固體火箭多約束耗盡關(guān)機(jī)的動(dòng)態(tài)逆能量管理方法①

張志健，王小虎

(北京控制與電子技術(shù)研究所，北京 100038)

0 引言

與液體火箭相比，固體火箭具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、安全性好、可靠性高、維護(hù)操作簡(jiǎn)便、準(zhǔn)備時(shí)間短等特點(diǎn)，被廣泛用于航空、航天領(lǐng)域。但固體火箭不具備關(guān)機(jī)能力，要獲得滿足特定飛行任務(wù)的能量，須采用耗盡關(guān)機(jī)制導(dǎo)技術(shù)，在關(guān)機(jī)之前，通過(guò)改變飛行姿態(tài)，消耗多余能量實(shí)現(xiàn)期望速度。該技術(shù)可降低或解除對(duì)復(fù)雜反向推力系統(tǒng)的依賴，減小結(jié)構(gòu)質(zhì)量、提高可靠性;可有效擴(kuò)大載荷(空間衛(wèi)星、彈頭、滑翔飛行器)飛行范圍，使固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)能應(yīng)用于更廣泛的任務(wù)。近年來(lái)，隨著快速空間響應(yīng)、助推滑翔飛行器、高軌攔截等課題的興起，固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)能量管理制導(dǎo)作為一項(xiàng)關(guān)鍵技術(shù)，再次成為熱點(diǎn)受到廣泛關(guān)注［1－6］。

固體火箭大氣層外耗盡關(guān)機(jī)制導(dǎo)技術(shù)包含兩部分:一是根據(jù)目標(biāo)和軌跡約束計(jì)算期望關(guān)機(jī)速度;二是根據(jù)發(fā)動(dòng)機(jī)剩余能量、當(dāng)前速度和期望速度進(jìn)行耗盡關(guān)機(jī)能量管理。耗盡關(guān)機(jī)能量管理可分為兩大類:一類能量管理基于零射程線［7－8］，其原理是將推力置于不影響射程的方向，從而對(duì)關(guān)機(jī)時(shí)間偏差不敏感，但該方法不具備多約束能力;另一類具有速度控制能力，該方法使飛行器在關(guān)機(jī)時(shí)達(dá)到指定速度矢量。本文研究速度可控的多約束耗盡關(guān)機(jī)能量管理。

速度可控能量管理可細(xì)分為開(kāi)環(huán)和閉環(huán):(1)開(kāi)環(huán)方式，有姿態(tài)調(diào)制能量管理［9］，將能量管理飛行分為6段，在能量管理前完成各段姿態(tài)指令計(jì)算。因是開(kāi)環(huán)策略，姿態(tài)調(diào)整次數(shù)多，易受干擾影響、精度差、且不利于大能耗管理，所以出現(xiàn)了一些減少分段的改進(jìn)型［4，10］。(2)閉環(huán)方式，有通用能量管理和樣條能量管理。通用能量管理［11］(GEM)簡(jiǎn)單而精確，但不能控制能量耗散強(qiáng)度，起止點(diǎn)攻角很大。為實(shí)現(xiàn)助推滑翔式飛行器助推末端水平速度、零攻角約束，徐衡、Liu Luhua 等提出了樣條能量管理［1－2］(SEM)，可消耗較大能量，且具有末端約束能力。但其能量耗散強(qiáng)度不可控，導(dǎo)致大能耗管理時(shí)，在助推末段姿態(tài)角快速變化，不利于控制。

鑒于既有能量管理方式的不足，為了在不約束姿態(tài)角運(yùn)動(dòng)情況下簡(jiǎn)化能量管理問(wèn)題，本文以多余視速度增量為狀態(tài)變量，建立一種新型耗盡關(guān)機(jī)能量管理模型，并分析其特性;然后，根據(jù)關(guān)機(jī)約束，構(gòu)建了一種閉環(huán)動(dòng)態(tài)逆能量管理(IEM)方法，根據(jù)剩余飛行時(shí)間和多余視速度增量，規(guī)劃多余視速度變化曲線，實(shí)現(xiàn)能量耗散強(qiáng)度可控的能量管理。

