應(yīng)用型本科院校高等數(shù)學(xué)教材改革的思路和建議

韓慧蓉，張惠玲

(西安航空學(xué)院 理學(xué)院，陜西 西安710077)

1 研究現(xiàn)狀

20世紀(jì)90年代，由于國民經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展、經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)的調(diào)整以及社會需求的變化，一大批應(yīng)用型本科院校應(yīng)運(yùn)而生，到目前為止，數(shù)量已多達(dá)本科院校的三分之一，成為我國高校建設(shè)中一支不可或缺的力量。

然而，由于應(yīng)用型本科院校在我國的發(fā)展歷史還相對較短，教材的編寫又是一件費(fèi)時(shí)費(fèi)力、十分繁雜的工作，對編寫者的要求較高，不僅要熟悉應(yīng)用型本科院校的辦學(xué)模式和人才培養(yǎng)定位，還要熟悉教材內(nèi)容、高瞻遠(yuǎn)矚，更要了解學(xué)生的特點(diǎn)，否則很難編寫出針對性較強(qiáng)的教材，所以盡管已發(fā)行的高等數(shù)學(xué)的教材從種類到數(shù)量十分龐大，但是我們很難尋覓到一部較為權(quán)威的、普遍適用于應(yīng)用型本科院校的、特色鮮明的教材。

2 教材建設(shè)的思路

2.1 與高中數(shù)學(xué)合理銜接

近年來，高中數(shù)學(xué)課改的幅度是比較大的，從教學(xué)理念、教學(xué)內(nèi)容到教學(xué)方法都有比較大的變化。數(shù)學(xué)教學(xué)從傳授知識的傳統(tǒng)模式轉(zhuǎn)變到以激勵學(xué)習(xí)為特征的、以學(xué)生為中心的實(shí)踐模式。教學(xué)內(nèi)容上刪去了排列組合、復(fù)數(shù)、極坐標(biāo)等內(nèi)容，三角函數(shù)內(nèi)容也有較大削減，同時(shí)增加了計(jì)算方法、統(tǒng)計(jì)學(xué)、概率學(xué)的初步知識等[1]。而大學(xué)數(shù)學(xué)相對于高中數(shù)學(xué)，改革的步伐滯后了許多[2]。教學(xué)理念上還相對陳舊，許多現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想沒有得到體現(xiàn)；教學(xué)內(nèi)容上變化不大，特別是對高中數(shù)學(xué)的變化反應(yīng)遲鈍，導(dǎo)致大學(xué)數(shù)學(xué)與高中數(shù)學(xué)教材內(nèi)容脫節(jié)，教師不得不補(bǔ)充一些相關(guān)知識才能使教學(xué)內(nèi)容銜接起來，降低了大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的效果。

高等數(shù)學(xué)教材是高中生升入大學(xué)的第一本大學(xué)數(shù)學(xué)教材，應(yīng)結(jié)合中學(xué)數(shù)學(xué)課改的情況，從教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)思想上與高中數(shù)學(xué)合理銜接，充分考慮到科技進(jìn)步與社會發(fā)展對大學(xué)數(shù)學(xué)提出的新要求，才能使學(xué)生更好地適應(yīng)大學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)。

2.2 增強(qiáng)教材的可讀性

高等數(shù)學(xué)課程在實(shí)行教學(xué)改革之前，其教學(xué)內(nèi)容和課程體系基本上來源于五十年代初的前蘇聯(lián)。長期以來，受蘇聯(lián)教材影響，我們的數(shù)學(xué)教材過于注重理論嚴(yán)謹(jǐn)和條理清晰[3]，很多計(jì)算和證明以最完美的結(jié)果呈現(xiàn)出來，至于這個結(jié)果的思維過程，學(xué)生往往是看不到的，這就使得教材顯得過于生硬，嚴(yán)肅有余而活潑不足。學(xué)生自學(xué)課本往往感到看不懂，不愛看，問題多。

