一種空空導(dǎo)彈攻擊區(qū)的快速解算方法①

王志剛，張 寧，李 偉

(1．西北工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院，西安 710072;2．航天飛行動(dòng)力學(xué)技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安 710072)

0 引言

傳統(tǒng)的攻擊區(qū)解算會(huì)占用大量計(jì)算資源，影響導(dǎo)彈作戰(zhàn)效能。為解決計(jì)算精度和快速解算的矛盾，需要研究面向工程應(yīng)用的攻擊區(qū)快速解算方法。不同于張平等［1－5］通過(guò)單獨(dú)采用黃金分割或變步長(zhǎng)積分算法來(lái)提高攻擊區(qū)的解算速度，本文從積分算法、氣動(dòng)力系數(shù)計(jì)算及最大最小邊界的確定著手，結(jié)合三自由度彈道模型，建立了一種空空導(dǎo)彈攻擊區(qū)快速解算方法。

本文選擇解算速度更優(yōu)的變步長(zhǎng)積分法［3］進(jìn)行彈道積分;采用多項(xiàng)式擬合方式處理已知?dú)鈩?dòng)系數(shù)數(shù)據(jù)，避免了傳統(tǒng)插值算法的數(shù)據(jù)搜索耗時(shí)［6－8］;最大最小邊界的確定則結(jié)合了空空導(dǎo)彈可攻擊區(qū)多項(xiàng)式擬合與黃金分割法，用多項(xiàng)式擬合結(jié)果作為邊界值的預(yù)估值，構(gòu)成黃金分割法的初始搜索區(qū)間，從而減少了邊界搜索循環(huán)次數(shù)，提高了可攻擊區(qū)的計(jì)算速度。最后通過(guò)具體的仿真實(shí)驗(yàn)論證了該算法的可行性。

1 攻擊區(qū)快速計(jì)算方法

1．1 積分算法

變步長(zhǎng)求積法的基礎(chǔ)是復(fù)化梯形公式，但不是先確定對(duì)積分區(qū)間的細(xì)分?jǐn)?shù)，而是根據(jù)精度要求逐步將區(qū)間細(xì)分。為了盡量避免被積函數(shù)值的重復(fù)計(jì)算，在細(xì)分的過(guò)程中總是對(duì)原先的小區(qū)間再二等分一次，以便充分利用原來(lái)結(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值。因此，與龍格庫(kù)塔法相比，變步長(zhǎng)積分法具有快速計(jì)算的優(yōu)點(diǎn)。其求解過(guò)程如下:

首先利用梯形公式(1)計(jì)算積分值:

將每一個(gè)求積區(qū)間二等分:

然后對(duì)二等分前后2次的積分值進(jìn)行判斷(式(3))來(lái)確定是否滿足精度要求:

若滿足精度，則終點(diǎn)時(shí)刻狀態(tài)值由式(4)得出:

反之，則保存當(dāng)前的等分?jǐn)?shù)、積分值與步長(zhǎng)，對(duì)積分區(qū)間繼續(xù)做二等分處理，即:

1．2 氣動(dòng)力系數(shù)計(jì)算

利用傳統(tǒng)插值算法對(duì)氣動(dòng)數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算時(shí)，雖能保證一定的精度，但不具有快速性。因此，在本文的研究中選擇采用氣動(dòng)力系數(shù)的多項(xiàng)式擬合來(lái)實(shí)時(shí)計(jì)算導(dǎo)彈的氣動(dòng)力系數(shù)。

參考美國(guó)AIM-120空空導(dǎo)彈外形參數(shù)，首先利用DATCOM軟件進(jìn)行氣動(dòng)系數(shù)計(jì)算，然后通過(guò)擬合軟件對(duì)其擬和，得到式(6):

式中 p1～p11為擬合參數(shù)。

升力系數(shù)原始數(shù)據(jù)和擬合數(shù)據(jù)如表1所示。

表1 升力系數(shù)原始數(shù)據(jù)及擬合數(shù)據(jù)Table 1 Original data and fitting data of lift coefficient

