基于L0梯度范數(shù)泛函優(yōu)化和變換域閾值的圖像去噪算法*

趙秀芝

（浙江工貿(mào)職業(yè)技術(shù)學院電子工程系，浙江溫州325003）

基于L0梯度范數(shù)泛函優(yōu)化和變換域閾值的圖像去噪算法*

趙秀芝

（浙江工貿(mào)職業(yè)技術(shù)學院電子工程系，浙江溫州325003）

基于L0梯度泛函優(yōu)化和變換域閾值法的圖像去噪算法，首先利用L0梯度泛函的最優(yōu)化算法把含有噪聲的圖像分解為顯著邊緣層和細節(jié)紋理細節(jié)層，然后對含有噪聲的細節(jié)紋理層圖像進行短時傅利葉轉(zhuǎn)換，并在變換域中利用閾值法分離紋理細節(jié)層中的圖像細節(jié)紋理和噪聲，進而去除圖像的噪聲。實驗結(jié)果表明圖像去噪算法獲得了顯著的去噪效果。

去噪；變換閾值；圖像分解

0 引言

隨著數(shù)字成像技術(shù)的飛速發(fā)展，成像設(shè)備（如相機）越來越先進，但數(shù)字圖像卻常常在成像的過程中受到設(shè)備噪聲、周圍環(huán)境噪聲的干擾，以至于圖像中含有噪聲，為了圖像的后續(xù)使用，必須對圖像進行去噪處理。

目前，圖像去噪算法大致分為兩類：空間域濾波和變換域濾波。早期典型的圖像去噪算法均為空間域濾波算法，如維納濾波、均值濾波器等典型的線性濾波器。此類線性濾波算法簡單卻會模糊圖像邊緣和細節(jié)紋理。近年，雙邊濾波器[1]、L0梯度范數(shù)泛函優(yōu)化[2]等優(yōu)秀算法被陸續(xù)提出。這些去噪算法可以在去噪的同時保留圖像主要邊緣信息，但卻無法在保留對比度較小的細節(jié)紋理信息和保留去除噪聲之間做出平衡。產(chǎn)生此現(xiàn)象的根本原因在于：在空間域中各圖像特征并不能很好的表現(xiàn)出來，如小的細節(jié)紋理和噪聲。因此，對圖像進行空間轉(zhuǎn)換、分析圖像特征，再通過閾值的方式去除噪聲是另外一個去噪的主要思路。例如，小波閾值算法[3,4]就是通過選擇一個適合的閾值，對小波系數(shù)進行閾值處理，實現(xiàn)去噪的目的。盡管變換域閾值算法在去噪方面表現(xiàn)出了優(yōu)越的性能，但卻容易在顯著邊緣處產(chǎn)生振鈴現(xiàn)象[5]。

L0梯度范數(shù)泛函優(yōu)化雖然不能有效地分離噪聲和圖像的細節(jié)紋理，但卻可將圖像的邊緣先分離出去，而變換閾值可以在無邊緣下有效的去除噪聲。可先利用L0梯度范數(shù)泛函優(yōu)化算法把圖像的顯著邊緣先分離出來，余下的混有噪聲的細節(jié)紋理圖像再利用變換域閾值算法對其進行去噪處理，最后合并邊緣和細節(jié)紋理重構(gòu)圖像。此方法既去除了噪聲又避免了振鈴現(xiàn)象的產(chǎn)生。

1 圖像的去噪算法

假定噪聲圖像的噪聲為高斯白噪，其均值為0，方差為σ2，則噪聲圖像可表示為：

式中，χ(i,j)表示沒有噪聲的原始圖像，η(i,j)表示噪聲。圖像去噪的目標就是從噪聲圖像y(i,j)中去除噪聲η(i,j)從而恢復原始圖像χ(i,j)。

圖1給出本文算法的框圖，其中L0GF表示空間域的L0梯度范數(shù)泛函優(yōu)化，用以分解圖像的邊緣和細節(jié)紋理，因而C(i,j)和c(i,j)分別表示分解所得的邊緣層圖像（即高對比度圖像）和細節(jié)紋理層圖像（即低對比度圖像），WTS表示小波變化閾值，c?(i,j)表示c(i,j)經(jīng)過小波變化閾值算法去噪后的細節(jié)紋理層圖像，χ?(i,j)表示重構(gòu)的、去噪后的圖像。

