué)生數(shù)學(xué)能力的重要工具。教學(xué)中教師要充分挖掘好習(xí)題的內(nèi)涵,放寬教學(xué)思路,引導(dǎo)學(xué)生參與分析、類比、歸納等數(shù)學(xué)活動(dòng),將知識(shí)系統(tǒng)化,實(shí)現(xiàn)解題思路的自我發(fā)現(xiàn)、自我構(gòu)建和自我創(chuàng)造,將知識(shí)轉(zhuǎn)化成智慧。

    (責(zé)編 金 鈴)endprint

    出示圖3,請(qǐng)學(xué)生估計(jì)出這個(gè)盒子里可以放多少牛奶罐。在學(xué)生猜的基礎(chǔ)上給出圖4進(jìn)行提示,多數(shù)學(xué)生的估計(jì)比較接近于答案。這時(shí)出示圖5,學(xué)生都能說出得到正確答案的原因。教師通過圖示,為學(xué)生估計(jì)、判斷提供了支點(diǎn),讓學(xué)生感悟到估計(jì)時(shí)所考慮的相關(guān)因素越多,結(jié)果越準(zhǔn)確。這一經(jīng)歷,學(xué)生對(duì)“估”的認(rèn)識(shí)不僅僅停留在“猜”的經(jīng)驗(yàn)上,而是提升了學(xué)生的思維,使估算有理。事實(shí)證明,靈活拆分、組合、調(diào)整習(xí)題的內(nèi)容,能較好地實(shí)現(xiàn)教材編寫者的意圖,切實(shí)體現(xiàn)了新課程的理念。

    三、延伸習(xí)題,引深思維

    教材中的習(xí)題是編者根據(jù)大部分學(xué)生的水平設(shè)計(jì)的,因此不可能面面俱到,不可能完全照顧到每個(gè)學(xué)生的實(shí)際情況。課程標(biāo)準(zhǔn)倡導(dǎo):不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展。因此,教師要盡可能拓展習(xí)題的功能,既要鞏固基礎(chǔ)又能培養(yǎng)能力,使每個(gè)層次的學(xué)生都能有所發(fā)展。

    【案例5】四年級(jí)上冊(cè)教材第97頁(yè)“想想做做”第5題是這樣的:□中可以填哪些數(shù)?

    9□875≈10萬 39□0000000≈39億

    在學(xué)生獲得準(zhǔn)確結(jié)果后,教師提出:老師也想了一個(gè)整數(shù),它四舍五入到萬位后也是10萬,這個(gè)數(shù)最大可能是多少?最小可能是多少呢?

    學(xué)生迅速思考、動(dòng)筆嘗試。

    生1:這個(gè)數(shù)最大是99999,最小是95000。

    生2:不對(duì),最大應(yīng)該是104000。

    師:你是怎樣想的?

    生2:要想原來這個(gè)數(shù)最大,顯然不能五入得到10萬,而應(yīng)四舍得到10萬。所以,原數(shù)千位上應(yīng)該是4,這個(gè)數(shù)最大是104000。

    生3:我覺得還可以更大,應(yīng)該是104999。因?yàn)榍簧鲜恰?”后,百位、十位和個(gè)位上的數(shù)不會(huì)影響結(jié)果。

    生4:我也覺得是104999,因?yàn)槿绻俦人?,那就成105000了,而這個(gè)數(shù)四舍五入到萬位是11萬,不符合題目要求。

    盡管原題已經(jīng)具備了一定的開放性,但這種開放性更多的是建立在嘗試、歸納的基礎(chǔ)上,思維含量并不豐富。而延伸后的習(xí)題,無論從其答案的開放性,還是其思維容量上來看,都有了更多的超越,在培養(yǎng)學(xué)生思維的縝密、有序、合理性等方面,都是原題所無法比擬的。

    【案例6】四年級(jí)上冊(cè)第101頁(yè)有這樣一道習(xí)題:先用計(jì)算器算出前四題的得數(shù),再直接填出后兩題橫線上的數(shù)。

