面向制導(dǎo)律設(shè)計(jì)的目標(biāo)信息估計(jì)方法研究

丁 晨，郭建國(guó)，周 軍，王國(guó)慶（.西北工業(yè)大學(xué) 精確制導(dǎo)與控制研究所，陜西 西安 7007；.中國(guó)運(yùn)載火箭技術(shù)研究院發(fā)展中心 北京 00076）

目標(biāo)機(jī)動(dòng)性能的不斷提高，對(duì)攔截彈制導(dǎo)性能的要求就更高。經(jīng)典制導(dǎo)律對(duì)于導(dǎo)引頭量測(cè)目標(biāo)所得到的狀態(tài)信息要求更加精確[1]。但在目前的技術(shù)水平下，導(dǎo)引頭測(cè)量目標(biāo)狀態(tài)信息的精度與制導(dǎo)律所要求的信息有一定的誤差，這歸結(jié)于導(dǎo)引頭的制作工藝、傳感器的響應(yīng)延遲等。文獻(xiàn)[2]指出為了實(shí)現(xiàn)精確制導(dǎo)要求，對(duì)于導(dǎo)引頭測(cè)量信息誤差必須給予減小或消除，這就需要更精確的濾波信息，濾波算法計(jì)算量盡可能小。

對(duì)于目標(biāo)估計(jì)系統(tǒng)而言，目標(biāo)的機(jī)動(dòng)是未知的，如何描述目標(biāo)機(jī)動(dòng)是一個(gè)復(fù)雜的問題，也是目標(biāo)估計(jì)的關(guān)鍵，所以機(jī)動(dòng)目標(biāo)狀態(tài)估計(jì)首先面臨的就是模型的選取。文獻(xiàn)[3]提出的“當(dāng)前”統(tǒng)計(jì)模型較好的解決了目標(biāo)機(jī)動(dòng)加速度概率分布的問題。在“當(dāng)前”模型的概念下，目標(biāo)機(jī)動(dòng)加速度可能取之的范圍可以減小，并且被限制在一定的范圍內(nèi)，即由于物理上的限制，目標(biāo)現(xiàn)在時(shí)刻加速度值越大，在下一瞬時(shí)目標(biāo)加速度大幅度偏離此值的概率就越小。

通常情況“當(dāng)前”統(tǒng)計(jì)模型下建立的狀態(tài)方程和量測(cè)方程不一定都是線性的[4]，此時(shí)就必須處理的是非線性系統(tǒng)下的目標(biāo)估計(jì)問題[5]。文獻(xiàn)[3]指出基于“當(dāng)前”統(tǒng)計(jì)模型的自適應(yīng)算法是建立在標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波方程之上的，非線性系統(tǒng)無法寫出標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波方程也就無法實(shí)現(xiàn)自適應(yīng)濾波算法。而擴(kuò)展卡爾曼濾波（EKF）在處理矩陣問題上也無法完全保證正定性，只是通過對(duì)非線性函數(shù)的Taylor展開式進(jìn)行一階線性化截?cái)啵瑥亩鴮⒎蔷€性問題轉(zhuǎn)化為線性[6]，當(dāng)非線性函數(shù)Taylor展開式的高階項(xiàng)無法忽略時(shí)，就會(huì)使系統(tǒng)產(chǎn)生較大的誤差，且許多實(shí)際問題無法很難得到非線性函數(shù)的雅克比矩陣求導(dǎo)。

超球體單形[7-8]sigma采樣平方根UKF濾波方法在處理非線性問題時(shí)，相對(duì)于對(duì)稱采樣UKF，從sigma采樣方面減小了取點(diǎn)個(gè)數(shù)，從而降低了計(jì)算負(fù)載；相對(duì)于EKF提高了估計(jì)精度；通過加入平方根[9]保證了數(shù)值的穩(wěn)定性[10]。

