多元函數(shù)插值格式的構(gòu)造方法

崔利宏，王曉婉，楊一濃，鮑 煥

(1.遼寧師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，大連 116029;2.大連理工大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，大連 116029)

1 引言

多元插值問(wèn)題是計(jì)算數(shù)學(xué)領(lǐng)域中一個(gè)非常重要的基本問(wèn)題,同時(shí)也是一個(gè)經(jīng)典的數(shù)學(xué)問(wèn)題,在計(jì)算數(shù)學(xué)中占據(jù)著核心地位．由于多元插值在許多科研領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用,因此多元插值問(wèn)題的研究也越來(lái)越受到人們的重視．但是,傳統(tǒng)的多元差值格式的構(gòu)造方法，其中的公式十分繁瑣,計(jì)算量又很大,單純依賴便攜式計(jì)算器或手工操作是遠(yuǎn)遠(yuǎn)達(dá)不到科研生產(chǎn)需要的，因此如果能夠使用計(jì)算機(jī)來(lái)解決插值問(wèn)題的一個(gè)很重要的手段,本文就是利用MATLAB數(shù)學(xué)軟件來(lái)實(shí)現(xiàn)多元插值．

本文參考[1，2]中給出了多元插值問(wèn)題的定義,提出了文章研究的課題；參考文獻(xiàn)[3,4]給出的適定結(jié)點(diǎn)組存在性和唯一性的相關(guān)定理,并給出了選取適定結(jié)點(diǎn)組的幾種方法,為下文具體示例中選取適定結(jié)點(diǎn)組用MATLAB軟件來(lái)實(shí)現(xiàn)插值做理論鋪墊；借鑒文獻(xiàn)[5，6],本文選擇適當(dāng)示例用MATLAB軟件[7]編程得以實(shí)現(xiàn)多元插值格式,并給出了相應(yīng)插值多項(xiàng)式及被插函數(shù)的圖像,以便直觀地觀察插值的效果．

1.1 多元多項(xiàng)式函數(shù)插值問(wèn)題提法

定義1[1]設(shè)P1(x,y),P2(x,y),…，Pk(x,y)是一組線性無(wú)關(guān)的實(shí)系數(shù)二元多項(xiàng)式

P=Span{P1(x,y)，P2(x,y)，…，Pk(x,y)},

D是R2上的有界閉區(qū)域,f∈C(D)q1…qk,是D中互異的點(diǎn).二元多項(xiàng)式插值問(wèn)題,尋找p∈P,使得下述插值條件被滿足:

p(qi)=f(qi)，i=1,…,k

(1.1)

這樣的多項(xiàng)式p(x,y)稱為f(x,y)在P中的插值多項(xiàng)式,q1,…,qk稱為插值結(jié)點(diǎn).

1.2 多元插值多項(xiàng)式存在性討論

定義1[3](Haar定理)設(shè)S是歐式空間Rn(n≥2)中包含一個(gè)內(nèi)點(diǎn)q的點(diǎn)集.設(shè)φ1,φ2,…,φn(n>1)定義于S上,且其中每個(gè)函數(shù)均在q的一個(gè)鄰域內(nèi)連續(xù),則這個(gè)函數(shù)組在S上不是唯一可解的．

根據(jù)Haar定理,在構(gòu)造多元插值多項(xiàng)式時(shí),插值結(jié)點(diǎn)組的選取是一個(gè)關(guān)鍵的問(wèn)題,因?yàn)椴⒉皇菍?duì)于任意給定的插值結(jié)點(diǎn)組,多元插值多項(xiàng)式都是存在并且唯一的,為求得插值多項(xiàng)式,首要的問(wèn)題就是選擇插值結(jié)點(diǎn)組q1,…,qk,使得插值問(wèn)題(1.1)的解存在并且唯一．

定義2[8-9]若對(duì)任意給定的被插函數(shù)f(x,y),插值問(wèn)題(1.1)的解均存在并且唯一,則稱q1,…,qk是空間P的適定結(jié)點(diǎn)組.