    1×1=

    11×11=

    111×111=

    1111×1111=

    × =

    一位教師在教學(xué)中,對(duì)習(xí)題進(jìn)行了改編與延伸。

    師:既然同學(xué)們都會(huì)用計(jì)算器進(jìn)行計(jì)算了,下面就請(qǐng)大家拿出計(jì)算器,試著算出下面這道題的結(jié)果。

    111111111×111111111=

    很快,學(xué)生通過操作紛紛發(fā)現(xiàn)這道題的“問題所在”。

    生1:我的計(jì)算器只能顯示8位,9個(gè)1顯示不了。

    生2:我的計(jì)算器只能顯示10位,但計(jì)算結(jié)果顯示不出來,大概是數(shù)位不夠吧。

    師:看來,計(jì)算器也不是萬能的。我們是否能想點(diǎn)法子進(jìn)行研究呢?

    生3:我們可以從11×11算起。

    師:那你們就研究吧!

    (學(xué)生在邊研究邊討論)

    生4:11×11=121,111×111=12321,1111×1111=1234321。

    生5:我知道了,這題的結(jié)果為12345678987654321。

    師:說說你的想法。

    (學(xué)生交流了自己發(fā)現(xiàn)的規(guī)律)

    在這個(gè)教學(xué)中教師不是讓學(xué)生按部就班地去“發(fā)現(xiàn)”規(guī)律,而是先引出認(rèn)知沖突,激發(fā)學(xué)生進(jìn)行自主思考,并讓學(xué)生在教師的引導(dǎo)下自覺建構(gòu)模型,并最終利用模型解決相關(guān)問題。這種教學(xué)方式給了我們豐富的啟示,值得我們深思、借鑒。

    四、拓展習(xí)題,發(fā)散思維

    數(shù)學(xué)是思維的體操,數(shù)學(xué)思維在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中具有重要的作用。教師應(yīng)將思維訓(xùn)練貫穿于整個(gè)教學(xué)過程,當(dāng)然,在教學(xué)習(xí)題時(shí)也不能例外,教師要用足用好每一道練習(xí)題,認(rèn)真鉆研教材,理解編排意圖,明確每一道習(xí)題的作用和功能,有效地加以拓展、發(fā)散學(xué)生的思維。

    【案例7】四年級(jí)下冊(cè)教材第81頁(yè)有這樣一道習(xí)題:4個(gè)任意的小球,分別標(biāo)上數(shù)字1、2、3、4。每次任意摸出2個(gè)小球,兩數(shù)之和為偶數(shù)算小紅贏,兩數(shù)之和為奇數(shù)算小明贏。這樣的游戲規(guī)則公平嗎?

    看到這道習(xí)題,生1忍不住回答:當(dāng)然公平啦。

    師(及時(shí)給他表達(dá)的機(jī)會(huì)):那你說說自己的想法。

    生1:因?yàn)閮蓚€(gè)數(shù)相加的和可能是奇數(shù),也可能是偶數(shù),所以可能性同樣大,也就是這個(gè)游戲規(guī)則公平。

    生2:我也認(rèn)為這個(gè)游戲規(guī)則公平,因?yàn)榻o我們的4個(gè)數(shù)當(dāng)中有2個(gè)奇數(shù)和2個(gè)偶數(shù),當(dāng)然是公平的。

    師:你們說的似乎很有道理,其他同學(xué)有不同看法嗎?

    生3:不一定吧,雖然是2個(gè)奇數(shù)和2個(gè)偶數(shù),但是它們的和也不一定正好一半是奇數(shù),一半是偶數(shù)吧。

    師:那我們就動(dòng)筆來算算,用數(shù)據(jù)說話吧。

    (學(xué)生探究的欲望被調(diào)動(dòng)起來了,紛紛在作業(yè)本上計(jì)算起來)

    生4:我知道了,這個(gè)游戲規(guī)則不公平。它們?nèi)我鈨蓚€(gè)數(shù)字的和有6種不同情況,分別是“1+2=3,1+3=4,1+4=5,2+3=5,2+4=6,3+4=7”。在這6種和之中,偶數(shù)的只有2種情況,而奇數(shù)的卻有4種情況。

    師(適時(shí)進(jìn)行引導(dǎo),將學(xué)生的思維引向深處):可是剛才幾個(gè)同學(xué)的回答聽起來也挺有道理的,怎么就會(huì)不公平了呢?

