塊α-雙對(duì)角占優(yōu)矩陣的判定

高會(huì)雙,韓貴春,肖麗霞

(內(nèi)蒙古民族大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院, 內(nèi)蒙古 通遼 028043)

1 引言與記號(hào)

矩陣是數(shù)學(xué)中重要的基本概念,也是很多領(lǐng)域研究的重要工具.因此,眾多學(xué)者對(duì)矩陣進(jìn)行了研究,獲得了一系列重要結(jié)果[1-7].本文給出了塊嚴(yán)格α-雙對(duì)角占優(yōu)矩陣的充要條件,并得到非奇異塊H-矩陣的新的判定條件,最后用數(shù)值例子說明結(jié)果的有效性.

設(shè)A=(aij)∈Cn×n為n階復(fù)方陣,分塊如下

(1.1)

顯然有M=M1∪M2∪M3∪M4∪M5∪M6.

定義1.1[8,9]設(shè)A=[aij]n×n∈Cn,n,分塊如式(1.1),若存在α∈[0,1]，使得

(1.2)

則稱A為塊(嚴(yán)格)α-雙對(duì)角占優(yōu)矩陣,記為A∈BDD(α0)(A∈BDD(α)).

引理1.1[9]設(shè)A=[aij]n×n∈Cn,n,分塊如式(1.1),且A∈BDD(α),則A為塊H-矩陣.

2 α-雙對(duì)角占優(yōu)矩陣的討論

定理2.1設(shè)A=(aij)∈Cn×n,則A∈BDD(α)的充分必要條件是M6=?,且對(duì)任意的(s,t)∈M1,(i,j)∈M2,有

(2.1)

綜上對(duì)任意的(s,t)∈M1,(i,j)∈M2,有

充分性 由指標(biāo)集M1的取法可知,對(duì)任意的(s,t)∈M1,有

又由(2.1)式知存在α∈(0,1),使得

(2.2)

對(duì)任意的(k,l)∈M3∪M4∪M5及任意的α∈(0，1),顯然有

綜上所述,由條件M6=?知對(duì)任意(i,j)∈M1∪M2∪M3∪M4∪M5存在α∈(0，1),使得

即A∈BDD(α).

定理2.2設(shè)A=(aij)∈Cn×n,M6=?,若對(duì)任意的(s,t)∈M1,(i,j)∈M2,有 (2.1) 式成立,則A為非奇異塊H-矩陣.

證明由定理2.1知A∈BDD(α),再根據(jù)引理1.1知A為非奇異塊H-矩陣.

3 數(shù)值例子

例

經(jīng)計(jì)算有

由本文記號(hào)有R1=6，R2=6，R3=7；C1=6，C2=8，C3=5.顯然有M1={(1，2)}，M2={(1，3)}，M4={2，3)},M3=M5=M6=?

進(jìn)而計(jì)算得到

即滿足定理2.1 的條件,所以矩陣A為非奇異塊H-矩陣.

[1]Huang Tingzhu,Li Wen.Block H-matrices and Spectrum of Block Matrices.Applied Mathematics and Mechanics,2002,23(2):236～240.

[2]楊 鵬,冉瑞生,黃廷祝.非奇塊H-矩陣的充分條件[J].電子科技大學(xué)學(xué)報(bào),2004,33(2):204～207.

[3]劉建州,徐映紅,廖安平.廣義塊對(duì)角占優(yōu)矩陣的判定[J].高等學(xué)校計(jì)算數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2005,27(3):250～257.

[4]張 敏.分塊矩陣的應(yīng)用[J].吉林師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2003,(1):118～120.

[5]王麗英.對(duì)角占優(yōu)矩陣的判定及其應(yīng)用[J].吉林師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2013,(2):100～102.

[6]C.Y.Zhang,Y.T.Li,F.Chen.On Schur complement of block diagonally dominant matrices,Linear Algebra Appl.,414(2006)533～546.

[7]S.Y.Xiang,S.L.Zhang.A convergence analysis of block accelerated over-relaxation iterative methods for weak block H-Matrices to partition,Linear Algebra Appl.,418(2006)20～32.

[8]李慶春,劉 磊.矩陣對(duì)角占優(yōu)性的推廣[J].吉林師范學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),1996,17(5):4～7.

[9]高中喜,黃廷祝，劉福體.塊H-矩陣的簡(jiǎn)捷判定[J].工程數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2004,21(3):340～344.