由表1可看出，與原始數(shù)據(jù)相比，擬合結(jié)果具有較高的精度，但該組數(shù)據(jù)在攻角為0°時(shí)偏差較大。因此，在仿真過(guò)程中直接將α=0°的升力系數(shù)值取零。另外，若計(jì)算負(fù)值攻角下的升力系數(shù)，只要在Cy的基礎(chǔ)上乘以－1即可。

1．3 最大最小邊界的確定

本文采用的攻擊區(qū)邊界快速搜索算法與傳統(tǒng)的逐步搜索法相比，其初始搜索范圍已接近于可攻擊區(qū)允許發(fā)射距離值，因而在解算過(guò)程中可減少搜索循環(huán)次數(shù)，提高攻擊區(qū)的求解速度。下面以最遠(yuǎn)邊界為例，介紹該算法的計(jì)算過(guò)程。

(1)可攻擊區(qū)多項(xiàng)式擬合

首先針對(duì)空戰(zhàn)中可能遇到的各種情況，根據(jù)導(dǎo)彈數(shù)學(xué)模型進(jìn)行離線仿真后再利用擬合算法進(jìn)行數(shù)據(jù)處理，就得到攻擊區(qū)遠(yuǎn)界的擬合多項(xiàng)式，由于該擬合結(jié)果是作為攻擊區(qū)邊界值的預(yù)估值，因此只需要擬合誤差在一定范圍內(nèi)而不要求其精度相當(dāng)高。

(2)黃金分割法下的邊界搜索

在一維搜索中，黃金分割法［9］同其他方法相比不需要事先知道計(jì)算次數(shù)，而且收斂速率較快，因此本文利用該搜索法對(duì)導(dǎo)彈攻擊區(qū)邊界進(jìn)行精確搜索。

下面同樣以遠(yuǎn)邊界為例進(jìn)行說(shuō)明:首先，以載機(jī)為中心，選定目標(biāo)的方向，根據(jù)確定初始搜索范圍［a0，b0］，計(jì)算黃金分割點(diǎn) Rg=a0+0．618(b0－a0);然后，在分割點(diǎn)位置進(jìn)行數(shù)值積分并根據(jù)彈道仿真結(jié)束條件判斷導(dǎo)彈是否命中目標(biāo)，若擊中目標(biāo)，則令ai=Rg，bi=bi－1;否則令 ai=ai－1，bi=Rg，重新進(jìn)行循環(huán)計(jì)算，直至求出滿足所有約束條件的邊界為止。

具體計(jì)算流程如圖1所示。

2 導(dǎo)彈的運(yùn)動(dòng)模型

為進(jìn)一步提高攻擊區(qū)的解算速度，選用三自由度數(shù)學(xué)模型來(lái)描述導(dǎo)彈的空間運(yùn)動(dòng)。

2．1 基本假設(shè)

(1)將導(dǎo)彈視為質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，并滿足瞬時(shí)平衡假設(shè);

(2)在步長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)，導(dǎo)彈各參數(shù)保持不變;

(3)目標(biāo)運(yùn)動(dòng)規(guī)律已知;

(4)采用標(biāo)準(zhǔn)大氣數(shù)據(jù);

(5)導(dǎo)彈滾轉(zhuǎn)穩(wěn)定，且速度傾斜角為零。

圖1 遠(yuǎn)距離搜索流程圖Fig．1 Flow chart for remote distance search

2．2 導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)學(xué)方程

式中 V、θ、ψV分別為導(dǎo)彈的速度、彈道傾角和彈道偏角;x、y、z為導(dǎo)彈質(zhì)心在地面坐標(biāo)系中的坐標(biāo)。

2．3 導(dǎo)彈動(dòng)力學(xué)方程

式中 X、Y、Z分別為導(dǎo)彈受到的阻力、升力和側(cè)向力;F為發(fā)動(dòng)機(jī)推力;m為導(dǎo)彈質(zhì)量;αb、βb分別為平衡攻角和平衡側(cè)滑角。

