不同邊界條件下頻率空間排列對耦合振子振蕩死亡的影響

劉維清，藍 晶，鐘建環(huán)，朱 云

（江西理工大學理學院，江西贛州341000）

不同邊界條件下頻率空間排列對耦合振子振蕩死亡的影響

劉維清，藍 晶，鐘建環(huán)，朱 云

（江西理工大學理學院，江西贛州341000）

研究不同邊界（周期邊界、無流邊界、固定邊界）條件下，耦合振子的頻率空間分布對耦合系統(tǒng)振蕩死亡所需耦合強度的影響.結果表明，頻率空間排列對耦合系統(tǒng)實現(xiàn)振蕩死亡所需的臨界耦合強度均有顯著影響.所有可能的頻率空間排列樣本中，實現(xiàn)振幅死亡所需的兩個臨界耦合強度分別服從冪律分布和雙對數(shù)正態(tài)分布.而最易（難）實現(xiàn)振蕩死亡所對應的頻率空間分布結構與邊界條件有很大的關聯(lián).通過分析頻率分布的特征，定性分析了臨界耦合強度所服從雙對數(shù)正態(tài)分布產生的原因.

振蕩死亡；混沌振子；頻率空間分布；冪律分布；雙對數(shù)正態(tài)分布；混沌控制

0引言

強烈振動對工農業(yè)生產、科學研究和日常生活都有著嚴重的危害，如英國的步行“千年橋”首次開放時，就因人橋耦合而出現(xiàn)劇烈搖晃；美國的塔科馬大橋則因風振致毀，其所涉及的系統(tǒng)往往可以由耦合振子系統(tǒng)來刻畫.對耦合系統(tǒng)的減振分析，離不開對耦合振子系統(tǒng)中的許多合作行為，特別是耦合振子的振蕩死亡的理解.當耦合作用強度較小時，這類系統(tǒng)可能會出現(xiàn)各自獨立的演化、同步[1]、鎖相[2]等現(xiàn)象.隨著耦合強度的增加，系統(tǒng)可能會出現(xiàn)振蕩死亡現(xiàn)象.其中，振子的振蕩死亡是指動力系統(tǒng)（混沌、周期系統(tǒng)或可激發(fā)系統(tǒng)）在相互作用或由外界環(huán)境影響下，穩(wěn)定到固定點而停止振蕩的動力學行為[3].由于這些動力系統(tǒng)大量存在于工程應用（如汽車或機床的強列振動，橋梁由風致或車橋耦合導致的振動）和生物系統(tǒng)（如神經(jīng)元[4-5]，心肌細胞[6]）中.振子的振蕩死亡對橋梁、建筑等的結構穩(wěn)定性和機械系統(tǒng)的功能，甚至人體的生物鐘等均有很大的影響，同時在混沌控制[7]中也起著重要的作用.因此，研究耦合振子振蕩死亡產生的機制以及影響振子振蕩死亡的因素，對防止或促進振子振蕩死亡的控制都具有非常重要的意義，并已經(jīng)成為一個研究熱點.振子振蕩死亡最早由瑞利勛爵[8]在實驗中發(fā)現(xiàn)，他發(fā)現(xiàn)相鄰管風琴的管子會因相互作用而出現(xiàn)消音現(xiàn)象.接著分別在耦合化學振子[9-10]，耦合激光系統(tǒng)[11]，非線性電路[12]實驗中被觀察到.一般認為，兩個振子在相互耦合時走向振蕩死亡的機制主要有兩種：一種是由于兩個相互作用的振子之間存在頻率失配[13-14]，相互作用后而走向振蕩死亡；另一種是由于相互作用時信號傳輸存在的時延而產生的[15-20].也有學者通過引入非線性耦合[21]、動態(tài)耦合[22]、交叉變量耦合[23]、線性耦合[24-25]、直流信號驅動[26]等方式觀察到振蕩死亡現(xiàn)象.Hou Z H等[27-28]則分析了復雜網(wǎng)絡中非全同耦合振子系統(tǒng)走向振蕩死亡的過程和主要影響因素.Ermentrout等[29]通過對近鄰耦合的神經(jīng)元振子的動力學行為進行分析，發(fā)現(xiàn)隨著耦合作用強度的增加，耦合振子系統(tǒng)會由相同步態(tài)最終走向振蕩死亡態(tài).Atay[30]發(fā)現(xiàn)，逐漸增加的耦合強度會使近鄰耦合的振子系統(tǒng)，由部分振子死亡過渡到全部振子走向振蕩死亡.而Yang J Z[14]則進一步指出在具有頻率失配的近鄰耦合振子中，耦合系統(tǒng)從部分振子振蕩死亡走向全部振子振蕩死亡要經(jīng)歷三個不同的階段.這三個階段體現(xiàn)了耦合振子間頻率失配造成的不均性和耦合作用使系統(tǒng)達到均勻態(tài)之間的競爭機制，從而幫助人們更好地理解耦合振子走向振蕩死亡的內在機制.從控制的角度來看，鄒為等人先后通過引入非對稱耦合（梯度耦合），以顯著地減小時延耦合[31]或頻率失配耦合系統(tǒng)[32]中達到振蕩死亡所需的耦合作用強度.通過引入相互排斥耦合，也可以把耦合周期或混沌振子控制到振蕩死亡態(tài).文獻[33]指出，通過在具有線性遞增的頻率空間排列的耦合振子上，引入小的頻率失配微擾，可以在一定程度上消除或促進耦合振子的振蕩死亡.我們在此基礎上拓展分析了頻率空間排列對無流邊界條件下耦合振子產生振蕩死亡的影響的普適規(guī)律[34].然而，頻率空間排列對振蕩死亡影響的內在機制尚不是很清楚.頻率空間排列對不同邊界條件下的耦合振子系統(tǒng)的影響也不清楚.本文擬系統(tǒng)分析不同邊界（周期邊界、無流邊界、固定邊界）條件下耦合振子的頻率空間分布對耦合系統(tǒng)振蕩死亡所需耦合強度的影響，并定性分析不同邊界條件下臨界耦合強度所服從的普適規(guī)律產生的原因.