在圖1的圖像分解過程中，邊緣層圖像是直接通過L0梯度范數(shù)泛函優(yōu)化算法計算所得，而細節(jié)紋理層圖像則是由噪聲圖像與邊緣層圖像的相減所得，因此噪聲也被分解到細節(jié)紋理層圖像中。由上述可見，細節(jié)紋理層圖像上基本都是小對比度的信息，且很多空間特性都具有相似性，而轉(zhuǎn)換閾比較區(qū)細節(jié)紋理和噪聲的特征。因此，利用短時傅利葉轉(zhuǎn)換（STFT）[6]對細節(jié)紋理層圖像進行轉(zhuǎn)換得小波系數(shù)，再利用閾值方法區(qū)分噪聲和細節(jié)紋理，最終從細節(jié)紋理中去除噪聲，處理之后的兩層圖像重構(gòu)得無噪聲圖像，公式如下所示：

式中，C?(i,j)表示去噪后顯著邊緣層圖像，在本文中等同于圖像C(i,j)。

1.1 L0梯度范數(shù)泛函優(yōu)化

如上文假設(shè)所示y(i,j)為噪聲圖像，C(i,j)表示L0梯度范數(shù)泛函優(yōu)化所得圖像，(i,j)表示圖像中像素的位置，等同下文用p表示。像素p與其相鄰像素在i和j方向的圖像梯度可以表示為?Cp=(?iCp,?jCp)，并且在L0梯度范數(shù)泛函優(yōu)化算法中以圖像的L0梯度范數(shù)為泛函的正則項，如式（3）所示。式（3）中符號#表示統(tǒng)計圖像L0范數(shù)非零（即||?iCp+||?jCp不為零）的個數(shù)。最后，通過解式（4）得邊緣層圖像C(i,j)（具體解法見參考文件[2]）。

1.2 小波變換閾值

經(jīng)過L0梯度范數(shù)泛函分解后，噪聲只存在于細節(jié)紋理層中，因而利用變化域閾值進一步分離細節(jié)信號中的噪聲。如上所述，此階段的處理中本文先利用短時傅利葉轉(zhuǎn)換（short-time Fourier trans?form,STFT）[6]把細節(jié)紋理層圖像由空間域轉(zhuǎn)換到變換域中，再在軟閾值算法[3,4]對STFT系數(shù)進行閾值處理，以去除噪聲。

圖1 本文去噪算法框架圖

STFT是和傅立葉相關(guān)的一種數(shù)學轉(zhuǎn)換關(guān)系，它是針對傅立葉變換的缺陷，給信號先加窗函數(shù)，再進行傅立葉變。由于，固定窗函數(shù)的STFT適合平穩(wěn)信號的分析，而本文的細節(jié)紋理層中除了高斯白噪外還具有圖像的細節(jié)紋理信息，其統(tǒng)計特性會隨信號所在的位置有所不同。因此，本根據(jù)參考文獻[7]思想在STFT中采用一個隨信號適應(yīng)性變化得窗函數(shù)，即一個如同雙邊濾波器、隨信號變化的窗函數(shù)，具體如下：

式中，下表p表示當前像素位置，Np表示像素p的鄰域范圍，且范圍的半徑為r，下表q表示Np鄰域內(nèi)像素位置。cp,q表示細節(jié)紋理層信號，f表示STFT域中的頻率，wp,q表示窗函數(shù)，具體如下：

式中，參數(shù)σs和σr分別決定窗口函數(shù)的窗口大小和梯度大小，cp和cq分別是細節(jié)紋理層圖像p和q位置的像素值。

在重構(gòu)圖像之前，本文去噪算法的最后一步是利用軟閾值算法對含有噪聲的STFT系數(shù)閾值處理，通過去除噪聲的STFT系數(shù)，達到分離噪聲的目的，具體操作如下：