引理1[2]點(diǎn)組q1,…,qk是空間P的適定結(jié)點(diǎn)組,必須且只須該點(diǎn)組不在P中的任何一條代數(shù)曲線上．

2 主要定理及其證明

關(guān)于Pn的適定結(jié)點(diǎn)組的選取問(wèn)題本文給出下列構(gòu)造方法．

定理2(多元插值函數(shù)適定結(jié)點(diǎn)組構(gòu)造方法)若q1,…,qk是Pn的適定結(jié)點(diǎn)組,且它們的每個(gè)點(diǎn)都不在某條l次(l=1或2)不可約代數(shù)曲線q(x,y)=0上.則將在該曲線上任取的(n+3)l-1個(gè)不同點(diǎn)與q1,…,qk放在一起,必構(gòu)成空間Pn+l的一個(gè)適定結(jié)點(diǎn)組．

3 適定結(jié)點(diǎn)組的構(gòu)造方法

利用定理2可以構(gòu)造出一系列的適定結(jié)點(diǎn)組,例如有以下構(gòu)造Pn的適定結(jié)點(diǎn)組的幾個(gè)方法:

3.1 直線型結(jié)點(diǎn)組

第0步:在R2上任取一點(diǎn)Q1作為結(jié)點(diǎn)，

第1步:在R2上任做一條直線l1不通過(guò)點(diǎn)Q1,在其上任取兩個(gè)互不相同的點(diǎn)作為新增加的結(jié)點(diǎn)，

………………….

第n步:在R2上任做一條直線ln不同過(guò)前面已經(jīng)選好的點(diǎn),在其上任取n+1個(gè)互不相同的點(diǎn)作為新增加的結(jié)點(diǎn)，

圖1 添加直線法

圖2 添加圓錐曲線法

當(dāng)n步完成時(shí)所得到的的結(jié)點(diǎn)組記為T(mén)n,并稱它為直線型結(jié)點(diǎn)組.根據(jù)定理2顯然Tn是Pn的適定結(jié)點(diǎn)組．(例如圖1的取法)

3.2 弧線型結(jié)點(diǎn)組

第0步:在R2上任取一點(diǎn)Q1作為結(jié)點(diǎn)，

第1步:在R2上任做一條二次不可約曲線l1(可以是橢圓、雙曲線或拋物線)不通過(guò)點(diǎn)Q1,在其上任選5個(gè)互不相同的點(diǎn)作為新增加的結(jié)點(diǎn)，

……………….

第n步:在R2上再做一條二次不可約曲線ln不通過(guò)前面已經(jīng)選好的點(diǎn),在其上任選4n+1個(gè)互不相同的點(diǎn)作為新增加的結(jié)點(diǎn)，

當(dāng)n步完成時(shí)所得到的的結(jié)點(diǎn)組記為H2n,稱為2n次弧線型結(jié)點(diǎn)組． (例如圖2的取法)

定理3H2n是P2n的適定結(jié)點(diǎn)組．

證明顯然,H2n是P2n的插值結(jié)點(diǎn)組.下面只需要證H2n的適定性.用數(shù)學(xué)歸納法.當(dāng)n=0時(shí)命題顯然為真.現(xiàn)在假設(shè)命題對(duì)n=k為真,來(lái)證對(duì)n=k+1也為真.用反證法,假若不然,則根據(jù)引理2,H2(k+1)必在P2(k+1)中的某條代數(shù)曲線

P(x,y)=c00+c10x+c01y+…+c2(k+1)0x2(k+1)

+…+c02(k+1)y2(k+1)=0

設(shè)Ik+1的方程是:

Q(x,y)=α00+α10x+α01y+α11xy+

α20x2+a02y2=0

由于它是一條二次曲線,故其二次項(xiàng)系數(shù)不全為0,并且如果它不是P(x,y)=0的分量,則根據(jù)Bezout定理,它至多和P(x,y)交于4(k+1)個(gè)點(diǎn),但是按照我們的選點(diǎn)規(guī)則,lk+1包含4(k+1)個(gè)H2(k+1)中的點(diǎn),也就是說(shuō),它與P(x,y)=0有4(k+1)個(gè)交點(diǎn)，這就發(fā)生了矛盾．因此lk+1一定是P(x,y)=0的分量,從而有分解式:P(x,y)=Q(x,y)P1(x,y)其中P1(x,y)是2k次多項(xiàng)式.由選點(diǎn)規(guī)則知,lk+1不通過(guò)第k+1步以前所選取的點(diǎn),因此P1(x,y)=0通過(guò)結(jié)點(diǎn)組H2k,由引理2,此處的H2n在P2k中不適定,矛盾.故此，該命題得證．