1 耦合振子系統(tǒng)模型

本文采用最近鄰耦合振子系統(tǒng)模型，研究頻率空間排列對耦合振子振蕩死亡動力學行為的影響，具體形式如下：

其中z（t）為復變量z（t）=x（t）+iy（t），i為純虛數(shù)，ωj為振子j的振蕩頻率，邊界條件分別設置為：①固定邊界，邊界上的振子被強行定為不振動的系統(tǒng)（如圖1（a）所示），即有：zN+1（t）=0，z0（t）=0；②無流邊界，邊界上的振子被設置成與其相鄰的振子完全相同（如圖1（b）所示），即有：zN+1（t）=zN（t），z0（t）=z1（t）；③周期邊界，邊界上的振子首尾相連（如圖1（c）所示），即：zN+1（t）=z1（t），z0（t）=zN（t）.頻率分布初始設置為線性增加方式：ωj=ω0+（j-1）δω，j=1，2，…，N，其中ω0＝1，δω為相鄰振子之間的頻率差.

圖1 耦合振子系統(tǒng)邊界條件示意圖

2 耦合振子振蕩死亡區(qū)域的確定

當耦合強度ε為零時，單個振子系統(tǒng)z（t）是以ωj為頻率的周期振蕩，且單個子系統(tǒng)具有不穩(wěn)定固定點（0，0）.隨著耦合強度的增加，耦合作用可以使系統(tǒng)（1）的不穩(wěn)定固定點（0，0）變成穩(wěn)定固定點，則系統(tǒng)（1）變成振蕩死亡態(tài).對于耦合振子的振蕩死亡態(tài)的穩(wěn)定性，可以基于線性穩(wěn)定性分析法予以確定，從而確定耦合系統(tǒng)達到振蕩死亡所需的臨界耦合強度εc.具體求解過程如下：在固定點上引入小的微擾ξj，則微擾的動力學演化過程完全可以由方程（2）確定：