增強(qiáng)教材的可讀性主要應(yīng)從以下幾個方面入手：

2.2.1 語言的可讀性

在這點(diǎn)上，國外一些教材做出了有益的嘗試，也取得了不錯的效果[4-6]。美國的微積分教材一般采用與讀者直接交談式的講解，語言親切，講解詳細(xì)明白，富有啟發(fā)性，別具特色。例如，James Stewart所著微積分教材中經(jīng)常會出現(xiàn)這樣的語言：“我們猜想……但是這一次我們的猜測是錯誤的”，“這個定理看上去令人驚訝”等[7]。由著名數(shù)學(xué)家、美國麻省理工學(xué)院教授Gilbert Strang所著的《微積分》一書在講解時(shí)，摒棄了那種“定義—定理—證明—例題—應(yīng)用”的枯燥無味的講解模式[8]，用口語化、課堂講授式、提問式的語言啟發(fā)讀者一步一步去思考和理解，激發(fā)了學(xué)生進(jìn)一步求知的欲望，值得我們借鑒。

2.2.2 圖文并茂、直觀形象

講解定理、例題或概念時(shí)，盡量配以精確精美的幾何圖形，可以使學(xué)生在學(xué)習(xí)抽象的知識時(shí)先有一個感性的認(rèn)識。這樣做符合學(xué)生的認(rèn)知過程，還能極大地增強(qiáng)教材的可讀性和趣味性，增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

2.2.3 不追求過分的系統(tǒng)性

國內(nèi)教材由于主要脫胎于前蘇聯(lián)的相關(guān)教材，一般比較注重理論體系的完整和推理過程的嚴(yán)密。結(jié)構(gòu)上環(huán)環(huán)相扣，從預(yù)備知識到概念引入，然后到性質(zhì)定理和例題等。這樣做的好處是邏輯性強(qiáng)，十分嚴(yán)謹(jǐn)。但是很多有用的知識無法插入，如歐拉公式。很多知識的自然背景和思考過程是看不到的，直接呈現(xiàn)在課本上的就是抽象的概念、公式或結(jié)論，學(xué)生的學(xué)習(xí)過程往往是被動的。一般學(xué)生只能囫圇吞棗，少數(shù)優(yōu)秀的學(xué)生學(xué)到后來才恍然大悟。

新加坡李秉彝教授編寫的微積分教材中許多重要的公式都以應(yīng)用的方式出現(xiàn)[8]，采用由淺入深、由直觀到抽象、循環(huán)反復(fù)、層層深入的原則, 以完全新穎科學(xué)的方法安排了微積分中重要內(nèi)容的出場順序，雖然系統(tǒng)性差些，但學(xué)生學(xué)起來有興趣且容易掌握。

2.3 增加實(shí)用性，選用新穎有趣的實(shí)例

如何解釋雨后彩虹的形成和它的位置？如何計(jì)算水壩所承受的壓力？怎樣分析生態(tài)系統(tǒng)中捕食者與被捕食者數(shù)量的周期性變化？怎樣推算火箭的逃逸速度？......高等數(shù)學(xué)的應(yīng)用問題數(shù)量眾多[9]，非常有趣，在物理、幾何、建筑、金融、醫(yī)學(xué)、軍事等各個方面隨處可見。但我們的教材只是在導(dǎo)數(shù)應(yīng)用和定積分的應(yīng)用部分有少量涉及，很少觸及其他領(lǐng)域。而且這些問題多年不變，缺少時(shí)代氣息，與時(shí)俱進(jìn)的少，解題過程往往比較抽象、枯燥、難以下手。教師也因?yàn)檫@些內(nèi)容難教因而將應(yīng)用簡化壓縮，考試題目中也往往不涉及，從而讓學(xué)生感覺不到解決實(shí)際問題的樂趣和數(shù)學(xué)的實(shí)用價(jià)值，學(xué)了不會用，甚至有的認(rèn)為數(shù)學(xué)無用。所以如果我們在教材中增加一些與實(shí)際聯(lián)系緊密的應(yīng)用問題，既能還數(shù)學(xué)來源于生活和實(shí)際的本來面貌，又能培養(yǎng)學(xué)生將數(shù)學(xué)知識應(yīng)用于日常生活、工程技術(shù)、社會實(shí)踐的能力，成為培養(yǎng)創(chuàng)新型人才的一條重要途徑。