    生5:因?yàn)橹灰瞧鏀?shù)加偶數(shù)就得到奇數(shù),而偶數(shù)加偶數(shù)或者奇數(shù)加奇數(shù)才得到偶數(shù),但是偶數(shù)加偶數(shù)或者奇數(shù)加奇數(shù)的情況比較少。

    教師并沒有結(jié)束此題的教學(xué),而在原有問題的基礎(chǔ)上進(jìn)行了發(fā)散。因?yàn)橹灰辛碎_放的交流,學(xué)生的思維一定會(huì)在發(fā)散中得到提升。

    師:那有什么辦法讓這個(gè)游戲變得公平呢?

    (學(xué)生立刻在作業(yè)本上驗(yàn)算起來,過了一會(huì),他們又有了新的收獲)

    生6:只要將這4個(gè)數(shù)字改成1個(gè)偶數(shù)和3個(gè)奇數(shù)就公平了。比如改成1、2、3、5。

    生7:或者將這4個(gè)數(shù)字改成3個(gè)偶數(shù)和1個(gè)奇數(shù)也公平。比如改成2、3、4、6。

    真為學(xué)生精彩的發(fā)言和獨(dú)到的見解而驕傲。在這個(gè)教學(xué)過程中,教師讓學(xué)生通過訓(xùn)練不斷探索解題的捷徑,使學(xué)生思維的廣闊性得到不斷地?cái)U(kuò)充,而多次的漸進(jìn)式的拓展訓(xùn)練,又使學(xué)生進(jìn)入了廣闊而又發(fā)散思維的佳境。

    教材習(xí)題是整合知識(shí)的重要載體,也是提升學(xué)生數(shù)學(xué)能力的重要工具。教學(xué)中教師要充分挖掘好習(xí)題的內(nèi)涵,放寬教學(xué)思路,引導(dǎo)學(xué)生參與分析、類比、歸納等數(shù)學(xué)活動(dòng),將知識(shí)系統(tǒng)化,實(shí)現(xiàn)解題思路的自我發(fā)現(xiàn)、自我構(gòu)建和自我創(chuàng)造,將知識(shí)轉(zhuǎn)化成智慧。

    (責(zé)編 金 鈴)endprint

    出示圖3,請(qǐng)學(xué)生估計(jì)出這個(gè)盒子里可以放多少牛奶罐。在學(xué)生猜的基礎(chǔ)上給出圖4進(jìn)行提示,多數(shù)學(xué)生的估計(jì)比較接近于答案。這時(shí)出示圖5,學(xué)生都能說出得到正確答案的原因。教師通過圖示,為學(xué)生估計(jì)、判斷提供了支點(diǎn),讓學(xué)生感悟到估計(jì)時(shí)所考慮的相關(guān)因素越多,結(jié)果越準(zhǔn)確。這一經(jīng)歷,學(xué)生對(duì)“估”的認(rèn)識(shí)不僅僅停留在“猜”的經(jīng)驗(yàn)上,而是提升了學(xué)生的思維,使估算有理。事實(shí)證明,靈活拆分、組合、調(diào)整習(xí)題的內(nèi)容,能較好地實(shí)現(xiàn)教材編寫者的意圖,切實(shí)體現(xiàn)了新課程的理念。

    三、延伸習(xí)題,引深思維

    教材中的習(xí)題是編者根據(jù)大部分學(xué)生的水平設(shè)計(jì)的,因此不可能面面俱到,不可能完全照顧到每個(gè)學(xué)生的實(shí)際情況。課程標(biāo)準(zhǔn)倡導(dǎo):不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展。因此,教師要盡可能拓展習(xí)題的功能,既要鞏固基礎(chǔ)又能培養(yǎng)能力,使每個(gè)層次的學(xué)生都能有所發(fā)展。

    【案例5】四年級(jí)上冊(cè)教材第97頁(yè)“想想做做”第5題是這樣的:□中可以填哪些數(shù)?

