寬巷組合及軌跡約束下的列車在軌動態(tài)單歷元定位算法

王德軍，熊永良，劉 寧，徐韶光

1.西南交通大學 測量工程系，四川 成都610031；2.河北工業(yè)大學 土木學院 測繪工程系，天津300401；3.河北省土木工程技術研究中心，天津300401

1 引 言

GPS動態(tài)定位時，周跳探測是一個比較棘手而又易出錯的環(huán)節(jié)，解決該問題的一個途徑是單歷元定位。單歷元定位僅根據當前一個歷元的數據實現(xiàn)定位，無需考慮周跳問題［1］。單歷元動態(tài)定位時，為了獲得可靠的模糊度真值，需要附加較強的約束或先驗條件。文獻［2—7］將單歷元算法用于建筑物變形監(jiān)測中；在姿態(tài)定位中單歷元算法也有著廣泛應用［8－12］；文獻［13—14］通過運動過程中的運動軌跡約束或基線長度約束，實現(xiàn)單歷元動態(tài)定位；文獻［15］通過兩步搜索法實現(xiàn)單歷元定位。約束條件的使用有兩種方式［13］：一種是將此約束條件與雙差觀測方程一起解算，達到改善模糊度浮點解的效果，其后用LAMBDA方法可以更快地固定模糊度；另外一種是先不考慮約束條件，將偽距和相位一起形成雙差方程，按常規(guī)方法解算整周模糊度，再進行約束檢驗，如果不滿足條件，則選用殘差平方和次小的一組解為最優(yōu)解，再進行約束檢驗，直到滿足條件為止。

本文針對列車沿固定線路運行的特點，提出附加軌跡約束的寬巷模糊度分解算法。當GPS接收機沿線路中線運動時，其運動軌跡分別受平面線型和豎向兩方面的約束，加入此約束條件后有望提高模糊度分解的成功率。約束條件可根據接收機當前里程和線路模型來構成。通過偽距差分的概略位置，判斷接收機所處的大致里程，調出該里程處的線路平面線形和豎向線形設計數據，形成三維空間直線約束條件。在只有平面設計數據時，形成空間平面約束條件，然后按照第一種約束條件的使用方法首先進行寬巷模糊度固定，寬巷模糊度成功固定后，利用寬巷模糊度和約束條件，分別固定L1、L2模糊度，最終實現(xiàn)單歷元定位。

2 線路約束條件下的模糊度解算數學模型

2.1 線路計算模型

2.1.1 由里程計算中樁坐標及高程

鐵路中線平面由直線、圓曲線和緩和曲線組成，稱這三種線形為曲線元，直線曲率半徑為無窮大，緩和曲線曲率半徑在無窮大與圓曲線半徑之間變化。曲線元上某一點的坐標，可由該曲線元的起點里程、終點里程、起點曲率半徑、終點曲率半徑、起點切線方位角、起點坐標、曲線的偏向計算得到［16］。

線路豎向為坡度線和連接相鄰坡度線的圓曲線組成。任意一點的高程可以里程為索引，根據變坡點高程、坡度值、圓曲線半徑計算得到。

2.1.2 由坐標計算里程

如圖1所示，設A為線路中線附近的一點；QD為線路起點；QD的里程為DKQD，A點到QD點的水平距離為DQD－A，則A點的近似里程為DK0＝DKQD＋DQD－A。設過DK0的法線為DK0－B，A到該法線的距離為DA－B，則A點里程的進一步趨近值為DK1＝DK0＋DA－B。重復前面步驟，直至A至某一里程處的法線距離小于某一閾值為止（可取為0.1mm）。