2.4 重視數(shù)學(xué)思想，降低證明和計(jì)算技巧性難度

2.4.1 降低概念講解和證明的難度

大學(xué)一年級學(xué)生接觸到的第一個最基本的概念是極限，如何處理極限的ε-δ定義在教學(xué)中是一個困難的問題。國內(nèi)很多教材認(rèn)為ε-δ能使學(xué)生對極限的概念有精確、深刻的認(rèn)識，但是用ε-δ定義去證明很多結(jié)論卻增加了教材的難度。而有些教材為降低理解難度，僅用“無限趨近”等來描述極限，因此余下許多有關(guān)的極限定理只好回避ε-δ，使得學(xué)生對極限概念的理解比較膚淺。

龔昇教授所著《簡明微積分》中對極限的概念是分兩步驟[10]，第一章引入極限的概念僅用“無限趨近”，“無論預(yù)先給定怎樣小的正數(shù)”，“差的絕對值總小于預(yù)先給定的正數(shù)”等描述性語言，對極限的性質(zhì)一律不講，接著學(xué)習(xí)連續(xù)、定積分、導(dǎo)數(shù)的概念，然后講微積分的運(yùn)算與應(yīng)用，直到第九章才引入ε-δ語言[10]，介紹數(shù)列極限和函數(shù)極限的定義和性質(zhì)。這樣做的好處是，避免學(xué)生一開始就陷入對ε-δ語言的理解的困難中，也不影響后續(xù)概念的理解，在一定的數(shù)學(xué)素養(yǎng)的基礎(chǔ)上再介紹ε-δ語言，符合先易后難、循序漸進(jìn)的認(rèn)知規(guī)律。

一些定理或結(jié)論的證明可以適當(dāng)降低難度，很直觀的結(jié)果可以不證，比較復(fù)雜的證明可以通過對簡單情況的證明加以說明即可[7]。數(shù)學(xué)本原問題是處理數(shù)學(xué)教學(xué)的靈魂，對于應(yīng)用型本科的學(xué)生來說，重在對數(shù)學(xué)思想的理解和把握。蕭樹鐵先生在一份《高等數(shù)學(xué)》教學(xué)改革報(bào)告中要求：“講推理，更要講道理?！苯x先生說：“在某種意義上說，會用微積分比會證明更重要?！?/p>

2.4.2 降低計(jì)算難度

目前，高等數(shù)學(xué)普遍存在著內(nèi)容豐富與課時(shí)不斷減少的矛盾，存在著要增加近代數(shù)學(xué)知識與實(shí)際有用的問題擠占經(jīng)典理論知識課時(shí)的矛盾。教師總是在抱怨課時(shí)不夠，而我們的學(xué)生把大量時(shí)間花費(fèi)在學(xué)習(xí)一些無用的計(jì)算技巧上，像很多積分技巧，一般一個普通的工科專業(yè)的學(xué)生幾乎不會用到，即便是偶然用到，也已經(jīng)有成熟的數(shù)學(xué)軟件了。

新加坡李秉彝教授編寫的微積分講解羅比達(dá)法則求極限時(shí)[8]，僅給出0/0型，∞/∞型，0·∞型，∞-∞型的五個例子，其余類型和各種演算技巧都不講；介紹積分方法時(shí)，僅介紹定積分的計(jì)算，不定積分的計(jì)算一帶而過。國內(nèi)教材中，龔昇教授所著《簡明微積分》和西安交通大學(xué)馬知恩、王綿森教授所著《高等數(shù)學(xué)簡明教程》也對積分運(yùn)算做了大量縮減[11]，體現(xiàn)了僅了解數(shù)學(xué)思想，計(jì)算技巧點(diǎn)到為止的教學(xué)理念。這給我們有益的啟示。

2.5 重視數(shù)值計(jì)算、將數(shù)學(xué)理論與計(jì)算機(jī)應(yīng)用相 結(jié)合

國外的教材一般會花大量篇幅介紹與計(jì)算機(jī)結(jié)合的數(shù)值計(jì)算的思想和方法，能有圖形的例題通常都會提供圖形，如例題，求曲線y=ex/(1+x2)在點(diǎn)(1,e/2)的切線方程，先用數(shù)學(xué)運(yùn)算，然后用計(jì)算機(jī)作圖，兩者結(jié)論相互比較相互印證。牛頓法、辛普森法則等使用計(jì)算機(jī)可以非常便捷得到初值和最優(yōu)解。積分應(yīng)用中大量地提供用數(shù)學(xué)軟件繪制的精美立體、賞心悅目的圖形[7]，這使學(xué)生感受到了數(shù)形結(jié)合之美，還開闊了思維，降低了理解的難度，可以節(jié)約時(shí)間深入思考理論和更復(fù)雜的例子，更容易應(yīng)用到真正的實(shí)踐問題中，也符合計(jì)算機(jī)應(yīng)用越來越廣泛的趨勢[12]。