    9□875≈10萬 39□0000000≈39億

    在學(xué)生獲得準(zhǔn)確結(jié)果后,教師提出:老師也想了一個(gè)整數(shù),它四舍五入到萬位后也是10萬,這個(gè)數(shù)最大可能是多少?最小可能是多少呢?

    學(xué)生迅速思考、動(dòng)筆嘗試。

    生1:這個(gè)數(shù)最大是99999,最小是95000。

    生2:不對(duì),最大應(yīng)該是104000。

    師:你是怎樣想的?

    生2:要想原來這個(gè)數(shù)最大,顯然不能五入得到10萬,而應(yīng)四舍得到10萬。所以,原數(shù)千位上應(yīng)該是4,這個(gè)數(shù)最大是104000。

    生3:我覺得還可以更大,應(yīng)該是104999。因?yàn)榍簧鲜恰?”后,百位、十位和個(gè)位上的數(shù)不會(huì)影響結(jié)果。

    生4:我也覺得是104999,因?yàn)槿绻俦人?,那就成105000了,而這個(gè)數(shù)四舍五入到萬位是11萬,不符合題目要求。

    盡管原題已經(jīng)具備了一定的開放性,但這種開放性更多的是建立在嘗試、歸納的基礎(chǔ)上,思維含量并不豐富。而延伸后的習(xí)題,無論從其答案的開放性,還是其思維容量上來看,都有了更多的超越,在培養(yǎng)學(xué)生思維的縝密、有序、合理性等方面,都是原題所無法比擬的。

    【案例6】四年級(jí)上冊(cè)第101頁(yè)有這樣一道習(xí)題:先用計(jì)算器算出前四題的得數(shù),再直接填出后兩題橫線上的數(shù)。

    1×1=

    11×11=

    111×111=

    1111×1111=

    × =

    一位教師在教學(xué)中,對(duì)習(xí)題進(jìn)行了改編與延伸。

    師:既然同學(xué)們都會(huì)用計(jì)算器進(jìn)行計(jì)算了,下面就請(qǐng)大家拿出計(jì)算器,試著算出下面這道題的結(jié)果。

    111111111×111111111=

    很快,學(xué)生通過操作紛紛發(fā)現(xiàn)這道題的“問題所在”。

    生1:我的計(jì)算器只能顯示8位,9個(gè)1顯示不了。

    生2:我的計(jì)算器只能顯示10位,但計(jì)算結(jié)果顯示不出來,大概是數(shù)位不夠吧。

    師:看來,計(jì)算器也不是萬能的。我們是否能想點(diǎn)法子進(jìn)行研究呢?

    生3:我們可以從11×11算起。

    師:那你們就研究吧!

    (學(xué)生在邊研究邊討論)

    生4:11×11=121,111×111=12321,1111×1111=1234321。

    生5:我知道了,這題的結(jié)果為12345678987654321。

    師:說說你的想法。

    (學(xué)生交流了自己發(fā)現(xiàn)的規(guī)律)

    在這個(gè)教學(xué)中教師不是讓學(xué)生按部就班地去“發(fā)現(xiàn)”規(guī)律,而是先引出認(rèn)知沖突,激發(fā)學(xué)生進(jìn)行自主思考,并讓學(xué)生在教師的引導(dǎo)下自覺建構(gòu)模型,并最終利用模型解決相關(guān)問題。這種教學(xué)方式給了我們豐富的啟示,值得我們深思、借鑒。

    四、拓展習(xí)題,發(fā)散思維

    數(shù)學(xué)是思維的體操,數(shù)學(xué)思維在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中具有重要的作用。教師應(yīng)將思維訓(xùn)練貫穿于整個(gè)教學(xué)過程,當(dāng)然,在教學(xué)習(xí)題時(shí)也不能例外,教師要用足用好每一道練習(xí)題,認(rèn)真鉆研教材,理解編排意圖,明確每一道習(xí)題的作用和功能,有效地加以拓展、發(fā)散學(xué)生的思維。

    【案例7】四年級(jí)下冊(cè)教材第81頁(yè)有這樣一道習(xí)題:4個(gè)任意的小球,分別標(biāo)上數(shù)字1、2、3、4。每次任意摸出2個(gè)小球,兩數(shù)之和為偶數(shù)算小紅贏,兩數(shù)之和為奇數(shù)算小明贏。這樣的游戲規(guī)則公平嗎?