由此，文中基于大機(jī)動(dòng)目標(biāo)設(shè)計(jì)了具有加速度補(bǔ)償?shù)幕Ｖ茖?dǎo)律，并針對(duì)目標(biāo)法向加速度的“當(dāng)前”統(tǒng)計(jì)模型，利用超球體單形sigma采樣平方根UKF濾波的方法來估計(jì)彈目相對(duì)信息，數(shù)字仿真驗(yàn)證了利用所得到的濾波信息，提高了整個(gè)攔截彈的制導(dǎo)性能。

1 彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系

圖1 彈-目相對(duì)運(yùn)動(dòng)幾何關(guān)系圖Fig. 1 Missile - target relative motion geometry graph

如圖1所示，給出二維彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)幾何關(guān)系，可得導(dǎo)彈和目標(biāo)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型[1]為：

其中， R表示彈目相對(duì)距離，q表示彈目視線角，q ˙ 表示視線角速率；Vm、Vt分別表示導(dǎo)彈和目標(biāo)的速度；θm、θt分別表示導(dǎo)彈的彈道傾角和目標(biāo)的彈道傾角；am、 at分別為導(dǎo)彈和目標(biāo)的法向加速度。

2 基于目標(biāo)機(jī)動(dòng)信息的制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

取狀態(tài)x= q˙ ，控制輸入u=am，根據(jù)式(1)可得狀態(tài)方程如下：

顯然，式(5)中的atq可作為目標(biāo)機(jī)動(dòng)的加速度補(bǔ)償量。此外，為了削減顫振，用飽和函數(shù)代替符號(hào)函數(shù)，可得：

3 目標(biāo)信息估計(jì)方法研究

3.1 濾波狀態(tài)方程和觀測(cè)方程

考慮目標(biāo)法向加速度的“當(dāng)前”統(tǒng)計(jì)模型：

基于彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程式(1)和目標(biāo)法向加速度的“當(dāng)前”統(tǒng)計(jì)模型式(7)，選取系統(tǒng)的狀態(tài)變量為X=[R q θtαtθm]，T式(7)中， ω為均值為零的白噪聲，at表示目標(biāo)當(dāng)前時(shí)刻目標(biāo)的法向加速度，atc表示目標(biāo)前一時(shí)刻的法向加速度，則系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：

其中 W(t)=[0 0 0 ωt0]T

其中， amax表示假設(shè)目標(biāo)最大機(jī)動(dòng)過載。

假設(shè)采用主動(dòng)導(dǎo)引頭，導(dǎo)引頭測(cè)量值為彈目接近速率R˙和視線角速率 q ˙ ,觀測(cè)方程為式（9）:

其中，h(X(t))=[y1y2]T, V(t)=[v1v2]T為均值為零的高斯白噪聲向量 y1= R˙ ， y2= q ˙ 接下來基于狀態(tài)方程式(8)和觀測(cè)方程式(9)的，采用超球體單形sigma采樣平方根UKF濾波方法對(duì)目標(biāo)運(yùn)動(dòng)信息進(jìn)行估計(jì)。

3.2 超球體單形sigma采樣方法[5]

超球體單形采樣只要求匹配前兩階矩，但要求除中心點(diǎn)外的其他sigma點(diǎn)權(quán)值相同，而且與中心距離相同。將此條件代入 g [ { χi} , px( x ) ] = 0 ，迭代確定Sigma點(diǎn)，步驟如下：

1)選取 0≤W0≤1；

4)當(dāng)狀態(tài)維數(shù)大于1維（ j=2,3…n），迭代為：

公式推導(dǎo)中分布的三階矩不為0，確保了對(duì)于任意分布達(dá)到2階矩截?cái)嗑萚5]。

對(duì)稱采樣UKF的sigma點(diǎn)個(gè)數(shù)為L(zhǎng)=2n+1 ，而對(duì)于超球體單形采樣而言sigma點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 L=n+2，保證了計(jì)算量的減小。

3.3 濾波流程

對(duì)于狀態(tài)方程(8)和量測(cè)方程(9)，濾波算法步驟如下：

1)計(jì)算sigma點(diǎn)

式中，qr(·)和cholupdate(·) 分別表示qr分解和cholesky一階更新，Q，R分別為狀態(tài)噪聲和觀測(cè)噪聲的協(xié)方差矩陣。