2 實驗結(jié)果與分析

圖2給出只用L0梯度范數(shù)泛函優(yōu)化算法和本文算法處理一維信號的效果圖。其結(jié)果發(fā)現(xiàn)：L0梯度范數(shù)泛函優(yōu)化算法可以很好的保留邊緣的銳度。由于參數(shù)λ控制保留何種對比度于顯著邊緣層（即大對比度層）中，λ越小則越多小對比度保留在顯著邊緣層圖像中，但也可能存在保留了一些噪聲于顯著邊緣層中的問題（如圖2(b)中圈的區(qū)域）。因此，在此實驗中，取λ為0.004以先保留較大對比度（見圖2(c)），使得噪聲基本分離到細節(jié)紋理層（即小對比度層）中，再使用變換域閾值分離此層中的細節(jié)紋理信號，與之前的顯著邊緣層重構(gòu)后，其保留的細節(jié)進一步增加，如圖2(d)所示。圖3給出圖“Le?na”的處理效果，從視覺上看，本文去噪算法在去除方差σ2=25的高斯白噪的同時，保持了絕大多數(shù)圖像的原有信息；從峰值信噪比（peak sig?nal-noise ratio,PSNR）值上看，本文去噪算法處理后圖像的PSNR值有了很大程度的提高，說明與原始無噪聲圖像在相似性上有了改善。

實驗中還分別對測試圖像加方差為10、20、30和40的高斯白噪，在利用本文去噪算法處理后，分別計算了PSNR和平均結(jié)構(gòu)相似系數(shù)（mean struc?tural similarity index measure,MSSIM）[8]，如表1所示。由表中數(shù)據(jù)可見：本文算法去噪的效果圖的PSNR值有了很大的改善，且PSNR值增加程度都超過10；此外，在噪聲方差小于20時的圖像中，重構(gòu)圖像的相似度均達到80%以上；即使噪聲方差大于20，甚至為40時，重構(gòu)圖像與原始無噪聲圖像最少也存在70%以上的相似性。

表1 不同噪聲方差下本文去噪算法處理后圖像的PSNR和MSSIM值

圖2 一維信號去噪比較

圖3 參考圖像、噪聲圖像和去噪算效果圖

3 結(jié)論

本文將L0梯度范數(shù)泛函優(yōu)化與STFT變換閾值相結(jié)合，在利用L0梯度范數(shù)泛函優(yōu)化算法分層，使主要的邊緣信息保留在顯著邊緣層上，只對含噪聲的細節(jié)紋理層利用STFT變換閾值去除噪聲。此算法一方面克服L0范數(shù)泛函優(yōu)化算法無法很好平衡去噪和保留小細節(jié)紋理的問題，另一方面克服變換域閾值算法直接去噪會在顯著邊緣處產(chǎn)生振鈴的問題。最后，通過實驗證實本文提出的圖像去噪算法獲得較好的去噪效果。此外，實驗也顯示去噪的效果會受到噪聲程度的波動，這也是未來需要改善的方向之一。

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（責任編輯：王本軼）

Image Denoising Algorithm Based on L0 Gradient Minimization and Threshold Shrinkage

ZHAO Xiu-Zhi
（Department of Electronic Engineering,Zhejiang Industry&Trade vocational College,Wenzhou,Zhejiang,325003,China）

An image denoising algorithm based on L0 gradient minimization and threshold shrinkage was proposed in this paper. In this algorithm,the L0 gradient minimization algorithm was firstly used to decompose the noisy image into the large-scale edge layer and the fine-scale texture layer and then noises in the fine-scale texture layer was denoised by a threshold shrinkage algorithm on the short-time fourier transform space.The experiment results show that the proposed image denoising algorithm achieves significant improvement in its performance.

denoising;threshold shrinkage;image decomposition

TP391

A

1672-0105（2014）01-0036-04

10.3969/j.issn.1672-0105.2014.01.008

2014-02-16

2013浙江省高等教育課堂教學改革研究項目（kg2013836）

趙秀芝(1978-)，女，浙江蒼南人，講師，碩士，主要研究方向：電子信息信號處理、圖像彩色視覺模型。