則微擾向量完全可以由方程（3）確定：

其中，矩陣H的表達形式分別如下：

在固定邊界條件時，b=0，m=2；無流邊界條件時，b=0，m=1；而周期邊界條件時，b=1，m=2.于是振蕩死亡的穩(wěn)定參數(shù)區(qū)即為使得矩陣H的最大特征值小于零的參數(shù)區(qū).當振子數(shù)N較小 （N=2，3）時,矩陣的最大特征值可給出解析表達式，詳見文獻[32].當N較大時，只能通過數(shù)值計算結果來確定.圖2中給出了耦合系統(tǒng)（N=9）在無流邊界、周期邊界和固定邊界條件下，在參數(shù)空間δω~ε中對應的振蕩死亡穩(wěn)定區(qū)（OD）.結果表明，在無流邊界和周期邊界條件下，參數(shù)空間δω~ε中的振蕩死亡區(qū)為V型.如果給定的相鄰振子參數(shù)失配δω大于某一值（該值與振子數(shù)N有關），則系統(tǒng)在耦合強度大于εc1時走向振蕩死亡態(tài)，而在耦合強度大于εc2時離開振蕩死亡區(qū).如果相鄰振子參數(shù)失配δω小于某一值時，耦合系統(tǒng)不存在振蕩死亡參數(shù)區(qū)間，即不存相應的臨界耦合強度εc1或εc2.然而，在固定邊界條件下，對于給定的足夠大的相鄰振子參數(shù)失配δω（δω＞0.36），當耦合強度大于εc1時，系統(tǒng)進入振蕩死亡區(qū)，并一直處于振蕩死亡區(qū)，即不存在εc2；對于足夠小的δω，由于邊界固定為零，當耦合強度大于ε′c1時，在邊界的作用下，系統(tǒng)也會進入振蕩死亡區(qū)（對應的δω下，無流邊界和周期邊界下不存在振蕩死亡區(qū)）.

圖2 不同邊界條件下耦合振子死亡區(qū)（N=9）

進一步考查耦合系統(tǒng)的振子數(shù)N對耦合振子走向振蕩死亡所需的臨界耦合強度的影響，我們考查耦合振子數(shù)N對振蕩死亡所需的兩臨界耦合強度εc1（ε′c1）或εc2的影響.圖3（a）~（c）給出了不同邊界條件下，log（εc1）和log（N）的關系以及l(fā)og（εc2）和log（N）的關系.結果表明，耦合振子系統(tǒng)的第一個臨界耦合強度εc1基本不隨N發(fā)生變化，而第二個臨界耦合強度εc2隨著振子數(shù)N按冪律增長，即有：log（εc2）＝4.47log（N）－2.9（無流邊界），log（εc2）＝3.93log（N）－2.16（周期邊界）.特別地，對于固定邊界條件下，當頻率失配較小時，耦合系統(tǒng)進入振蕩死亡所需的臨界耦合強度ε′c1滿足log（ε′c1）＝1.67log（N）-0.55.

圖3 耦合振子振蕩死亡所需臨界耦合強度與振子數(shù)N的關系圖

3 頻率空間排列對振蕩死亡臨界耦合強度的影響

為了考查耦合振子的頻率空間分布對耦合系統(tǒng)達到振蕩死亡所需臨界耦合強度的影響，我們通過計算每一種頻率空間排列對應的矩陣H的最大特征值，進而確定所有空間排列下，系統(tǒng)達到振蕩死亡所需的臨界耦合強度.對于N個不同頻率的耦合振子，所有可能的空間排列有N！/2個.圖4給出了三種邊界條件下，N（N=9）個耦合振子在所有可能的頻率空間排列下，出現(xiàn)振蕩死亡所需的臨界耦合強度服從的概率密度函數(shù).結果表明，當相鄰振子頻率失配較大時（δω=1），所有頻率空間排列對應的臨界耦合強度εc1服從冪律分布，即有：

其中d=exp（1.32），γ=-3.1（無流邊界）；d=exp（-0.3），γ=-2.17（周期邊界）；d=exp（-0.25），γ=-2.08（固定邊界），如圖4（a）（c）（e）所示.

對于無流邊界和周期邊界條件，所有頻率空間排列對應的第二個臨界耦合強度εc2服從雙對數(shù)正態(tài)分布，即：

其中λ=3.441，β=0.162（無流邊界），λ=0.7，β=1.47（周期邊界），如圖4（b）（d）所示.

圖4 耦合系統(tǒng)在不同頻率空間排列下，實現(xiàn)振蕩死亡所需的臨界耦合強度所服從的概率密度函數(shù)

對于固定邊界條件，當δω=0.2時，進入振蕩死亡所需的臨界耦合強度為ε′c1，若令εc=εm-ε′c1（其中εm為所有排列下，系統(tǒng)達到振蕩死亡所需的最大臨界耦合強度），則對于所有頻率空間排列，εc服從雙對數(shù)正態(tài)分布，即：

其中，εm=10.86，λ=-1.547，β-0.62（固定邊界），如圖4（f）所示.

