混合截尾試驗(yàn)下雙參數(shù)韋布爾分布可靠性指標(biāo)的參數(shù)估計(jì)

孫曉祥,印贊華,馮毅夫，李玉玲,杜宇靜

(1.吉林農(nóng)業(yè)科技學(xué)院 文理學(xué)院,吉林 吉林 132101；2.贛南師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)箅機(jī)科學(xué)學(xué)院, 江西 贛洲 341000；3.吉林師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林 四平 136000；4.北京師范大學(xué)珠海分校 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院,廣東 珠海519085)

0 引言

在可靠性試驗(yàn)中，我們通常研究定數(shù)截尾和定時(shí)截尾兩種情況.定數(shù)截尾壽命試 驗(yàn)是指試驗(yàn)到指定的失效個(gè)數(shù)停止.定時(shí)截尾壽命試驗(yàn)是指試驗(yàn)到指定時(shí)間就立即停 止實(shí)驗(yàn).定數(shù)截尾和定時(shí)截尾結(jié)合在一起的試驗(yàn)是混合截尾試驗(yàn)，文獻(xiàn)[1-2]最先研究 了混合截尾試驗(yàn).近些年，混合截尾試驗(yàn)在可靠性和壽命試驗(yàn)中應(yīng)用越來越廣泛，國 內(nèi)外很多專家學(xué)者對(duì)此問題都進(jìn)行了深入的研究，例如，文獻(xiàn)[3]研究了指數(shù)分布的混合刪失計(jì)劃，文獻(xiàn)[4]研究了混合截尾試驗(yàn)下指數(shù)分布的統(tǒng)計(jì)推斷.在國內(nèi)，文獻(xiàn)[5] 研究了混合截尾壽命試驗(yàn)情形下指數(shù)分布平均壽命的置信限，文獻(xiàn)[6]研究了多次混合截尾壽命試驗(yàn)指數(shù)分布平均壽命的的統(tǒng)計(jì)推斷，文獻(xiàn)[7]研究了指數(shù)分布下混合截尾 試驗(yàn)參數(shù)二次極大似然估計(jì)，文獻(xiàn)[8]研究了 II型截尾情形下泊松分布參數(shù)的估計(jì).

在可靠性試驗(yàn)中，韋布爾分布是可靠性中常用的失效分布之一，許多電子機(jī)械的 元件與設(shè)備等產(chǎn)品的失效時(shí)間分布都是韋布爾分布.因此研究混合截尾試驗(yàn)下韋布爾 分布的參數(shù)估計(jì)是非常有意義的.很多情況下，在可靠性研究中，我們關(guān)心的不僅是 模型的參數(shù)，而且關(guān)心可靠性指標(biāo)，如可靠度函數(shù)和可靠壽命等，它們都是參數(shù)的函 數(shù).因此本文我們研究混合截尾試驗(yàn)下雙參數(shù)韋布爾分布的參數(shù)估計(jì)和可靠性指標(biāo)的 參數(shù)估計(jì)及估計(jì)量的性質(zhì).第一部分研究了混合截尾試驗(yàn)下雙參數(shù)的韋布爾分布的參 數(shù)估計(jì)，并研究了估計(jì)量的性質(zhì)，第二部分研究了可靠性指標(biāo)如可靠性函數(shù)和可靠壽 命的估計(jì)，第三部分研究了區(qū)間估計(jì)，第四部分進(jìn)行了模型研究，第五部分對(duì)所給出 的理論用實(shí)例進(jìn)行具體的分析.

1 韋布爾分布參數(shù)的極大似然估計(jì)及其估計(jì)量的漸近性質(zhì)

混合截尾試驗(yàn)是指從總體中隨機(jī)抽取n個(gè)樣本，對(duì)它們同時(shí)進(jìn)行壽命試驗(yàn)，事先 定下至多允許失效數(shù)r(r≤n)和試驗(yàn)的至多進(jìn)行時(shí)刻,如果在時(shí)刻t0之前觀測到r個(gè)失效，則試驗(yàn)就在第r個(gè)失效的時(shí)刻tr停止，否則就進(jìn)行到時(shí)刻t0終止.