    看到這道習(xí)題,生1忍不住回答:當(dāng)然公平啦。

    師(及時(shí)給他表達(dá)的機(jī)會(huì)):那你說說自己的想法。

    生1:因?yàn)閮蓚€(gè)數(shù)相加的和可能是奇數(shù),也可能是偶數(shù),所以可能性同樣大,也就是這個(gè)游戲規(guī)則公平。

    生2:我也認(rèn)為這個(gè)游戲規(guī)則公平,因?yàn)榻o我們的4個(gè)數(shù)當(dāng)中有2個(gè)奇數(shù)和2個(gè)偶數(shù),當(dāng)然是公平的。

    師:你們說的似乎很有道理,其他同學(xué)有不同看法嗎?

    生3:不一定吧,雖然是2個(gè)奇數(shù)和2個(gè)偶數(shù),但是它們的和也不一定正好一半是奇數(shù),一半是偶數(shù)吧。

    師:那我們就動(dòng)筆來算算,用數(shù)據(jù)說話吧。

    (學(xué)生探究的欲望被調(diào)動(dòng)起來了,紛紛在作業(yè)本上計(jì)算起來)

    生4:我知道了,這個(gè)游戲規(guī)則不公平。它們?nèi)我鈨蓚€(gè)數(shù)字的和有6種不同情況,分別是“1+2=3,1+3=4,1+4=5,2+3=5,2+4=6,3+4=7”。在這6種和之中,偶數(shù)的只有2種情況,而奇數(shù)的卻有4種情況。

    師(適時(shí)進(jìn)行引導(dǎo),將學(xué)生的思維引向深處):可是剛才幾個(gè)同學(xué)的回答聽起來也挺有道理的,怎么就會(huì)不公平了呢?

    生5:因?yàn)橹灰瞧鏀?shù)加偶數(shù)就得到奇數(shù),而偶數(shù)加偶數(shù)或者奇數(shù)加奇數(shù)才得到偶數(shù),但是偶數(shù)加偶數(shù)或者奇數(shù)加奇數(shù)的情況比較少。

    教師并沒有結(jié)束此題的教學(xué),而在原有問題的基礎(chǔ)上進(jìn)行了發(fā)散。因?yàn)橹灰辛碎_放的交流,學(xué)生的思維一定會(huì)在發(fā)散中得到提升。

    師:那有什么辦法讓這個(gè)游戲變得公平呢?

    (學(xué)生立刻在作業(yè)本上驗(yàn)算起來,過了一會(huì),他們又有了新的收獲)

    生6:只要將這4個(gè)數(shù)字改成1個(gè)偶數(shù)和3個(gè)奇數(shù)就公平了。比如改成1、2、3、5。

    生7:或者將這4個(gè)數(shù)字改成3個(gè)偶數(shù)和1個(gè)奇數(shù)也公平。比如改成2、3、4、6。

    真為學(xué)生精彩的發(fā)言和獨(dú)到的見解而驕傲。在這個(gè)教學(xué)過程中,教師讓學(xué)生通過訓(xùn)練不斷探索解題的捷徑,使學(xué)生思維的廣闊性得到不斷地?cái)U(kuò)充,而多次的漸進(jìn)式的拓展訓(xùn)練,又使學(xué)生進(jìn)入了廣闊而又發(fā)散思維的佳境。

    教材習(xí)題是整合知識(shí)的重要載體,也是提升學(xué)生數(shù)學(xué)能力的重要工具。教學(xué)中教師要充分挖掘好習(xí)題的內(nèi)涵,放寬教學(xué)思路,引導(dǎo)學(xué)生參與分析、類比、歸納等數(shù)學(xué)活動(dòng),將知識(shí)系統(tǒng)化,實(shí)現(xiàn)解題思路的自我發(fā)現(xiàn)、自我構(gòu)建和自我創(chuàng)造,將知識(shí)轉(zhuǎn)化成智慧。

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