圖1 由坐標計算里程Fig.1 Calculating the mileage using the coordinates

2.2 約束條件的建立

線路坐標系下的坐標一般為在測區(qū)中央子午線及平均高程面下的高斯平面坐標，約束條件的建立涉及與 WGS－84坐標相互轉換的問題。坐標轉換有平面轉換模型和空間轉換模型兩種方式。平面轉換模型適合測區(qū)范圍較小的地方，空間轉換模型適用于大范圍GPS測量?？紤]到線路為很長的線狀工程，本文采用空間轉換七參數模型，可通過3個公共點得到轉換七參數。需要說明的是在計算七參數時可以用正常高來替代大地高［17］。

由于曲線約束條件的建立較為復雜，本文用直線約束條件近似代替曲線約束條件。因為當平面圓曲線半徑為2000m，豎向圓曲線半徑為5000m時，用2m長的直線段來替代曲線，兩者最大偏差不超過1mm，因此用較短的直線段來替代曲線不光形式簡單，精度也是可以保證的。

當接收機沿鐵路中線運動時，如圖2所示。設R為偽距差分定位的點位，其在WGS－84坐標系下的坐標為（XR，YR，ZR）WGS－84，其點位精度在1m左右。設其在線路中線上精確位置為T點，則線路約束方程可按以下步驟建立：

（1）將（XR，YR，ZR）WGS－84經七參數轉換得到線路坐標系對應橢球下的空間直角坐標（XR，YR，ZR）road。

（2）由（XR，YR，ZR）road計算大地坐標（BR，LR，HR）road。

（3）將（BR，LR）road經高斯投影得到高斯平面直角坐標（xR，yR）road。

（4）由（xR，yR）road計算出其對應的中樁里程DKR，具體計算公式參見文獻［16］。將DKR分別加減1m得到兩個新的里程，其對應的點分別為QD、ZD，根據這兩個里程及線路設計數據計算出其在線路坐標系下的坐標分別為（xQD，yQD，HQD）、（xZD，yZD，HZD）。

（5）將（xQD，yQD，HQD）、（xZD，yZD，HZD）按高斯投影反算轉換為大地坐標（BQD，LQD，HQD）road、（BZD，LZD，HZD）road。

（6）將（BQD，LQD，HQD）road、（BZD，LZD，HZD）road轉 換 為 空 間 直 角 坐 標（XQD，YQD，ZQD）road、（XZD，YZD，ZZD）road。

（7）根 據 7 個 轉 換 參 數 將（XQD，YQD，ZQD）road、（XZD，YZD，ZZD）road轉換為 WGS－84坐標系下的三維空間直角坐標：（XQD，YQD，ZQD）WGS－84、（XZD，YZD，ZZD）WGS－84，對應的直線方程為

式中

代入X的近似坐標后得

圖2 空間直線約束條件的建立Fig.2 Establishment of spatial linear constraint

在只考慮線路平面線形的情況下，可建立二維平面約束。此時可將QD、ZD兩點的大地高取為（HR）road＋0.1m，重新計算其三維空間直角坐標，這樣QD、ZD、DKR3點不在一條直線上，可以得到唯一的空間約束平面。

2.3 軌跡約束下的寬巷模糊度解算

僅根據一個歷元的相位觀測數據，法方程秩虧數為3，無法解算未知數。將偽距差分平差后的未知數平差值作為一組權為PX1的虛擬觀測值，并用VX1表示其改正數，與2.2或2.3節(jié)中的約束條件、寬巷雙差相位觀測方程一起構成如下數學模型

通過上述法方程解算寬巷模糊度的浮點解，并提取其方差－協(xié)方差陣，用LAMBDA方法固定寬巷模糊度。由于附加約束后，模糊度的浮點解及其方差陣得到改善，有利于提高模糊度分解的成功率。