國內(nèi)教材目前在這方面體現(xiàn)的較少，對數(shù)值計(jì)算與數(shù)學(xué)軟件的應(yīng)用雖有涉及，但是由于課時(shí)限制、軟件工具的使用還不普及等因素的影響，純粹手工計(jì)算很繁瑣，考試內(nèi)容又很少涉及，所以往往重視程度不夠，而這一點(diǎn)在工程問題中卻恰好是至關(guān)重要的。

3 結(jié)語

高等數(shù)學(xué)教材的改革要想有所突破，一是需要我們轉(zhuǎn)變觀念，汲取國內(nèi)外優(yōu)秀教材中有益的東西, 在教學(xué)過程中做一些改革和嘗試。二是改革的步子要加快，盡快與中學(xué)課改和現(xiàn)代計(jì)算機(jī)迅猛發(fā)展結(jié)合起來。三是教學(xué)方式從傳授知識的傳統(tǒng)模式轉(zhuǎn)變到以激勵學(xué)習(xí)為特征的、以學(xué)生為中心的實(shí)踐模式。四是注重學(xué)生綜合能力的培養(yǎng),加強(qiáng)應(yīng)用研究，調(diào)動學(xué)生自主解決問題的意識和能力，培養(yǎng)學(xué)生參與解決問題的全過程[13]，只有這樣我們才能培養(yǎng)出合格的有創(chuàng)新能力和有創(chuàng)造力的優(yōu)秀工程師。

[1] 廖小蓮，陳國華，蔣馨初.基于高中課改形勢下的地方本科院校高等數(shù)學(xué)教學(xué)改革[J].當(dāng)代教育理論與實(shí)踐，2011(10)：99-101.

[2] 薛有才.基于高中數(shù)學(xué)課改的大學(xué)數(shù)學(xué)課程體系改革[J].浙江科技學(xué)院學(xué)報(bào)，2011(2)：63-66.

[3] 馮良貴.關(guān)于高等數(shù)學(xué)教學(xué)改革的幾點(diǎn)認(rèn)識[J].工科數(shù)學(xué)，2002(10)：62-65.

[4] 曲峰林，張青.美國高校中微積分教材的特點(diǎn)與我國高校微積分教材建設(shè)[J].高等函授學(xué)報(bào)，2010(8)：14-15.

[5] 魏戰(zhàn)線.一本美國微積分教材簡介及高等數(shù)學(xué)教材改革初探[J].工科數(shù)學(xué)，1992(4)：122-124.

[6] Finney，Weir，Giordano.Thomasca lculus[M].葉其孝，王耀東，唐兢，譯.北京：高等教育出版社，2003：85-203.

[7] James Stewart.Calculus：Early Transcendentals[M].白峰杉，譯.北京：高等教育出版社，2004：102，111，456-474.

[8] 林熙.從李秉彝教授的微積分教材看國內(nèi)工科少學(xué)時(shí)高數(shù)教材的改革[J].工科數(shù)學(xué)，1994(8)：85-88.

[9] 郭鏡明，韓云瑞，章棟恩，等.美國微積分教材精粹選編[M].北京： 高等教育出版社，2012：295-357.

[10] 龔昇.簡明微積分[M].北京： 高等教育出版社，2006：1-33,358-393.

[11] 馬知恩，王綿森.高等數(shù)學(xué)簡明教程[M].北京：高等教育出版社，2012：189-220.

[12] 葉賽英，胡月.國內(nèi)外兩本微積分教材的比較與啟示[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2007(2)：187-190.

[13] 田堅(jiān).工科本科《高等數(shù)學(xué)》教學(xué)內(nèi)容改革的研究[J].重慶工業(yè)管理學(xué)院學(xué)報(bào)，1996(12)：94-96.