下面我們討論耦合振子系統(tǒng)的尺寸N對臨界耦合強度分布的影響，由于在無流邊界和周期邊界下，當相鄰振子頻率失配較小時，沒有振蕩死亡區(qū)間，即不存在振蕩死亡的臨界耦合強度.對于給定的頻率失配，當對耦合振子數(shù)增加時，有可能會使系統(tǒng)不存在振蕩死亡區(qū)，而影響考察系統(tǒng)的尺寸效應.而在固定邊界下，頻率失配大于零時，一定有振蕩死亡區(qū)間.我們選取固定邊界條件下，相鄰振子頻率失配較?。ㄟx取時，研究系統(tǒng)的尺寸N對臨界耦合強度分布的影響.通過分別觀察N= 7，10，30，100時，εc=εm-ε′c1的分布.結果表明，對于不同的振子數(shù)N，εc均服從雙對數(shù)正態(tài)分布，如圖5 （a）~（d） 所示， 其中各圖對應的 εm＝6.52，10.18，9736，1039.

圖5 不同振子數(shù)N對應的εc所服從的概率密度函數(shù)

由圖5可知，對于不同的振子數(shù)N，不同頻率空間排列下系統(tǒng)達到振蕩死亡臨界所需的耦合強度均服從雙對數(shù)正態(tài)分布，但具體曲線形狀隨著N不同而有所不同，即對應的概率密度函數(shù)具有不同的參數(shù).其中，參數(shù)λ隨著N而線性增長，而參數(shù)β則基本不隨振子數(shù)N改變，如圖6（a）所示.此外，所有分布中最大臨界耦合強度εm以N2增長，如圖6（b）所示.

4 振蕩死亡所需最大（?。┡R界耦合強度對應的頻率空間排列

圖6 參數(shù)隨耦合振子數(shù)N的變化關系

為了考查頻率的空間分布對系統(tǒng)振蕩死亡所需臨界耦合強度的影響，對于小N（N=9）的情形，通過窮舉所有頻率空間排列，可以確定最?。ù螅┑呐R界耦合強度εc1所對應的頻率空間分布（詳見表1和圖7）.結果表明，①對于無流邊界條件，當靠近兩邊界的振子的相鄰頻率差大，而中心振子的相鄰頻率差小時（如圖7（c）），具有最小的εc1.當一個邊界的振子相鄰頻率差大，而另一邊界的相鄰頻率差小時（如圖7（d））具有最大的εc1.②對于周期邊界條件，當所有的振子相鄰頻率差都相等時（如圖7（b）），有最小的εc1，而當一個邊界的振子相鄰頻率差大，而另一邊界的相鄰頻率差小時（如圖7（d））具有最大的εc1.③固定邊界條件下，當中心振子間頻率差大，而兩邊頻率差小時具有（如圖7（a））最小的ε′c1，而當靠近兩邊界的振子的相鄰頻率差大，而中心振子的相鄰頻率差小時（如圖7（c））具有最大的ε′c1.

同理，可以確定離開振蕩死亡所需的最小（大）的臨界耦合強度εc2所對應的頻率空間分布.結果表明，①對于無流邊界條件，當一個邊界的振子相鄰頻率差大，而另一邊界的相鄰頻率差小時（如圖7（d））具有最小的εc2.當所有的振子相鄰頻率差都相等時（如圖7（b）），有最大的εc2.②對于周期邊界條件，當靠近兩邊界的振子的相鄰頻率差大，而中心振子的相鄰頻率差小時（如圖7（c））具有最小的εc2.當一個邊界的振子相鄰頻率差大，而另一邊界的相鄰頻率差小時（如圖7（d））具有最大的εc2.