2．4 導(dǎo)引方程

式中 K為比例導(dǎo)引系數(shù);g為重力加速度;qε為目標(biāo)視線高低角;q·β和q·ε分別為目標(biāo)視線方位角和高低角的偏轉(zhuǎn)角速度;nyc、nzc分別為導(dǎo)彈在垂直方向和橫向的控制過(guò)載。

2．5 控制方程

式中 kpy、kpz為控制系數(shù);ny、nz分別為導(dǎo)彈在垂直方向和橫向的過(guò)載;δyb為方向舵的平衡舵偏角;δzb為升降舵的平衡舵偏角。

2．6 瞬時(shí)平衡關(guān)系

2．7 目標(biāo)運(yùn)動(dòng)方程

式中 VT、θT、ψVT分別為目標(biāo)運(yùn)動(dòng)速度、彈道傾角和彈道偏角;xT、yT、zT為目標(biāo)質(zhì)心在地面坐標(biāo)系中坐標(biāo)。

2．8 相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程

式中 r表示導(dǎo)彈與目標(biāo)之間的相對(duì)距離;qβ為視線方位角。

3 仿真計(jì)算與分析化

3．1 仿真條件

仿真過(guò)程中的攻擊區(qū)計(jì)算均是在以下條件下進(jìn)行的:導(dǎo)彈與目標(biāo)的初始飛行高度相同;仿真過(guò)程中的循環(huán)條件只取進(jìn)入角qβ。具體的初始條件如下:

(1)目標(biāo)運(yùn)動(dòng)狀態(tài):VT=414．36 m/s，θT0=0°，ψVT0=180°，yT=10 km。

(2)導(dǎo)彈初始運(yùn)動(dòng)狀態(tài):V=414．36 m/s，θ0=0°，ψV0=0°，x0=0 km，y0=10 km，z0=0 km。

3．2 攻擊區(qū)邊界的多項(xiàng)式擬合

首先以AIM-120為對(duì)象，利用Visual C++進(jìn)行仿真計(jì)算得到傳統(tǒng)算法下 qβ∈(－36°，36°)時(shí)的理論攻擊區(qū)。然后對(duì)其邊界值進(jìn)行多項(xiàng)式擬合，結(jié)果如下:

式中 ci、di均為擬合參數(shù)為攻擊區(qū)近邊界的擬合多項(xiàng)式。

圖2 遠(yuǎn)距離、近距離的邊界擬合數(shù)據(jù)對(duì)比Fig．2 Fitting data comparison of remote boundary and close range boundary

3．3 攻擊區(qū)仿真

通過(guò)在同一臺(tái)2G內(nèi)存、雙核2．5GHz賽揚(yáng)處理器的計(jì)算機(jī)上對(duì)第1節(jié)中的3種快速解算方法進(jìn)行攻擊區(qū)解算，并將仿真結(jié)果與理論攻擊區(qū)在同一坐標(biāo)系下作圖，結(jié)果如圖3～圖6所示。其中，圖3～圖5分別為單獨(dú)采用變步長(zhǎng)算法、氣動(dòng)擬合算法和邊界快速搜索算法下的攻擊區(qū)對(duì)比;圖6為將以上3種算法與三自由度運(yùn)動(dòng)模型相結(jié)合后仿真得到的攻擊區(qū)對(duì)比結(jié)果。

圖3 變步長(zhǎng)模擬攻擊區(qū)對(duì)比Fig．3 Comparison of attacking area simulation step-changed method

圖4 氣動(dòng)擬合模擬攻擊區(qū)對(duì)比Fig．4 Comparison of attacking area simulation by pneumatic fitting method

