定時(shí)截尾情形下指數(shù)分布參數(shù)的估計(jì)

劉銀萍，張雨嫡，秦 青

(吉林師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,吉林 四平 136000)

近年來,關(guān)于截尾情形的統(tǒng)計(jì)推斷問題引起了人們廣泛的關(guān)注[1-5].指數(shù)分布是可靠性壽命試驗(yàn)中的基本分布之一.關(guān)于指數(shù)分布總體的統(tǒng)計(jì)推斷問題,無論是完全數(shù)據(jù)還是缺失數(shù)據(jù),一直都吸引著統(tǒng)計(jì)工作者對(duì)其進(jìn)行研究[6-10].文獻(xiàn)[6] 給出了部分缺失數(shù)據(jù)情形下指數(shù)分布總體的參數(shù)估計(jì)和檢驗(yàn);文獻(xiàn)[7] 給出了指數(shù)分布總體在定時(shí)截尾和數(shù)據(jù)缺失場(chǎng)合下參數(shù)極大似然估計(jì);文獻(xiàn)[8]給出了定數(shù)截尾缺失數(shù)據(jù)場(chǎng)合指數(shù)分布參數(shù)Bayes估計(jì).本文對(duì)于定時(shí)截尾情形指數(shù)總體的參數(shù)極大似然估計(jì)及其性質(zhì)做了進(jìn)一步的討論,給出了指數(shù)總體參數(shù)的極大似然估計(jì),證明了極大似然估計(jì)的強(qiáng)相合性質(zhì)及漸近正態(tài)性質(zhì).

1 參數(shù)的極大似然估計(jì)

設(shè)指數(shù)總體X，其概率密度函數(shù)為

其中λ>0為未知參數(shù).

對(duì)總體X進(jìn)行n次獨(dú)立的觀測(cè),直到時(shí)刻K0停止.設(shè)總體的樣本觀測(cè)量為Y1,Y2，…，Yn,其中Yi=Xi∧K0，這里a∧b=min(a,b),Xi為來自總體X的第i個(gè)樣本的壽命,K0>0為給定的常數(shù),稱為閾值.則Y1,Y2，…，Yn獨(dú)立同分布.且

當(dāng)Xi0

當(dāng)Xi≥K0時(shí)，Yi=K0概率函數(shù)為p(x)=P(Yi=K0)=P(Xi≥K0)=e-λK0

似然函數(shù)為

對(duì)數(shù)似然

令

解得λ的極大似然估計(jì)為

2 極大似然估計(jì)的漸近性質(zhì)

證明由于Eδ1=P(Y1=K0)=P(X1≥K0)=e-λK0

由Slutsky定理[11]，

引理記Sn=(S1n,S2n，…，Skn)T，β=(β1,β2，…，βk)T，設(shè)

證明令Wi=(δi,Yi)T

則{Wi,i=1,2,…，n}是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列

且

令

∑=E[(W1-EW1)(W1-EW1)T]

由多元中心極限定理可得

其中

又

則

令

則有

由引理知

其中

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