圖3 例一的示意圖(一次插值)

圖4 例一的示意圖(二次插值)

圖5 例一的示意圖(三次插值)

推論1以一點(diǎn)O為圓心做n個(gè)不同的同心圓周,在每個(gè)圓周上分別取5,9,13,…,4n+1個(gè)不同的點(diǎn),則這些點(diǎn)和點(diǎn)O就作定了P2n中的一個(gè)適定結(jié)點(diǎn)組．另外添加直線法和添加弧線法可交替使用．一般地,若已知Pn的一個(gè)適定結(jié)點(diǎn)組Tn,則在不通過(guò)Tn的任何一條i次(i=1或2)曲線上再取2(n+1)個(gè)點(diǎn),便可構(gòu)成Pn+1的適定結(jié)點(diǎn)組Tn+1．

注記1[8-9].以上給出的構(gòu)造多元函數(shù)插值適定結(jié)點(diǎn)組的方法是與要插值的函數(shù)無(wú)關(guān)的；也就是說(shuō)只要在實(shí)際科研生產(chǎn)中給定了要插值的函數(shù)，按照我們給出的構(gòu)造插值結(jié)點(diǎn)組的方法，就一定能夠構(gòu)造出唯一的插值多項(xiàng)式來(lái)，通常，只要插值的函數(shù)不同，所構(gòu)造出的插值多項(xiàng)式函數(shù)也會(huì)不同．

4 多元多項(xiàng)式插值示例

用二元二次多項(xiàng)式函數(shù)做插值函數(shù):

用二元三次多項(xiàng)式函數(shù)做插值函數(shù):

5 用MATLAB來(lái)實(shí)現(xiàn)多項(xiàng)式插值

圖6 被插值函數(shù)圖像

圖7 一次插值函數(shù)圖象與被插值函數(shù)圖像

圖8 二次插值函數(shù)圖象與被插值函數(shù)圖像

圖9 三次插值函數(shù)圖象與被插值函數(shù)圖像

由以上圖像我們可以看出:隨著插值次數(shù)的增加插值效果越來(lái)越好,插值多項(xiàng)式的圖像越來(lái)越貼近原函數(shù)圖像[10]．

[1]王仁宏.數(shù)值逼近[M].北京：高等教育出版社,2005.

[2]梁學(xué)章，李 強(qiáng).多元逼近[M].北京：國(guó)防工業(yè)出版社，2005.

[3]David Kincaid、Ward Cheney著,王國(guó)榮 余耀明 徐兆亮譯,數(shù)值分析[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2005.

[4]崔利宏,姜志敏.關(guān)于多元分次插值結(jié)點(diǎn)組適定性問(wèn)題的研究[J].延邊大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2008.

[5]梁學(xué)章.二元插值的適定結(jié)點(diǎn)組與迭加插值法[J].吉林大學(xué)學(xué)報(bào)理學(xué)版,1979:20～24.

[6]張德峰.MATLAB數(shù)值分析第二版[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2010年.

[7]張德峰編著.MATLAB數(shù)值分析與應(yīng)用[M].北京：國(guó)防工業(yè)出版社,2007年.

[8]崔利宏，李緯國(guó)，張志輝，楊一濃.H基與二元Lagrange 插值[J]. 吉林師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2013，34(2)：22～26.

[9]崔利宏等.關(guān)于多元分次插值唯一可解問(wèn)題的研究[J].吉林師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2010，31(3):4～6.

[10]王晶昕等.橢圓曲線的帶調(diào)節(jié)參數(shù)的Bezier曲線逼近[J].吉林師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2011, 32(1):137～139.