2.4 軌跡約束下的L1、L2模糊度解算

在寬巷模糊度固定后，在列L1、L2觀測值的誤差方程時，根據NW＝NL1－NL2，將誤差方程表達為只含有L1模糊度NL1的形式。結合約束條件，得到如下數學模型

用LAMBDA方法將L1模糊度固定后，回代到誤差方程中，重新組成法方程，得到最終坐標。

3 算例分析

試驗在河北工業(yè)大學新校區(qū)進行，接收機為合眾思壯E660，基站安置在土木學院樓門前，流動站被安置在汽車上沿學校內部主干道以40km／h運行，采樣間隔為0.2s。為了檢驗寬巷組合和軌跡約束對模糊度固定的有效性，選取一段比較平順的軌跡進行解算，共315個歷元。為突出顯示軌跡的變化，圖3中將基站的x坐標向北平移了500m，基線長度在566.477～677.813m之間。利用LGO解算軟件，在中央子午線117°03′01″，投影高程面1.3m 的設置下，得到高斯平面坐標系下的坐標，用直線和圓曲線以及平面分別來擬合這段軌跡，構造約束條件。分別按照以下6種方案解算：

方案1：直接采用L1、L2雙差觀測數據按照阻尼LAMBDA方法解算。

方案2：L1、L2雙差觀測數據結合平面約束的方法解算模糊度。

方案3：L1、L2雙差觀測數據結合空間直線約束的方法解算模糊度。

方案4：先寬巷組合按照阻尼LAMBDA方法解算，再固定L1、L2模糊度解算。

方案5：先寬巷組合結合平面約束的方法固定寬巷模糊度；L1、L2雙差觀測數據結合平面約束固定L1、L2雙差模糊度。

方案6：先寬巷組合結合空間直線約束的方法固定寬巷模糊度；L1、L2雙差觀測數據結合空間直線約束固定L1、L2雙差模糊度。

圖3 汽車運行軌跡Fig.3 The car’s track

上述6種方案采用不同的初始坐標計算方法，方案1直接采用偽距差分獲取，其基線殘差平均為41.6cm；方案2、3采用約束下的偽距差分，分別采用了直線約束和平面約束，其基線殘差平均為34.3cm及13.5cm；方案4采用寬巷組合獲得近似坐標，其基線殘差平均為3.1cm；方案5、6采用約束下的寬巷組合獲得，分別采用了直線約束和平面約束，其基線殘差平均為3.8cm及3.0cm。由于寬巷組合本身定位精度較高，本試驗約束條件強度較弱，對坐標精度改善有限，所以方案4、5、6的浮點解精度基本一致。

在該觀測時段內，高度角在15°以上的衛(wèi)星共有8顆，以高度角最大的24號衛(wèi)星為參考衛(wèi)星，L1、L2分別有7個雙差模糊度。現(xiàn)以20號衛(wèi)星為例，在第116歷元接收機未能記錄該衛(wèi)星的數據，在其余314個歷元中，用LGO解算的坐標反算其雙差模糊度為5，由6種方案計算的L1模糊度浮點解如圖4所示。由圖4可知，方法1計算的模糊度浮點解精度最差，偏離模糊度正確值的最大值接近4.4周；方法6偏差最小，最大偏差為0.4周。這說明，通過寬巷組合結合線路約束條件，初始坐標精度得到改善，模糊度浮點解的精度也得到了提高。其他6顆衛(wèi)星的雙差模糊度浮點解也有類似情形。用LGO解算的坐標反算7顆衛(wèi)星的雙差模糊度，與正確值的差值如圖5所示，在第117至172歷元之間偏差較大，這主要是由于在此期間道路旁高層建筑物的遮擋，導致觀測數據質量較差。

將LGO解算的結果視為真值，將這6種方案解算的坐標與真值求差，得到的真誤差如圖7所示，方案1、2、4、5中出現(xiàn)的異常是模糊度解算失敗所導致的。由圖7可以看出，從方案1到方案3，從無約束到引入平面約束，再到引入空間直線約束，由于模糊度浮點解得到改善，模糊度分解的成功率得到了提高，方案4到方案6也有類似的情形；方案1和方案4相比，成功率略有下降，這說明即使初始坐標較為精確，但由于多余觀測較少、觀測質量較差，利用LAMBDA方法得到的最優(yōu)和次優(yōu)模糊度難以區(qū)分。方案2和方案5、方案3和方案6解算成功率一致，方案3和方案6模糊度解算全部成功，這兩種解算方案的Ratio如圖6所示。由圖6可見，方案6的Ratio值得到了提高。