下面我們研究混合截尾試驗(yàn)下雙參數(shù)的韋布爾分布的參數(shù)估計(jì).

當(dāng)tγ

為了簡便，設(shè)

則混合截尾試驗(yàn)下的似然函數(shù)

(1.1)

其對(duì)數(shù)似然函數(shù)為

(1.2)

分別關(guān)于參數(shù)m和β求一階導(dǎo)數(shù)并令一階導(dǎo)數(shù)為零得

通過解似然方程可得參數(shù)m和β的最大似然估計(jì).

2 可靠度函數(shù)和可靠壽命的極大似然估計(jì)

很多情況下，在可靠性研究中，我們關(guān)心的不僅是模型的參數(shù)，而且關(guān)心這些參 數(shù)的函數(shù).例如，工程師更關(guān)心系統(tǒng)的可靠度函數(shù)和可靠壽命，他們都是模型參數(shù)的函數(shù).下面我們給出可靠度函數(shù)和可靠壽命的極大似然估計(jì).

韋布爾分布下可靠度函數(shù).

在DSP中實(shí)現(xiàn)H.264的編碼器優(yōu)化，優(yōu)化過程主要為4步：算法優(yōu)化、C代碼優(yōu)化、線性匯編的優(yōu)化和CCS編譯器選項(xiàng)優(yōu)化[11]。優(yōu)化過程如圖7所示。

對(duì)韋布爾分布的參數(shù)的最大似然估計(jì)，根據(jù)極大似然估計(jì)的不變性，則得韋布爾分布 混合截尾試驗(yàn)下可靠度函數(shù)的極大似然估計(jì)為

定義設(shè)產(chǎn)品的可靠度函數(shù)為R(t),使其等于給定值R(0

3 區(qū)間估計(jì)

3.1 漸近置信區(qū)間

3.2 基于似然比的置信區(qū)間

考慮檢驗(yàn)問題：H0:m=m0，H1:m≠m0.似然比統(tǒng)計(jì)量為

4 模擬研究

本節(jié)中我們隨機(jī)模擬了t=0.25時(shí)(n,r)分別為(15,5),(25,5),(50,10),(50,15)情況下參數(shù)m和的最大似然估計(jì)．表1中第二列第三列給出了參數(shù)m和β的最大似然估計(jì)量的偏差，第四列為可靠度函數(shù)的最大似然估計(jì)的偏差，第五列為可靠壽命的最大似然估計(jì)的偏差，括號(hào)中為相應(yīng)的均方誤差．本模擬重復(fù)計(jì)算50次．

表1 參數(shù)和參數(shù)的函數(shù)的最大似然估計(jì)的偏差和均方誤差

從表1的結(jié)果來看，當(dāng)n固定r增加或者r固定n增加時(shí)估計(jì)量的偏差和均方誤差都減少.

5 實(shí)例分析

例36個(gè)家電前10個(gè)家電的失效時(shí)間為：11,35,49,170,329,381,708,958,1062,1167,t0=2600.計(jì)算參數(shù)的極大似然估計(jì)及可靠性函數(shù)和可靠 壽命的估計(jì)值和并給出相應(yīng)的置信區(qū)間.

解：本例中r=10，n=36,tr=116,t0=2600,D=r=10.

當(dāng)α=0.5時(shí)，參數(shù)m的漸近置信區(qū)間為[1.38，2.21],β的漸近置信區(qū)間為[7.558×105,10.856×105].

參數(shù)m的基于似然比的置信區(qū)間為[1.69,2.85],β的基于似然比的置信區(qū)間為 [7.808×105,11.235×105].

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[11]王玉芳．定數(shù)截尾數(shù)據(jù)缺失場合下k(m)/n系統(tǒng)可靠性指標(biāo)的經(jīng)驗(yàn)Bayes估計(jì)[J]．吉林師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2012，4(33)：41～43．