3)量測(cè)更新

式中， yk為tk時(shí)刻的目標(biāo)狀態(tài)觀測(cè)信息，x?k為tk時(shí)刻目標(biāo)狀態(tài)信息的估計(jì)值。濾波過程中的平方根形式，保證了濾波數(shù)值的穩(wěn)定性[4]。

4 仿真結(jié)果及分析

設(shè)目標(biāo)初始位置（15 000 m，20 000 m，15 000 m）速度為1 200 m/s，做過載為10 g的水平蛇形機(jī)動(dòng)；導(dǎo)彈初始位于（0 m，10 000 m，0 m），速度為800 m/s。觀測(cè)噪聲方差矩陣diag[100,0.01]T，狀態(tài)噪聲方差陣 diag[100,0.01,0.01,ωk,0.1]T，狀態(tài)向量的初值誤差方差為 diag[102,0.052,0.12,102,0.012]T。

4.1 濾波結(jié)果分析

在相同條件下，EKF濾波算法和超球體單形采樣平方根UKF濾波算法結(jié)果對(duì)比如圖2和圖3所示，可以看出，利用本文所采用的濾波精度高于EKF濾波算法，EKF濾波在1 s內(nèi)最大誤差達(dá)240 m/s2，而文中濾波算法最大誤差只有80 m/s2，且收斂速度和穩(wěn)定性方面好于EKF。在5 s以后二者的誤差最大值基本相同，文中濾波精度略好，文中濾波比EKF最大誤差小10 m/s2。由此可知：

1）由于超球體單形平方根UKF的采樣方法是非線性函數(shù)基于概率密度分布的近似，而不是對(duì)非線性函數(shù)進(jìn)行近似，不需像EKF求導(dǎo)計(jì)算雅克比矩陣，所以濾波精度比EKF高；

2）取點(diǎn)個(gè)數(shù)是n+2 , 因此計(jì)算速度比較快，故收斂速度較快 ；

3）由于超球體單形平方根UKF在計(jì)算過程中加入了平方根項(xiàng)，保證了濾波方差矩陣的正定性以及克服了計(jì)算誤差引起的發(fā)散現(xiàn)象，所得結(jié)果具有穩(wěn)定性。

4.2 制導(dǎo)律仿真結(jié)果

下面給出兩種情況下導(dǎo)彈的需用過載，導(dǎo)彈過載限制最大為20 g，如圖4和圖5所示，可以清楚地看到采用本文的濾波方法可以大大降低末端導(dǎo)彈的過載。此外，進(jìn)行300次蒙特卡羅仿真打靶所得脫靶量均值如表1所示。

圖2 EKF對(duì)目標(biāo)加速度的估計(jì)誤差Fig. 2 EKF estimation error of the target acceleration

圖3 本文濾波對(duì)目標(biāo)加速度的估計(jì)誤差Fig. 3 This filter on the target acceleration estimation errors

表1 脫靶量均值/mTab.1 Mean value of miss distance

顯然，利用本文濾波所得到的信息，對(duì)于大機(jī)動(dòng)目標(biāo)，可以有效地提高攔截彈的制導(dǎo)精度。

圖4 不濾波彈體過載（PN）Fig. 4 The missile overload of not filtering (PN)

5 結(jié) 論

文中針對(duì)目標(biāo)大機(jī)動(dòng)設(shè)計(jì)了具有加速度補(bǔ)償?shù)幕Ｖ茖?dǎo)律，基于擴(kuò)展卡爾曼濾波（EKF）算法在處理彈目運(yùn)動(dòng)非線性關(guān)系方面的不足，提出了將超球體單形平方根采樣UKF濾波用于目標(biāo)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)信息提取。此濾波算法較好的估計(jì)了目標(biāo)的加速度信息。通過數(shù)學(xué)仿真證明了此結(jié)論，并實(shí)現(xiàn)了對(duì)大機(jī)動(dòng)目標(biāo)的有效攔截。

圖5 超球體UKF濾波彈體過載（本文制導(dǎo)律）Fig. 5 The missile overload of Hypersphere UKF filtering(the guidance law of this paper)

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