以上分析表明第6種方案最優(yōu)，主要有3個原因：①寬巷模糊度固定后，未知數個數減少，只需固定L1的模糊度及坐標改正數，等價于多余觀測數增加，改善了法方程的狀態(tài)；②以寬巷模糊度固定后解算的坐標作為坐標初始值，其精度較高，提高了L1模糊度浮點解的精度；③約束條件的加入，進一步改善了法方程的條件數，模糊度可區(qū)分性得到進一步提高。

模糊度固定后，將其作為已知值代入誤差方程，去掉附加的軌跡約束條件，重新解算出坐標未知數。由于這6種方案只是在固定模糊度的方法上不同，在模糊度固定后，坐標解算都是只采用載波相位觀測數據，如果模糊度解算成功，6種方案的坐標也是相同的。計算結果表明X方向的偏差在5mm左右，Y和Z方向偏差在9mm左右，在117到120的4個歷元，出現(xiàn)較大偏差，這主要是由于在此期間20號衛(wèi)星在接收到的8顆衛(wèi)星中高度角最小，其觀測數據質量較差，影響了定位精度，這可以從圖5中看出，用LGO反算模糊度與正確值偏差達0.4周。

需要說明的是，以上的分析結果，是在構造約束條件時，共用17段直線、圓曲線來擬合軌跡，軌跡點偏離擬合線形的平均值是2.9cm，最大值為7.7cm，當用17個平面來擬合軌跡時，軌跡點偏離平面的距離平均值是2.3cm，最大值為6.5cm的情況下得到的。為了檢驗不同約束強度對解算結果的影響，采用12段直線、圓曲線來擬合，距離偏差的平均值是4.6cm，最大值為11.5cm，當用12個平面來擬合軌跡時，距離偏差平均值是3.9cm，最大值為11.0cm。再次進行解算，兩種不同約束強度下的解算成功率如表1所示。從表中可以看出，隨著約束強度的減弱，4種約束方案的解算成功率出現(xiàn)了下降，但方案6仍然保持著很高的成功率。

圖4 L1模糊度浮點解（PRN24－20）Fig.4 Float ambiguity of L1（PRN24－20）

圖5 LGO反算模糊度浮點解與真值之差Fig.5 The difference between float Ambiguity resolved by LGO and the true value

圖6 方案3與方案6的ratio值比較Fig.6 The ratios comparison of scheme 3and scheme 6

圖7 6種方案坐標真誤差Fig.7 The true error of coordinates about six methods

表1 不同約束強度下的6種方案計算結果表Tab.1 Results of six methods using different constraints intensity

4 結 論

（1）根據線路的設計數據、利用較短的直線段逐段地替代圓曲線和緩和曲線，動態(tài)地構建軌跡約束條件，計算簡便，精度可靠?？臻g直線約束屬于三維約束，其強度高于二維平面約束，但即使附加二維平面軌跡約束后，近似坐標的精度也得到顯著改善，模糊度的可區(qū)分性得到了提高。

（2）即使在沒有約束條件的動態(tài)單歷元情況下，寬巷模糊度固定后解算的坐標其精度較高，采用方案4（先寬巷組合按照阻尼LAMBDA方法解算，再固定L1、L2模糊度解算）能獲得很高的解算成功率，比方案1（直接采用L1、L2雙差觀測數據按照阻尼LAMBDA方法解算）的模糊度可區(qū)分性要好。

（3）在短基線情況下，多路徑誤差和觀測噪聲成為制約單歷元精度的主要因素，如何削弱動態(tài)環(huán)境下的多路徑誤差是下一步將要研究的問題。

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