1 能量管理問(wèn)題

多級(jí)火箭的上面級(jí)，已處于大氣層外或大氣密度很小，可忽略空氣阻力。設(shè)飛行器初始速度為v0，發(fā)動(dòng)機(jī)推力矢量F，關(guān)機(jī)時(shí)間tf，則能量管理目標(biāo)是:在tf時(shí)，使速度矢量達(dá)到期望速度vr0:

其中，F(xiàn)大小不變、方向可控;g為重力加速度。飛行中，通過(guò)改變F的方向來(lái)達(dá)到目標(biāo)。當(dāng)固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)裝藥量固定，發(fā)動(dòng)機(jī)產(chǎn)生的總視速度增量S0為常值［12－13］，其大小為

式中 mf為關(guān)機(jī)質(zhì)量;m0為起始質(zhì)量;F為推力為質(zhì)量變化率。

具有速度控制能力的耗盡關(guān)機(jī)能量管理，便基于S0為定值，通過(guò)規(guī)劃飛行姿態(tài)消耗多余能量來(lái)實(shí)現(xiàn)。式(1)形式的速度控制，有3個(gè)自由度，不利于能量管理設(shè)計(jì)，故以往都將三維空間能量管理約束到二維平面內(nèi)(俯仰平面、偏航平面或由待增速度和重力方向構(gòu)成的平面)。該降維雖然可行，卻約束了飛行器姿態(tài)運(yùn)動(dòng)范圍，限制了能量管理方式的多樣性;且當(dāng)能量消耗大，須進(jìn)行正、負(fù)兩方向的快速姿態(tài)調(diào)轉(zhuǎn)，不利于跟蹤控制。

2 基于動(dòng)態(tài)逆的能量管理方法

本章建立以多余視速度增量和趨近角為狀態(tài)量的能量管理模型，不作平面約束，將三維問(wèn)題降為二維;然后給出一種基于動(dòng)態(tài)逆的能量管理策略。

2．1 多余能量為狀態(tài)的數(shù)學(xué)建模分析

設(shè)期望在tf時(shí)刻達(dá)到速度vr0，因飛行器處于重力場(chǎng)，為補(bǔ)償重力影響，構(gòu)建虛擬期望速度vr:

又設(shè)剩余視速度增量為S，當(dāng)前速度v到vr矢端長(zhǎng)度L，則瞬時(shí)多余視速度增量P為

若期望速度可實(shí)現(xiàn)，則必有P＞0。能量管理目的是尋找姿態(tài)角變化律，在關(guān)機(jī)時(shí)實(shí)現(xiàn)期望速度。

為簡(jiǎn)化問(wèn)題，假設(shè):(1)能量管理過(guò)程，發(fā)動(dòng)機(jī)推力與飛行器縱軸重合;(2)期望速度的變化可忽略。飛行器姿態(tài)、速度、期望速度的位置關(guān)系如圖1所示。圖1中，α為攻角;γ為推力與OAB平面夾角;OAB平面指速度與期望速度所成平面。

圖1 空間幾何關(guān)系Fig．1 Space geometry relationship

因vr的虛擬重力場(chǎng)與v所受重力場(chǎng)相同，故L大小僅受推力影響。設(shè)趨近角∠ABO為θ，則:

整理可得

其中，m為當(dāng)前質(zhì)量;視加速度F/m可測(cè);α*是速度與的夾角;L是 的長(zhǎng)度，故:

式(4)即能量管理新模型，能量管理目的是設(shè)計(jì)姿態(tài)角α、γ的變化律，使關(guān)機(jī)時(shí)P=0。

基本性質(zhì)1 式(1)形式能量管理，等價(jià)于:

該性質(zhì)可由式(4)第一式得到。

該性質(zhì)可由式(4)第二式得出，而要使γ有解，須滿足α≥α*。

該性質(zhì)表明，存在一條分界線，在該線一側(cè)，趨近角變小，另一側(cè)變大。

該式表明，即使保持趨近角不變，通過(guò)改變?chǔ)烈嗄芸刂贫嘤嘁曀俣仍隽康南?。若關(guān)機(jī)時(shí)=0，必有α=α*=θ，且此時(shí)γ有唯一解γ=180°。所以，要減小關(guān)機(jī)攻角，須減小趨近角θ。

2．2 動(dòng)態(tài)逆能量管理

其中

式中 u為輸入量;X為狀態(tài)量;δ為飛行姿態(tài)，δ有界，滿足‖δ‖2≤1;B、A(t，v)、K(t，v)均為變參數(shù)矩陣，其中A為酉矩陣，滿足AAT=I。

動(dòng)態(tài)逆法關(guān)鍵是根據(jù)期望多余視速度消耗率，求解指令姿態(tài)α、γ，使如下泛函值最小:

其中，γ∈［0，180°］，若飛行中限制最大攻角為 αmax，則α∈［0，αmax)。

當(dāng)α、γ存在實(shí)數(shù)解，則

由此可得 αc、γc。

設(shè)相關(guān)增益為kα、kγ，則控制指令可取為

2．2．1 期望多余視速度增量變化率

由于采用動(dòng)態(tài)逆方法，只要設(shè)計(jì)合理的變化軌跡，便可實(shí)現(xiàn)耗盡關(guān)機(jī)能量管理。

［定理1］ 當(dāng)不考慮姿態(tài)角限制和姿態(tài)變化的動(dòng)態(tài)過(guò)程，則若期望多余視速度變化率為

且k＞1時(shí)，可在關(guān)機(jī)點(diǎn)實(shí)現(xiàn)需要速度。

證明:

即

故變化率關(guān)于時(shí)間的表達(dá)式為

證畢。

k＞1意味著多余視速度增量的非線性消耗，且離關(guān)機(jī)越遠(yuǎn)、k越大，消耗的越快，(α，γ)能更快趨近(α*，180°)。

2．2．2 過(guò)程約束對(duì)P的影響

上節(jié)討論能量管理的收斂性，實(shí)際飛行中，還要求指令信號(hào)變化平緩，以滿足結(jié)構(gòu)強(qiáng)度、控制能力、跟蹤精度的需求。本節(jié)討論姿態(tài)指令平滑性對(duì)P的變化律的影響。

從圖1可見(jiàn)，若推力方向與OAB平面存在夾角，則飛行器速度矢量會(huì)繞虛擬期望速度旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角速度為

式中 ωmax為旋轉(zhuǎn)速度限制。

因速度相對(duì)期望速度的夾角和α、γ共同形成飛行器在慣性空間的姿態(tài)。該旋轉(zhuǎn)速度直接影響飛行器的姿態(tài)變化，飛行中應(yīng)限制旋速。

在能量管理關(guān)機(jī)時(shí)刻，有L→0，由式(12)可知，若sinαsinγ≠0，則ω→∞。速度矢量繞期望速度矢量快速旋轉(zhuǎn)，導(dǎo)致俯仰、偏航姿態(tài)高頻振蕩。注意到P·→0，聯(lián)系性質(zhì)2和式(12)，要使關(guān)機(jī)時(shí)旋速趨近零，必有γ→180°，故要實(shí)現(xiàn)關(guān)機(jī)時(shí)姿態(tài)不振蕩，應(yīng)當(dāng)有γ=180°。此時(shí)由式(4)第一式可得

其中，α－α*可代表飛行器體軸與AB線夾角。若令β=α－α*，則

在制導(dǎo)中，應(yīng)使β變化緩慢，即應(yīng)滿足:

［定理2］ 多余視速度增量按如下規(guī)律變化時(shí)，式(15)成立:

其中，k＞3。

證明:

由定理1可知，存在時(shí)間t0，當(dāng) t＞t0是可實(shí)現(xiàn)式(10)所對(duì)應(yīng)的變化曲線。故當(dāng)t＞t0有

代入式(14)右側(cè)整理得

證畢。

定理2闡明:關(guān)機(jī)點(diǎn)附近，要使姿態(tài)角變化率很小，P應(yīng)是時(shí)間的3階以上曲線。而離關(guān)機(jī)較遠(yuǎn)時(shí)，可視P的大小調(diào)整系數(shù)k，減緩P的消耗速度，提高對(duì)期望速度變化的適應(yīng)性。

因A為酉矩陣，故

即

(1)平面內(nèi)能量管理

采用該指令，平面OAB不旋轉(zhuǎn)，是一種平面能量管理，與傳統(tǒng)能量管理方法維度一致。該方法在能量管理過(guò)程中，∠ABO單調(diào)遞增。

(2)螺旋能量管理

式(12)中，當(dāng) v、vr確定，旋轉(zhuǎn)速度由 α、γ 決定，而α、γ由、確定。所以，旋轉(zhuǎn)速度受約束時(shí)，應(yīng)考慮與ω的關(guān)系。

當(dāng) 和ω梯度方向一致時(shí)，等 線和等ω線條相切，切點(diǎn)滿足:

由于旋速受限，能量管理中，會(huì)存在一條等ωmax線，α、γ的取值不能進(jìn)入其所包含區(qū)域，據(jù)此可確定指令范圍，本文給出一個(gè)求限定條件下αc、γc的方法，其步驟如下:

b．由(α0，γ0)確定該下最大旋速 ω0。

c．若 ω0≥ωmax，則取等 ωmax線和線交點(diǎn)對(duì)應(yīng)的(α，γ)作能量管理指令。若 ω0＜ωmax，說(shuō)明該線上所有組合都可作為能量管理指令。此時(shí)，為保證指令連續(xù)和α收斂，用如下方法確定指令(αc，γc)。

首先計(jì)算αc:

其中，0＜η＜1;當(dāng)α受約束，則限制αc取值。

然后根據(jù)式(8)確定γc。由此實(shí)現(xiàn)使攻角逐漸變小的螺旋能量管理。

圖2 等 線與等ω線的關(guān)系Fig．2 Isoline of and ω

當(dāng) ξ＞0 時(shí)，若 ηωmax＞ω0，則有 αc＞α0，從圖 2 可知，在相同多余視速度消耗率下，對(duì)應(yīng)的γc角更接近 ，速度矢量更快地向期望速度靠近;若ω0＞ηωmax，則相反:γc處于黑線下方，θ角增大，式(12)分母增大，使可實(shí)現(xiàn)的最大旋速ω0逐漸減小，直至小于ηωmax。該方法能在保證最大旋轉(zhuǎn)速度不超限的情況下，更快地收斂到期望速度。另外，根據(jù)性質(zhì)3，黑色粗線是趨近角θ變大、變小的邊界線。所以，ξ正負(fù)直接影響關(guān)機(jī)時(shí)刻θ角的大小，從而決定關(guān)機(jī)攻角大小。其中，當(dāng)ξ為正時(shí)，θ逐漸變小;為負(fù)時(shí)，θ變大，不利于實(shí)現(xiàn)末端零攻角，應(yīng)避免采用。

3 仿真分析

本章通過(guò)數(shù)學(xué)仿真分析所提方法的特性和效果，分3部分:(1)重要參數(shù)影響;(2)不同期望速度的能量管理性能;(3)與已有方法進(jìn)行對(duì)比。

仿真中假設(shè)平面地球，該多級(jí)飛行器數(shù)據(jù)參考文獻(xiàn)［1］，第三級(jí)點(diǎn)火時(shí):水平速度 3 453．4 m/s，垂直速度 569．4 m/s，秒耗量= － 32．639 kg/s，推力 F=95 110 N，初始質(zhì)量 m0=2 401．3 kg，攻角為零，發(fā)動(dòng)機(jī)工作時(shí)間t=50 s。發(fā)動(dòng)機(jī)總視速度增量為3 316．8 m/s。飛行過(guò)程約束:姿態(tài)角速度小于10°/s。

