指數(shù)有界的廣義算子半群逼近問題

陳 藏,王 劍

(華北科技學(xué)院教務(wù)處,北京 東燕郊 101601)

0 引言

自1942年,為了解決偏微分方程的初值問題,以E.Hille與K.Yosida為代表的一些數(shù)學(xué)家提出了Banach空間上強連續(xù)半群理論.此后,算子半群理論得到了不斷的充實與發(fā)展.根據(jù)不同應(yīng)用背景,C半群、積分半群等理論不斷被提出[1-5],在解決偏微分方程領(lǐng)域起著非常重要的作用.分布參數(shù)控制系統(tǒng),現(xiàn)代航天技術(shù)等工程領(lǐng)域中引人注目的問題的數(shù)學(xué)模型均為其有力的背景。

廣義分布參數(shù)系統(tǒng),即對時間的偏導(dǎo)數(shù)項的系數(shù)算子不一定可逆的系統(tǒng),是由廣義偏微分方程、廣義積分方程或無限維空間中廣義抽象微分方程所描述的系統(tǒng)的總稱.由于其具有強有力的物理背景,如復(fù)合材料的溫度分布問題、電磁耦合超導(dǎo)線路中的電壓分布問題等,近年來得到了廣泛的研究[6-10].文獻[6]研究了下面的齊次與非齊次的廣義分布系統(tǒng)

求解問題,其中E是有界線性算子,A為線性閉算子.通過研究發(fā)現(xiàn)上面的問題要想通過Laplace變換和卷積公式進行計算存在困難,由此提出了廣義預(yù)解式和廣義算子半群的概念,從而為研究上述廣義系統(tǒng)的適定性提供了新的方法.該文,推導(dǎo)出指數(shù)有界的廣義算子半群的Laplace逆變換的形式,并在預(yù)解式滿足一定的條件時給出了指數(shù)有界的廣義算子半群的留數(shù)型逼近公式.

1 定義及引理

定義1[6]設(shè)E是Banach空間上的有界線性算子,A是閉線性算子,稱ρ(E,A)={λ:λ∈C,(λE-A)-1是Banach空間上的線性算子}為算子A的廣義預(yù)解集,ρ(E,A)的余集稱為A的E廣義譜集,記為σ(E,A).對λ∈ρ(E,A),稱R(λE,A)=(λE-A)-1為A的E廣義預(yù)解式.

定義2[6]設(shè)X是Banach空間,B(X)是X上的有界線性算子全體,設(shè)單參數(shù)算子{T(t)}t≥0∈B(X),E是一個有界線性算子,若T(t+s)=T(t)ET(s),?t,s≥0,則稱{T(t)}t≥0是由E引導(dǎo)的廣義算子半群,簡稱廣義算子半群.

定義3[6]設(shè)A是X中的閉稠定線性算子,{T(t)}t≥0是強連續(xù)有界線性算子,且存在M>0,ω0∈R,使得‖T(t)‖≤Meω0t成立,E是一個有界線性算子,若下面的式子成立:

此時{T(t)}t≥0稱為由E引導(dǎo)的以A為生成元的指數(shù)有界的廣義算子半群.

引理1[6]若{T(t)}t≥0稱為由E引導(dǎo)的以A為生成元的指數(shù)有界的廣義算子半群,則下面的結(jié)論成立:

(i)T(t)T(s)=T(s)T(t),?s,t≥0;

2 Laplace逆變換

3 廣義算子半群的留數(shù)型逼近

(1)

其中Ti(t)Ex=Resλ=λieλtR(λE,A)Ex,i=1,2，…,這里Reλm+1<β10.

其中Ti(t)Ex=Reλ=λieλtR(λE,A)Ex,另一方面,

(2)

其中B(x)是與λ無關(guān)僅x與有關(guān)的常數(shù),先令λ=μ+iτ,則

故當(dāng)τ→∞時有

(3)

同理當(dāng)τ→∞時有

(4)

(5)

將(5)帶入到(1)中即可完成證明.

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