一種新的致密氣藏平均毛管壓力計(jì)算模型

楊 宇，周 文，林 璠，賀承祖，張 昊，曹 煜

（油氣藏地質(zhì)與開發(fā)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室（成都理工大學(xué)），成都610059）

致密砂巖氣儲(chǔ)層較常規(guī)儲(chǔ)層非均質(zhì)性強(qiáng)，孔隙結(jié)構(gòu)復(fù)雜，滲透率低，如何評(píng)價(jià)致密砂巖氣儲(chǔ)層的孔隙結(jié)構(gòu)一直是一項(xiàng)重要的研究課題。Brooks和Corey根據(jù)大量的巖心實(shí)驗(yàn)結(jié)果，認(rèn)為毛管壓力與歸一化潤(rùn)濕相飽和度在雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)上是線性關(guān)系［1］。但是Lekia在統(tǒng)計(jì)致密砂巖氣藏的巖心后指出，Corey的統(tǒng)計(jì)規(guī)律僅僅適用于滲透率較高的儲(chǔ)層，并不適合致密儲(chǔ)層。對(duì)于致密砂巖氣藏這種低滲儲(chǔ)層，在雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)中，毛管壓力曲線與含水飽和度是線性關(guān)系［2］。

20世紀(jì)80年代，德國(guó)數(shù)學(xué)家Mandelbrot創(chuàng)立了分形幾何學(xué)［3］，能夠用來研究復(fù)雜的現(xiàn)象。隨后的二三十年時(shí)間里，分形理論廣泛運(yùn)用于巖石孔隙結(jié)構(gòu)的描述分析中，特別是結(jié)合毛管壓力曲線來研究巖石孔隙結(jié)構(gòu)［4－6］。本文通過分形理論對(duì)毛管壓力曲線進(jìn)行分析，并且對(duì)Lekia的觀點(diǎn)進(jìn)行論證。

1 毛管壓力模型

1.1 Brooks-Corey毛管壓力關(guān)系式

根據(jù)大量巖心統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，Brooks和Corey總結(jié)出毛管壓力（pc）和歸一化潤(rùn)濕相飽和度）之間存在下列經(jīng)驗(yàn)關(guān)系［1］

其中，歸一化潤(rùn)濕相飽和度（）定義為

式中：λ為多孔介質(zhì)孔隙大小分布指數(shù)；C為常數(shù)；Sw為潤(rùn)濕相飽和度；Swi為束縛水飽和度；pc為毛管壓力。

對(duì)方程（1）兩邊分別取對(duì)數(shù)，便可得到雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)中pc與之間的線性關(guān)系式

將pc和畫在雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)上，能夠得到方程（3）樣式的擬合直線段的表達(dá)式，通過斜率可以求得多孔介質(zhì)孔隙大小分布指數(shù)λ。λ是反映儲(chǔ)層孔隙結(jié)構(gòu)的重要特征參數(shù)，可用于儲(chǔ)層結(jié)構(gòu)分析和油水兩相相對(duì)滲透率等的計(jì)算中。

但是，Wells和Amaefule研究發(fā)現(xiàn)，上述pc與之間的關(guān)系僅僅適用于滲透率較高（一般＞0.01μm2）的砂巖，而對(duì)于孔隙度和滲透率較低的致密氣藏卻并不適用［7］。Lekia根據(jù)美國(guó)和加拿大的致密氣藏巖心壓汞數(shù)據(jù)，進(jìn)一步總結(jié)出毛管壓力和潤(rùn)濕相飽和度在雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)上呈線性關(guān)系［2］

式中：λ＊為孔徑分布指數(shù)；pcmin為排驅(qū)壓力，是儲(chǔ)層中最大連通孔隙對(duì)應(yīng)的毛管壓力，其中pcmin≥pd。

1.2 基于分形理論的毛管壓力模型

20世紀(jì)80年代，德國(guó)數(shù)學(xué)家Mandelbrot研究發(fā)現(xiàn)并創(chuàng)立了能夠用來描述復(fù)雜孔隙結(jié)構(gòu)的分形幾何理論［3］。近年來，分形理論已廣泛運(yùn)用于孔徑分布的描述中［8］。根據(jù)分形理論，孔隙體積與孔徑的關(guān)系為