表1 三種邊界條件下，具有最大（?。┱袷幩劳鏊枧R界耦合強度的空間排列

圖7 幾種特定的頻率空間排列，空心點與實心點為對稱的兩種排列

5 雙對數(shù)正態(tài)分布產生的機制

為了考察所有頻率空間排列下，臨界耦合強度服從雙對數(shù)正態(tài)分布的產生與頻率空間分布間的關系，我們定義了中心振子的平均粗糙度其中 mc是處于中間的一半振子的個數(shù)（mc=Int（N/2）），{C}是中間振子的編號集合.邊緣振子的平均粗糙度j∈{E}，其中me是處于邊緣的一半振子的個數(shù)（me= Int（N/2）），{E}是邊緣振子的集合.定義中心與邊緣的相對粗糙度Rce=Rc/Re.以固定邊界條件耦合振子系統(tǒng)為例，取N=9，，對于所有可能的頻率空間排列，可以計算出相應的 Rc、Re和Rce，并對Rce的取值進行統(tǒng)計，結果表明Rce服從雙對數(shù)正態(tài)分布，如圖8所示.同時，作出臨界耦合強度ε′c1與相對粗糙度Rce的關系如圖9所示.結果表明，Rce與ε′c1之間具有單調減少的關系.即Rce越大，則ε′c1越小，而Rce的取值服從雙對數(shù)正態(tài)分布，因此，ε′c1的取值相應地也趨于雙對數(shù)正態(tài)分布.

圖9 臨界耦合強度與相對粗糙度Rce的關系

6討論

耦合非全同振子中，對于不同的頻率空間排列，耦合系統(tǒng)進入或離開振蕩死亡參數(shù)區(qū)所需的臨界耦合強度不同.對于所有可能的頻率空間排列，系統(tǒng)進入振蕩死亡參數(shù)區(qū)所需的臨界耦合強度服從冪律分布，而離開振蕩死亡參數(shù)區(qū)所需的臨界耦合強度服從雙對數(shù)正態(tài)分布.耦合系統(tǒng)的邊界條件，對不同頻率空間排列下的臨界耦合強度所服從的分布影響較小，但對于具有最小（大）的臨界耦合強度時所對應的頻率空間分布的情形有較大的影響.由于在近鄰耦合方式中，耦合系統(tǒng)的死亡區(qū)在ε-δω參數(shù)空間是V型，因而，相鄰振子的頻率失配越大，耦合系統(tǒng)需要的耦合強度越小.對于固定邊界條件，邊界被固定為定值，當中心振子頻率差較大時，邊界頻率差較小時，最容易實現(xiàn)振蕩死亡.而無流邊界條件下，則是中心振子頻率較小，邊界附近的頻率差較大時，最容易實現(xiàn)振蕩死亡.主要是由于無流邊界上的耦合振子為鏡像振子（全同振子），耦合后邊界上有可能形成同步小集團而不利于振蕩死亡.因此邊界上的頻率失配較大時才更容易破壞同步而出現(xiàn)振蕩死亡.周期邊界條件則是當相鄰振子頻率差相等時最容易實現(xiàn)振蕩死亡.主要是由于此時兩邊界上的耦合振子具有最大的頻率失配，而使整個系統(tǒng)最快趨于振蕩死亡.對于耦合系統(tǒng)頻率空間排列對振蕩死亡影響的分析，可為振動系統(tǒng)控制、更好地理解生物系統(tǒng)自組織行為提供理論支持.

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Effects of the spatial frequency distribution on the oscillation death of coupled oscillators with different boundary conditions

LIU Wei-qing,LAN Jing,ZHONG Jian-huan,ZHU Yun(Faculty of Science,Jiangxi University of Science and Technology,Ganzhou 341000,China)

The effects of frequency spatial distribution on the critical coupling strength for oscillation death are explored in the coupled oscillators with various boundary conditions including periodical,non-flux boundary, fixed boundary conditions.The results show that the frequency spatial distributions have remarkable influences on the critical coupling strength for oscillation death.The critical coupling strengths for oscillation death of all possible spatial frequency distribution obey power law and lognormal distribution respectively.The spatial frequency distributions which are easier/harder to get oscillation death are concerned with the boundary condition of the coupled system.Finally,the regimes of the lognormal distribution of the critical coupling strength are offered according to the characters of the frequency distribution.

oscillation death;coupled oscillators;spatial distribution of frequency;powerlaw distribution; lognormal distribution;chaos control

O415.5

A

2095-3041（2014）00-0075-08

10.13265/j.cnki.jxlgdxxb.2014.01.013

2014-01-28

國家自然科學基金資助項目（11262006）

劉維清（1977- ），男，博士，教授，主要從事非線性動力學等方面的研究，E-mail:Wqliujx@gmail.com.