圖5 邊界快速搜索模擬攻擊區(qū)對(duì)比Fig．5 Comparison of attacking area simulation by boundary fast search method

3．4 結(jié)果分析

首先利用平均成功發(fā)射概率的概念對(duì)圖3～圖6中的模擬攻擊區(qū)進(jìn)行精度驗(yàn)證，得出對(duì)應(yīng)不同算法下的失機(jī)發(fā)射概率Pml、邊界外發(fā)射概率Pob和平均成功發(fā)射概率P，結(jié)果如表2所示。表3為各算法下攻擊區(qū)解算時(shí)間的對(duì)比。

圖6 快速模擬攻擊區(qū)對(duì)比Fig．6 Comparison of attacking area simulation by fast method

通過(guò)以上對(duì)比結(jié)果可看出:

(1)變步長(zhǎng)積分算法雖能提高解算速度，但該算法對(duì)仿真結(jié)果的精度產(chǎn)生了很大影響，使得實(shí)際面積遠(yuǎn)小于理論攻擊區(qū)，增大了失機(jī)發(fā)射概率。經(jīng)過(guò)分析可知造成這種誤差的原因在于該算法是通過(guò)對(duì)比相鄰2次的計(jì)算結(jié)果來(lái)判斷是否達(dá)到精度要求，而不是與精確解進(jìn)行對(duì)比。

(2)氣動(dòng)系數(shù)擬合下的解算速度與插值算法相比提高了近22倍，但從其計(jì)算精度可以看出氣動(dòng)力系數(shù)的高精度擬合并不能保證模擬攻擊區(qū)的高精度解算。

(3)與氣動(dòng)系數(shù)擬合和變步長(zhǎng)積分算法相比，邊界的快速搜索算法不僅有效提高到了攻擊區(qū)的解算速度，還保證了較高的計(jì)算精度。這是因?yàn)橄鄬?duì)于理論攻擊區(qū)的計(jì)算，該算法的使用只改變了初始搜索區(qū)間的范圍，而未改變仿真過(guò)程中的算法，因此只要初始搜索區(qū)間選取合適，就能夠通過(guò)黃金分割法快速準(zhǔn)確地求出攻擊區(qū)的邊界值。

(4)從圖6和表1、表2的對(duì)比結(jié)果可看出，本文所建立的空空導(dǎo)彈攻擊區(qū)快速解算方法不僅彌補(bǔ)了變步長(zhǎng)與氣動(dòng)擬合算法下的誤差，還在保證邊界快速搜索算法的高精度基礎(chǔ)上，進(jìn)一步提高了計(jì)算速度。

表2 不同算法下攻擊區(qū)精度比較Table 2 Comparison of attacking area accuracy by different methods

表3 不同算法下攻擊區(qū)解算時(shí)間Table 3 Comparison of attacking area simulation time by different methods

4 結(jié)論

(1)單獨(dú)采用變步長(zhǎng)算法、氣動(dòng)系數(shù)擬合算法代替四階龍格庫(kù)塔法和傳統(tǒng)二元三點(diǎn)插值算法進(jìn)行攻擊區(qū)解算時(shí)均能有效減少計(jì)算時(shí)間，但會(huì)產(chǎn)生較大誤差。

(2)攻擊區(qū)的邊界快速搜索算法利用其計(jì)算原理能夠有效提高攻擊區(qū)的解算速度和精度。

(3)將3種算法與導(dǎo)彈三自由度運(yùn)動(dòng)模型相結(jié)合后得到的空空導(dǎo)彈攻擊區(qū)快速解算方法不僅彌補(bǔ)了單獨(dú)使用一種快速算法時(shí)的不足，而且有效地提高了計(jì)算速度。從而保證了機(jī)載武器系統(tǒng)的實(shí)時(shí)性要求，對(duì)火控系統(tǒng)實(shí)時(shí)解算攻擊區(qū)邊界具有參考意義。

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