新型線性函數(shù)光子晶體光子二極管的研究

馬 季，吳向堯*，劉曉靜，巴 諾，張斯淇，李 宏，郭義慶

(1.吉林師范大學 物理學院，吉林 四平 136000；2．中國科學院 高能物理研究所，北京 100049)

0 引言

1987年Yablonovitch和John分別獨立提出光子晶體(photonic crystal)概念[1-2]，它是一種折射率呈周期性排布的介電結(jié)構(gòu)．光子晶體最顯著的特征是存在光子帶隙，也就是說光子晶體對于某些頻率的光而言是“禁止”通過的，從而使其在新科技中有很大的應(yīng)用價值.例如，抑制和增強自發(fā)輻射、非線性光子晶體限幅器、光波束分裂與合成、非線性激光器、通信傳輸、光子開關(guān)及光脈沖壓縮器等．根據(jù)光子晶體的結(jié)構(gòu)可分為一維光子晶體，二維光子晶體，三維光子晶體．它的諸多的新奇的光學傳輸特性已經(jīng)受到廣泛關(guān)注[3-6].近年來許多專家學者投身于光子晶體實驗和理論的研究[7-9]．光子晶體和半導(dǎo)體在基本模型和研究思路上有許多相似之處，事實上人們可以通過設(shè)計和制造光子晶體及其器件，達到控制光子運動的目的，這就使得人們操縱和控制光子的夢想成為可能[10-11]．在本文中，我們詳細地討論了一維新型線性函數(shù)光子晶體的光學傳輸特性，即研究了光子晶體透射率和頻率之間的關(guān)系以及正反入射時光子晶體內(nèi)電場的分布情況．由文獻[12]中提出函數(shù)光子晶體的概念，本文在它的基礎(chǔ)上，提出了新型線性函數(shù)光子晶體，即折射率是空間位置的線性函數(shù)．本文具體研究的是線性折射率函數(shù)的一維函數(shù)光子晶體，研究了一維函數(shù)光子晶體相對的透射率特性及電場強度在一維函數(shù)光子晶體中的分布，從而得到一些不同于常規(guī)光子晶體和特殊函數(shù)光子晶體的新的結(jié)論．

1 光在函數(shù)光子晶體中的運動方程

光在一維函數(shù)光子晶體中折射率為n=n(z),其運動軌跡為xz平面上是曲線．入射光入射到介質(zhì)分界面上的A點，曲線AB和BC分別表示光在介質(zhì)中的入射路徑和反射路徑，如圖1所示.

圖1 光在一維函數(shù)型介質(zhì)中的傳播路徑

光的運動方程可以由費馬原理得到:

(1)

(2)

(3)

把方程(3)轉(zhuǎn)換成:

(4)

對于A和B兩個端點，它們變化為零，即δz(A)=δz(B)=0，對于任意變量dz，方程(4)可以轉(zhuǎn)換為:

(5)

簡化方程(5)得:

(6)

方程(6)即是光在一維函數(shù)型介質(zhì)中的運動方程．

2 光子晶體傳輸矩陣及電場分布的推導(dǎo)

圖2 在任意介質(zhì)層中光傳播的情況

在兩種介質(zhì)的交界面處，由邊值關(guān)系知：

(7)

用此方法計算出射面得到：

(8)

(9)

(10)

以上，xA是A在x軸方向的投影，xB是B在x軸方向的投影，介質(zhì)的光學厚度用b表示．

對方程(6)兩邊積分：

(11)

得：

(12)

(13)

Ei2=Et1eiδb

(14)

其中：

(15)

相類似的，

(16)

(17)

(18)

其中:nb(0)=nb(z)|z=0,nb(b)=nb(z)|z=b

圖3光在光子晶體中的傳輸圖示

由上面的推導(dǎo)，我們可以設(shè)計一維一般函數(shù)光子晶體，其結(jié)構(gòu)如圖3所示．兩介質(zhì)層的厚度分別為a、b．折射率分別為na(z)、nb(z)，同上，得到介質(zhì)層A的傳輸矩陣為：

(20)

其中：

(21)

(22)

(23)

(24)

這樣便得到一個周期的傳輸矩陣M為：

M=MB·MA

(25)

當nb(z),na(z)分別為常數(shù)時，M矩陣(25)就與常規(guī)光子晶體M矩陣完全相同．

一般函數(shù)光子晶體中的方程為：

(26)

由方程(26)得到透射系數(shù)t為：

(27)

透射率為：

T=t·t*

(28)

圖4 光在線性函數(shù)光子晶體中的傳輸示意圖

光在一般函數(shù)光子晶體中傳輸?shù)碾姶艌鍪疽鈭D如圖4所示．基于上述傳輸矩陣原理，我們還可以研究在光子晶體中的光電場分布，可寫為:

(29)

由方程(29)得到：

方程(30)中n0=1．根據(jù)Et=E0i·t，有:

(31)

電場分布公式為：

(32)

3 數(shù)值分析

通過上面的理論計算，我們可以對一般函數(shù)型光子晶體的透射率及其電場分布進行研究．折射率分布函數(shù)為：

(33)

(34)

圖5 線性函數(shù)光子晶體折射率函數(shù)分布曲線

在下面所有計算中，主要參數(shù)取為：nb(0)=na(0)=1.2，nb(b)=na(a)=1．48，即取圖5所示的折射率線性分布函數(shù)．入射角θ=0，中心頻率ω0=1.216×1015Hz，介質(zhì)層A、B的厚度為b=a=161.46 nm，周期數(shù)N=16．

圖6光正入射時一般函數(shù)光子晶體的透射率曲線圖7光反入射時一般函數(shù)光子晶體的透射

圖8光正入射時的電場分布圖9光反入射時的電場分布

4 結(jié)論

綜上所述，我們提出了一種新型線性函數(shù)光子晶體，它的折射率是空間位置的函數(shù)．通過計算，我們得到一些不同于常規(guī)光子晶體的新的結(jié)論:(1) 當介質(zhì)層A、B折射率分布函數(shù)為線性增加時，函數(shù)光子晶體透射率大于1；(2)當介質(zhì)層A、B折射率分布函數(shù)為線性減小時，函數(shù)光子晶體透射率小于1；(3) 當光正入射時，電場強度得到顯著地增強，實現(xiàn)了光的放大．當光反入射時，電場強度得到明顯減弱，實現(xiàn)了光的衰減．由于正入射時光放大，反入射時光衰減，因此該函數(shù)光子晶體可作為光子二極管．可見，函數(shù)光子晶體可以用來優(yōu)化設(shè)計光學器件，因此具有廣闊的應(yīng)用前景．

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