式中：r為孔徑；V為孔徑為r的孔隙體積；D為分形維數(shù)，取值范圍一般在2～3之間。

方程（5）兩邊分別對(duì)r求導(dǎo)

于是，孔徑大于r的累計(jì)孔隙體積可以通過對(duì)方程（5）積分求得

連通孔隙總體積（Vt）為

式中：rmax為儲(chǔ)層中最大連通孔隙半徑；rmin為儲(chǔ)層中最小孔隙半徑。

在注入非潤(rùn)濕相驅(qū)替潤(rùn)濕相的過程中，汞先流入大孔隙，再進(jìn)入小孔隙。在某一注入壓力下，汞的注入體積就等于孔徑大于r的孔隙的累積體積?？梢远x非潤(rùn)濕相在孔隙體積中所占的百分?jǐn)?shù)，即：非潤(rùn)濕相飽和度（Snw）為

根據(jù)Laplace方程，毛管力與孔徑的關(guān)系為

式中：σ為表面張力；θ為潤(rùn)濕接觸角；r為孔徑。

將方程（9）代入方程（8）中，得到非潤(rùn)濕相飽和度為

于是，潤(rùn)濕相飽和度為

方程（11）兩邊取對(duì)數(shù)，即得到雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)中毛管壓力和潤(rùn)濕相飽和度之間的線性關(guān)系為［8］

其中

顯然，方程（13）和方程（4）在本質(zhì)上是相同的。方程（13）還可轉(zhuǎn)換為指數(shù)關(guān)系式

2 毛管壓力模型的對(duì)比

作者測(cè)試了川西北地區(qū)致密砂巖氣藏壓汞曲線。其中3組樣品毛管壓力數(shù)據(jù)見表1。

表1 3組樣品毛管壓力數(shù)據(jù)Table 1 Capillary pressure data of three tight gas sandstone reservoir core samples

根據(jù)毛管壓力數(shù)據(jù)，分別繪制出3組樣品的毛管壓力與歸一化含水飽和度雙對(duì)數(shù)曲線以及毛管壓力與含水飽和度的雙對(duì)數(shù)曲線（圖1）。

由3組樣品的毛管壓力曲線可以看出，對(duì)比于毛管壓力與歸一化含水飽和度的雙對(duì)數(shù)曲線關(guān)系，毛管壓力與含水飽和度的雙對(duì)數(shù)曲線線性關(guān)系更加明確，擬合程度更高；而毛管壓力與歸一化含水飽和度的雙對(duì)數(shù)曲線往往為一條有弧度的曲線，從而進(jìn)一步證明了Lekia的觀點(diǎn)。

此外，對(duì)3組樣品的雙對(duì)數(shù)曲線進(jìn)行擬合，能夠得到形如方程（12）的線性方程，利用線性方程中的斜率，可以求得3組樣品的分形維數(shù)。1＃樣品的分形維數(shù)為2.1，2＃樣品為2.5，3＃樣品為2.4。3組樣品的分形維數(shù)均在合理值范圍內(nèi)，充分證明了利用壓汞法得到的毛管壓力與含水飽和度的雙對(duì)數(shù)曲線能夠計(jì)算分形維數(shù)，分析巖石中復(fù)雜的孔隙結(jié)構(gòu)。

圖1 樣品毛管壓力與歸一化含水飽和度雙對(duì)數(shù)曲線、毛管壓力與含水飽和度雙對(duì)數(shù)曲線Fig.1 Log-log plot of versus pcand Swversus pc

3 排驅(qū)壓力與分形維數(shù)對(duì)毛管壓力曲線的影響

根據(jù)方程（16）可以認(rèn)為毛管壓力曲線的形態(tài)與兩個(gè)變量有關(guān)：排驅(qū)壓力和分形維數(shù)。其中，任何一個(gè)變量改變，都會(huì)造成毛管壓力曲線在形態(tài)上的變化。