3．1 多約束動(dòng)態(tài)逆能量管理參數(shù)特性

3．1．1 參數(shù) k 的影響

設(shè)關(guān)機(jī)期望速度為水平6 000 m/s。此時(shí)多余視速度增量占總視速度增量的23．2%。

應(yīng)用平面能量管理時(shí)，飛行器只在縱向面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，可用俯仰角、俯仰角速度來(lái)描述姿態(tài)變化。k分別取2、3、5 時(shí)，能量管理結(jié)果見(jiàn)圖 3。

圖3 多余視速度增量、俯仰角、俯仰角速度變化曲線Fig．3 Curves of excess velocity capability，angle of pitch and pitch velocity vs time

由圖3可見(jiàn)，k越大，P越快地接近0，前半段消耗越多;與之對(duì)應(yīng)，在前半段:k越大俯仰角越大、大角速度持續(xù)的越長(zhǎng)。這是因?yàn)橄嗤嘤嘁曀俣仍隽肯?，k越大越大，需用姿態(tài)角越接近最大耗能姿態(tài)。關(guān)機(jī)點(diǎn)附近，當(dāng)k=3，俯仰角速度基本不變;當(dāng)k=2，則越接近關(guān)機(jī)點(diǎn)，俯仰角速度越大;當(dāng)k=5，越接近關(guān)機(jī)點(diǎn)，角速度越小。與定理2一致。

3．1．2 參數(shù) ξ的影響

當(dāng)采用螺旋方式管理能量，不管ξ取何值，其速度矢量都將在慣性空間螺旋。ξ不同螺旋軌跡不同。下面給出k固定，ξ變化時(shí)的仿真結(jié)果。其中，期望關(guān)機(jī)速度取水平6 000 m/s。

圖4為速度矢量在沿虛擬期望速度方向的投影?？芍卧酱?，速度矢量越快地貼近期望速度。需要說(shuō)明的是若ξ絕對(duì)值很小，則式(19)右側(cè)第二式的調(diào)節(jié)能力非常小，飛行中旋速始終接近最大可達(dá)螺旋。此時(shí)，若速度矢量過(guò)早接近虛擬期望速度，則可能導(dǎo)致旋轉(zhuǎn)速度過(guò)快，超出角速度限制。所以，ξ絕對(duì)值不應(yīng)過(guò)小。從圖5可知，相對(duì)于ξ=0，當(dāng)ξ為負(fù)，則推力使速度矢量遠(yuǎn)離虛擬期望速度，關(guān)機(jī)攻角大;當(dāng)ξ為正，則推力使速度矢量貼近虛擬期望速度，關(guān)機(jī)攻角小。另一方面，從圖6可知，相對(duì)于負(fù)ξ，能量管理過(guò)程中，正ξ飛行的姿態(tài)變化速度會(huì)加快，這是速度矢量更快地貼近期望速度矢量的必然結(jié)果。

圖4 速度在期望速度軸向的投影Fig．4 Velocity projection on vertical plane ofvr

圖5 姿態(tài)角α和γ的軌跡Fig．5 Trajectory of α and γ

圖6 飛行器的最大角速度Fig．6 The maximum angular velocity

3．1．3 大范圍能量管理精度

IEM具有大范圍能量管理特點(diǎn)，為統(tǒng)計(jì)不同強(qiáng)度能量管理特性，每隔100 m/s給出4 000～6 700 m/s水平關(guān)機(jī)速度管理結(jié)果，詳見(jiàn)圖7。此時(shí)多余視速度增量占總量的 2．1%～83．3%。

圖7 不同期望速度的能量管理結(jié)果Fig．7 Energy management results of difference desired velocity

