近似擬不變凸集值優(yōu)化問題的嚴有效性

謝雪軍

(宜春學院 數(shù)學與計算機科學學院，江西 宜春 336000)

在集值優(yōu)化問題的研究中，充分條件的給出往往少不了凸性的假設，因此，不少學者相繼提出了很多種廣義凸性，并討論了在各種廣義凸性下有效解的最優(yōu)性條件［1－5］。文獻［5］引進了近似擬不變凸的概念，討論了其與擬不變凸之間的關系，同時建立在近似擬不變凸假設下集值優(yōu)化問題弱有效元的最優(yōu)性條件。本文主要利用廣義切上圖導數(shù)建立集值優(yōu)化問題嚴有效元的必要條件，并在近似擬不變凸假設下得到集值優(yōu)化問題嚴有效元的充分條件。

1 基本概念

注1.1［6］(1.1)式等價刻畫為

2 最優(yōu)性條件

考慮集值優(yōu)化問題(P):minF(x)s. t. x ∈S。

其中minM 表示集合M 的有效點集。則對任意的(x，y)∈graphF，有

其中G(η(x，x0)):=

由廣義切上圖導數(shù)定義知

于是存在λn→+ ∞，(xn，yn)∈epiF，使得(xn，yn)→(x0，y0)且

由(2.5)式得

此與已知條件(x0，y0)是問題(P)的嚴有效元矛盾，于是(2.4)式成立。

則(x0，y0)是問題(P)的嚴有效元。

證:由(2.7)式有

結合(2.8)式和(2.3)式可得

類似文獻［9］中定理2.2 的證明過程可知

故(x0，y0)是(P)的嚴有效元。

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