如果分形維數(shù)不變，改變排驅(qū)壓力，毛管壓力曲線的變化見圖2。

排驅(qū)壓力是評(píng)價(jià)巖石儲(chǔ)集性能的主要參數(shù)之一。一般情況下，孔隙度高、滲透率大的儲(chǔ)層排驅(qū)壓力大，孔隙度低、滲透率小的儲(chǔ)層排驅(qū)壓力小。由圖2可以看出，在分形維數(shù)一定的情況下，毛管壓力曲線隨著排驅(qū)壓力的降低曲線下移，說明儲(chǔ)層孔喉歪度越粗，儲(chǔ)集性能越好。

圖2 不同排驅(qū)壓力條件下的毛管壓力曲線（D＝2.2）Fig.2 Capillary pressure curves under different displacement pressures

如果排驅(qū)壓力不變，改變分形維數(shù)，毛管壓力曲線的變化見圖3。

圖3 不同分形維數(shù)條件下的毛管壓力曲線Fig.3 Capillary pressure curves under different fractal dimensions（pc＝1.5MPa）

由圖3可以看出，在排驅(qū)壓力相同的情況下，隨著分形維數(shù)的增加，曲線的平坦段越短，曲線越陡峭，表明分形維數(shù)的大小與孔隙結(jié)構(gòu)的分布有緊密聯(lián)系：分形維數(shù)一般在2～3之間，越接近2，儲(chǔ)層的儲(chǔ)集性能越好；反之，分形維數(shù)值越接近3，儲(chǔ)層儲(chǔ)集性能越差［9，10］。

4 平均毛管壓力曲線計(jì)算

在實(shí)際測(cè)試毛管壓力曲線時(shí)，通常會(huì)對(duì)同一類儲(chǔ)層中多個(gè)巖心進(jìn)行毛管壓力測(cè)試。由于孔隙結(jié)構(gòu)和滲透率不同，所以測(cè)得的毛管壓力曲線形態(tài)也不同。根據(jù)不同毛管壓力曲線，計(jì)算得到表征同類儲(chǔ)層的平均毛管壓力曲線，對(duì)于儲(chǔ)層分析以及油藏工程計(jì)算有著重要的意義。利用本文中提出的毛管壓力模型，計(jì)算平均毛管壓力曲線的具體步驟如下［11］。

（1）擬合每一種樣品的雙對(duì)數(shù)曲線，得到形如方程（13）的線性關(guān)系式

（2）求得每一種樣品的A、B、D和pcmin，其中pcmin由方程（14）求得，并且利用算術(shù)平均的方法計(jì)算出它們的平均值和

（3）將計(jì)算得到的平均值代入方程（16），把數(shù)據(jù)畫在pc－Sw坐標(biāo)上，就得到了平均毛管壓力曲線。

按照上述步驟，對(duì)本文中測(cè)得的3組毛管壓力曲線，擬合求得A、B、D和pcmin以及它們的平均值見表2。

表2 3組毛管壓力曲線求得的A，B，D和pc min以及它們的平均值Table 2 The calculated A，B，D，pc minand the average values

于是，得到平均毛管壓力表達(dá)式為

將平均含水飽和度代入方程（17），計(jì)算出平均毛管壓力，并將所得到的數(shù)據(jù)畫在pc－Sw坐標(biāo)上，于是，得到一條平均毛管壓力曲線（圖4）。

圖4 平均毛管壓力曲線Fig.4 Average capillary pressure curve

5 結(jié)論

a.本文利用分形理論證明了Lekia提出的觀點(diǎn)：對(duì)于滲透率低的致密砂巖氣藏，毛管壓力與含水飽和度雙對(duì)數(shù)曲線近似為一條直線段，可以按照線性擬合。而Corey等提出的毛管壓力與歸一化含水飽和度的線性擬合僅適用于滲透率較高的儲(chǔ)層。

b.排驅(qū)壓力與分形維數(shù)影響著毛管壓力曲線的形態(tài)，排驅(qū)壓力越小，毛管壓力曲線越往下偏移，孔喉歪度越粗；分形維數(shù)越接近2，毛管壓力平坦段越長(zhǎng)，表明巖石孔喉的分選越好。

c.通過毛管壓力模型，可以建立關(guān)于毛管壓力與含水飽和度的數(shù)學(xué)關(guān)系式。利用毛管壓力模型能夠求取平均毛管壓力曲線，方法簡(jiǎn)便，易實(shí)現(xiàn)。

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