由圖7可見(jiàn)，速度大小偏差在3．2 m/s以內(nèi)，速度與期望速度的夾角在0．013°以內(nèi)。關(guān)機(jī)偏航角小于20°，姿態(tài)角速度小于 1．5°/s，有利于關(guān)機(jī)后的飛行動(dòng)作如姿態(tài)調(diào)轉(zhuǎn)、級(jí)間分離等。尤其當(dāng)能量耗散率小于41．3%(期望速度大于5 400 m/s)，速度大小偏差小于0．25 m/s，角速度小于 0．25°/s，關(guān)機(jī)攻角小于 5°，且關(guān)機(jī)速度越大攻角越小，說(shuō)明該方法具有很高的速度控制精度。當(dāng)能量耗散率大于44．3%(期望速度小于5 300 m/s)，隨著速度減小攻角迅速增大，這是因?yàn)楣ソ切∫馕吨屏居脕?lái)增加速度;當(dāng)能量耗散率大，則須進(jìn)行長(zhǎng)時(shí)間、大強(qiáng)度機(jī)動(dòng)飛行。所以，耗散率增大，攻角會(huì)增大。需要說(shuō)明的是本仿真中對(duì)不同的耗散強(qiáng)度，采用了相同的 k、ξ、η、kα、kγ。其中，η=0．7、ξ=0．07、k由零時(shí)刻2增加到關(guān)機(jī)時(shí)刻的3．3。說(shuō)明該方法具有魯棒性很強(qiáng)的特點(diǎn)。

3．2 3種不同的閉環(huán)能量管理方式

為研究本方法與其他具有速度控制能力的閉環(huán)能量管理方式的異同，與GEM、SEM方法進(jìn)行了對(duì)比，結(jié)果如圖8所示。期望水平速度6 000 m/s。

圖8 不同能量管理方式下攻角、速度、角速度變化曲線Fig．8 Angle of attack，velocity，and angular velocity under different method

由圖8可見(jiàn)，這3種方式都具有很高的速度控制精度。其中，由于GEM采用圓弧軌跡管理多余能量，不具備攻角約束能力，其末端攻角會(huì)非常大，達(dá)到78．2°，而 SEM 只有 3．9°，IEM 只有 2．6°，詳見(jiàn)圖 8(a)。正因?yàn)镾EM、IEM末端攻角小，故關(guān)機(jī)點(diǎn)附近速度增加快;GEM攻角大，速度增加慢(圖8(b))。在角速度方面(圖8(c))，因SEM方法采用三階多項(xiàng)式規(guī)劃速度變化軌跡，所以姿態(tài)出現(xiàn)起始、中間、末端3次快速變化;而GEM雖然中間段姿態(tài)變化平緩，但末端姿態(tài)快速變化。相比之下，除起始時(shí)刻建立姿態(tài)的過(guò)程，IEM方式姿態(tài)角速度一直小于前2種方法;其角速度大小雖小幅起伏，但在整個(gè)過(guò)程中具有減小趨勢(shì)，尤其在關(guān)機(jī)點(diǎn)附近角速度需求遠(yuǎn)小于前2種方式。因此，IEM方法的制導(dǎo)指令更有利于控制實(shí)現(xiàn)。

4 結(jié)論

(1)針對(duì)傳統(tǒng)能量管理方法不利于多約束耗盡關(guān)機(jī)，定義了趨近角并結(jié)合多余視速度增量建立了新型能量管理模型，該模型與傳統(tǒng)能量管理模型等價(jià)，可作為速度可控耗盡關(guān)機(jī)問(wèn)題的一種新的數(shù)學(xué)描述。

(2)基于動(dòng)態(tài)逆的能量管理方式設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單，設(shè)計(jì)參數(shù)只有2個(gè)，且仿真結(jié)果表明參數(shù)設(shè)計(jì)具有非常強(qiáng)的魯棒性。

(3)該方法能量管理具有精度高、能量管理范圍大、角速度小、末端攻角小的特點(diǎn)，可滿足關(guān)機(jī)點(diǎn)速度、攻角、角速度等多約束。

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